Les matrices et les déterminants ont été découverts aux XVIIIe et XIXe siècles. Initialement, leur développement concernait la transformation d'objets géométriques et la résolution de systèmes d'équations linéaires. Historiquement, l'accent était mis au début sur le déterminant. Dans les méthodes modernes de traitement de l'algèbre linéaire, les matrices sont considérées en premier. Cela vaut la peine de réfléchir à cette question pendant un moment.
Réponses de ce domaine de connaissances
Les matrices fournissent un moyen théoriquement et pratiquement utile pour résoudre de nombreux problèmes, tels que:
- systèmes d'équations linéaires;
- équilibre des solides (en physique);
- théorie des graphes;
- Modèle économique de Leontief;
- foresterie;
- infographie et tomographie;
- génétique;
- cryptographie;
- réseaux électriques;
- fractale.
En fait, l'algèbre matricielle pour les "nuls" a une définition simplifiée. Elle s'exprime ainsi: il s'agit d'un domaine scientifique de la connaissance dans lequelles valeurs en question sont étudiées, analysées et pleinement explorées. Dans cette section d'algèbre, diverses opérations sur les matrices étudiées sont étudiées.
Comment travailler avec des matrices
Ces valeurs sont considérées comme égales si elles ont les mêmes dimensions et chaque élément de l'un est égal à l'élément correspondant de l'autre. Il est possible de multiplier une matrice par n'importe quelle constante. Cette donnée est appelée multiplication scalaire. Exemple: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Des matrices de même taille peuvent être ajoutées et soustraites par des entrées, et des valeurs de tailles compatibles peuvent être multipliées. Exemple: additionnez deux A et B: A=[21−10]B=[1423]. Ceci est possible car A et B sont tous deux des matrices avec deux lignes et le même nombre de colonnes. Il faut ajouter chaque élément de A à l'élément correspondant de B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Les matrices sont soustraites de la même manière en algèbre.
La multiplication matricielle fonctionne un peu différemment. De plus, il peut y avoir de nombreux cas et options, ainsi que des solutions. Si on multiplie la matrice Apq et Bmn, alors le produit Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. L'entrée dans la gème ligne et la hème colonne de AB est la somme du produit des entrées correspondantes dans g A et h B. Il n'est possible de multiplier deux matrices que si le nombre de colonnes dans la première et de lignes dans la seconde sont égaux. Exemple: remplir la condition pour A et B considérés: A=[1−130]B=[2−11214]. Ceci est possible car la première matrice contient 2 colonnes et la seconde contient 2 lignes. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Informations de base sur les matrices
Les valeurs en question organisent des informations telles que des variables et des constantes et les stockent dans des lignes et des colonnes, généralement appelées C. Chaque position dans la matrice est appelée un élément. Exemple: C=[1234]. Se compose de deux lignes et de deux colonnes. L'élément 4 est dans la ligne 2 et la colonne 2. Vous pouvez généralement nommer une matrice d'après ses dimensions, celle nommée Cmk a m lignes et k colonnes.
Matrices étendues
Les considérations sont des choses incroyablement utiles qui apparaissent dans de nombreux domaines d'application différents. Les matrices étaient à l'origine basées sur des systèmes d'équations linéaires. Compte tenu de la structure d'inégalités suivante, la matrice complémentaire suivante doit être prise en compte:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Écrivez les coefficients et les valeurs des réponses, y compris tous les signes moins. Si l'élément avec un nombre négatif, alors il sera égal à "1". C'est-à-dire que, étant donné un système d'équations (linéaires), il est possible de lui associer une matrice (grille de nombres entre parenthèses). C'est celui qui ne contient que les coefficients du système linéaire. C'est ce qu'on appelle la "matrice étendue". La grille contenant les coefficients du côté gauche de chaque équation a été "complétée" avec les réponses du côté droit de chaque équation.
Records, c'est-à-direles valeurs B de la matrice correspondent aux valeurs x, y et z du système d'origine. S'il est correctement disposé, vérifiez-le d'abord. Parfois, vous devez réorganiser les termes ou insérer des zéros comme espaces réservés dans la matrice étudiée ou étudiée.
Étant donné le système d'équations suivant, on peut immédiatement écrire la matrice augmentée associée:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Premièrement, assurez-vous de réorganiser le système comme:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Ensuite, il est possible d'écrire la matrice associée sous la forme: [11000113-1012]. Lors de la formation d'un système étendu, il vaut la peine d'utiliser zéro pour tout enregistrement où la place correspondante dans le système d'équations linéaires est vide.
