Les mathématiques trouvent leur origine dans l'Antiquité. Grâce à elle, l'architecture, la construction et la science militaire ont donné un nouveau cycle de développement, les réalisations obtenues à l'aide des mathématiques ont conduit au mouvement du progrès. À ce jour, les mathématiques restent la science principale que l'on retrouve dans toutes les autres branches.
Afin d'être éduqués, les enfants de la première année commencent à se fondre progressivement dans cet environnement. Il est très important de comprendre les mathématiques, car elles surviennent, à un degré ou à un autre, pour chaque personne tout au long de sa vie. Cet article analysera l'un des éléments clés - trouver et appliquer des dérivés. Tout le monde ne peut pas imaginer à quel point ce concept est largement utilisé. Considérez plus de 10 applications de dérivés dans certains domaines ou sciences.
Application de la dérivée à l'étude d'une fonction
La dérivée est une telle limitele rapport de l'incrément d'une fonction à l'incrément de son argument lorsque l'exposant de l'argument tend vers zéro. La dérivée est une chose indispensable dans l'étude d'une fonction. Par exemple, il peut être utilisé pour déterminer l'augmentation et la diminution de ces derniers, les extrema, la convexité et la concavité. Le calcul différentiel est inclus dans le programme obligatoire des étudiants de 1ère et 2ème année des universités de mathématiques.
Portée et fonction des zéros
La première étape de toute étude du graphique commence par la découverte du domaine de définition, dans des cas plus rares - la valeur. Le domaine de définition est défini le long de l'axe des abscisses, autrement dit, ce sont des valeurs numériques sur l'axe OX. Souvent, la portée est déjà définie, mais si ce n'est pas le cas, la valeur de l'argument x doit être évaluée. Supposons que si pour certaines valeurs de l'argument la fonction n'a pas de sens, alors cet argument est exclu de la portée.
Les zéros de la fonction sont trouvés de manière simple: la fonction f(x) doit être égale à zéro et l'équation résultante doit être résolue par rapport à une variable x. Les racines obtenues de l'équation sont les zéros de la fonction, c'est-à-dire que dans ces x la fonction est 0.
Augmentation et diminution
L'utilisation de la dérivée pour étudier les fonctions de monotonie peut être envisagée à partir de deux positions. Une fonction monotone est une catégorie qui n'a que des valeurs positives de la dérivée, ou que des valeurs négatives. En termes simples, la fonction n'augmente ou ne diminue que sur tout l'intervalle étudié:
- Augmenter le paramètre. Une fonctionf(x) augmentera si la dérivée de f`(x) est supérieure à zéro.
- Paramètre décroissant. La fonction f(x) diminuera si la dérivée de f`(x) est inférieure à zéro.
Tangente et pente
L'application de la dérivée à l'étude d'une fonction est également déterminée par la tangente (droite dirigée selon un angle) au graphe de la fonction en un point donné. Tangente en un point (x0) - une ligne qui passe par un point et appartient à la fonction dont les coordonnées sont (x0, f(x 0 )) et ayant une pente f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - l'équation de la tangente au point donné du graphique de la fonction.
Signification géométrique de la dérivée: la dérivée de la fonction f(x) est égale à la pente de la tangente formée au graphe de cette fonction en un point x donné. Le coefficient angulaire, quant à lui, est égal à la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente à l'axe OX (abscisse) dans le sens positif. Ce corollaire est fondamental pour l'application de la dérivée au graphe d'une fonction.
Points extrêmes
Appliquer une dérivée à une étude implique de trouver des points hauts et des points bas.
Afin de trouver et de déterminer les points minimum et maximum, vous devez:
- Trouver la dérivée de la fonction f(x).
- Mettre l'équation résultante à zéro.
- Trouvez les racines de l'équation.
- Trouver les points hauts et bas.
Pour trouver les extrêmescaractéristiques:
- Trouvez les points minimum et maximum en utilisant la méthode ci-dessus.
- Remplacez ces points dans l'équation d'origine et calculez ymax et ymin
Le point maximum de la fonction est la plus grande valeur de la fonction f(x) sur l'intervalle, soit xmax.
Le point minimum de la fonction est la plus petite valeur de la fonction f(x) sur l'intervalle, c'est-à-dire xnom
Les points extrêmes sont les mêmes que les points maximum et minimum, et l'extremum de la fonction (ymax. et yminimum) - valeurs de fonction qui correspondent aux points extrêmes.
Convexité et concavité
Vous pouvez déterminer la convexité et la concavité en recourant à l'utilisation de la dérivée pour tracer:
- Une fonction f(x) examinée sur l'intervalle (a, b) est concave si la fonction est située en dessous de toutes ses tangentes dans cet intervalle.
- La fonction f(x) étudiée sur l'intervalle (a, b) est convexe si la fonction est située au-dessus de toutes ses tangentes à l'intérieur de cet intervalle.
Le point qui sépare la convexité et la concavité est appelé le point d'inflexion de la fonction.
Pour trouver les points d'inflexion:
- Trouver les points critiques de seconde espèce (seconde dérivée).
- Les points d'inflexion sont les points critiques qui séparent deux signes opposés.
- Calculer les valeurs de la fonction aux points d'inflexion de la fonction.
Dérivées partielles
Candidatureil existe des dérivées de ce type dans les problèmes où plus d'une variable inconnue est utilisée. Le plus souvent, de telles dérivées sont rencontrées lors du tracé d'un graphe de fonctions, pour être plus précis, de surfaces dans l'espace, où au lieu de deux axes, il y a trois, donc trois quantités (deux variables et une constante).
La règle de base lors du calcul des dérivées partielles est de choisir une variable et de traiter le reste comme des constantes. Par conséquent, lors du calcul de la dérivée partielle, la constante devient comme une valeur numérique (dans de nombreux tableaux de dérivées, elles sont notées C=const). La signification d'une telle dérivée est le taux de variation de la fonction z=f(x, y) le long des axes OX et OY, c'est-à-dire qu'elle caractérise la pente des dépressions et des renflements de la surface construite.
Dérivée en physique
L'utilisation de la dérivée en physique est répandue et importante. Signification physique: la dérivée de la trajectoire par rapport au temps est la vitesse, et l'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. De la signification physique, de nombreuses branches peuvent être tirées vers diverses branches de la physique, tout en préservant complètement la signification de la dérivée.
Avec l'aide de la dérivée, les valeurs suivantes sont trouvées:
- Vitesse en cinématique, où la dérivée de la distance parcourue est calculée. Si la dérivée seconde de la trajectoire ou la dérivée première de la vitesse est trouvée, alors l'accélération du corps est trouvée. De plus, il est possible de trouver la vitesse instantanée d'un point matériel, mais pour cela il faut connaître l'incrément ∆t et ∆r.
- En électrodynamique:calcul de l'intensité instantanée du courant alternatif, ainsi que de la FEM de l'induction électromagnétique. En calculant la dérivée, vous pouvez trouver la puissance maximale. La dérivée de la quantité de charge électrique est l'intensité du courant dans le conducteur.
Dérivés en chimie et biologie
Chimie: la dérivée est utilisée pour déterminer la vitesse d'une réaction chimique. La signification chimique de la dérivée: fonction p=p(t), dans ce cas p est la quantité d'une substance qui entre dans une réaction chimique au temps t. ∆t - incrément de temps, ∆p - incrément de quantité de substance. La limite du rapport de ∆p à ∆t, à laquelle ∆t tend vers zéro, est appelée la vitesse d'une réaction chimique. La valeur moyenne d'une réaction chimique est le rapport ∆p/∆t. Lors de la détermination de la vitesse, il est nécessaire de connaître exactement tous les paramètres nécessaires, les conditions, pour connaître l'état global de la substance et du fluide d'écoulement. C'est un aspect assez important de la chimie, qui est largement utilisé dans diverses industries et activités humaines.
Biologie: le concept de dérivé est utilisé pour calculer le taux de reproduction moyen. Signification biologique: on a une fonction y=x(t). ∆t - incrément de temps. Ensuite, à l'aide de quelques transformations, nous obtenons la fonction y`=P(t)=x`(t) - l'activité vitale de la population au temps t (taux de reproduction moyen). Cette utilisation du dérivé vous permet de conserver des statistiques, de suivre le taux de reproduction, etc.
Dérivé en géographie et économie
La dérivée permet aux géographes de déciderdes tâches telles que la recherche de population, le calcul des valeurs en sismographie, le calcul de la radioactivité des indicateurs géophysiques nucléaires, le calcul de l'interpolation.
En économie, une partie importante des calculs est le calcul différentiel et le calcul de la dérivée. Tout d'abord, cela nous permet de déterminer les limites des valeurs économiques nécessaires. Par exemple, la productivité du travail la plus élevée et la plus faible, les coûts, les bénéfices. Fondamentalement, ces valeurs sont calculées à partir de graphiques de fonctions, où elles trouvent des extrema, déterminent la monotonie de la fonction dans la zone souhaitée.
Conclusion
Le rôle de ce calcul différentiel est impliqué, comme indiqué dans l'article, dans diverses structures scientifiques. L'utilisation de fonctions dérivées est un élément important dans la partie pratique de la science et de la production. Ce n'est pas pour rien qu'on nous a appris au lycée et à l'université à construire des graphes complexes, à explorer et à travailler sur des fonctions. Comme vous pouvez le voir, sans dérivés et calculs différentiels, il serait impossible de calculer des indicateurs vitaux et des quantités. L'humanité a appris à modéliser divers processus et à les explorer pour résoudre des problèmes mathématiques complexes. En effet, les mathématiques sont la reine de toutes les sciences, car cette science sous-tend toutes les autres disciplines naturelles et techniques.