Algèbre matricielle: propriétés des opérations
S'il est nécessaire de former des éléments uniquement à partir de valeurs de coefficient, la valeur considérée ressemblera à ceci: [110011-101]. C'est ce qu'on appelle la "matrice des coefficients".
Compte tenu de l'algèbre matricielle étendue suivante, il est nécessaire de l'améliorer et d'ajouter le système linéaire associé. Cela étant dit, il est important de se rappeler qu'ils exigent que les variables soient bien organisées et soignées. Et généralement, lorsqu'il y a trois variables, utilisez x, y et z dans cet ordre. Par conséquent, le système linéaire associé devrait être:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Taille de la matrice
Les éléments en question sont souvent désignés par leur performance. La taille d'une matrice en algèbre est donnée parmesures, car la pièce peut être appelée différemment. Les mesures mesurées des valeurs sont les lignes et les colonnes, et non la largeur et la longueur. Par exemple, matrice A:
[1234]
[2345]
[3456].
Puisque A a trois lignes et quatre colonnes, la taille de A est 3 × 4.
→
↓
Les lignes vont de côté. Les colonnes montent et descendent. "Row" et "column" sont des spécifications et ne sont pas interchangeables. Les tailles de matrice sont toujours spécifiées avec le nombre de lignes, puis le nombre de colonnes. Suivant cette convention, le B suivant:
[123]
[234] vaut 2 × 3. Si une matrice a le même nombre de lignes que de colonnes, alors on l'appelle un "carré". Par exemple, les valeurs de coefficient ci-dessus:
[110]
[011]
[-101] est une matrice carrée 3×3.
Notation matricielle et formatage
Note de mise en forme: Par exemple, lorsque vous devez écrire une matrice, il est important d'utiliser des crochets . Les barres de valeur absolue || ne sont pas utilisées car elles ont une direction différente dans ce contexte. Les parenthèses ou les accolades {} ne sont jamais utilisées. Ou un autre symbole de regroupement, ou aucun, car ces présentations n'ont aucune signification. En algèbre, une matrice est toujours entre crochets. Seule la notation correcte doit être utilisée, sinon les réponses peuvent être considérées comme brouillées.
Comme mentionné précédemment, les valeurs contenues dans une matrice sont appelées enregistrements. Pour une raison quelconque, les éléments en question sont généralement écritsles lettres majuscules, telles que A ou B, et les entrées sont spécifiées à l'aide des lettres minuscules correspondantes, mais avec des indices. Dans la matrice A, les valeurs sont généralement appelées "ai, j", où i est la ligne de A et j est la colonne de A. Par exemple, a3, 2=8. L'entrée pour a1, 3 est 3.
Pour les matrices plus petites, celles qui ont moins de dix lignes et colonnes, la virgule en indice est parfois omise. Par exemple, "a1, 3=3" pourrait être écrit comme "a13=3". Évidemment, cela ne fonctionnera pas pour les grandes matrices car a213 sera obscur.
Types de matrices
Parfois classés en fonction de leurs configurations d'enregistrement. Par exemple, une telle matrice qui a toutes les entrées nulles sous la "diagonale" diagonale en haut à gauche en bas à droite est appelée triangulaire supérieure. Entre autres choses, il peut y avoir d'autres types et types, mais ils ne sont pas très utiles. Généralement, principalement perçu comme triangulaire supérieur. Les valeurs avec des exposants non nuls uniquement horizontalement sont appelées valeurs diagonales. Les types similaires ont des entrées non nulles dans lesquelles toutes sont 1, de telles réponses sont dites identiques (pour des raisons qui deviendront claires quand on apprendra et comprendra comment multiplier les valeurs en question). Il existe de nombreux indicateurs de recherche similaires. L'identité 3 × 3 est notée I3. De même, l'identité 4 × 4 est I4.
Algèbre matricielle et espaces linéaires
Notez que les matrices triangulaires sont carrées. Mais les diagonales sont triangulaires. Compte tenu de cela, ils sontcarré. Et les identités sont considérées comme des diagonales et, par conséquent, triangulaires et carrées. Lorsqu'il s'agit de décrire une matrice, on spécifie généralement simplement sa propre classification la plus spécifique, puisque celle-ci implique toutes les autres. Classer les options de recherche suivantes:comme 3 × 4. Dans ce cas, elles ne sont pas carrées. Par conséquent, les valeurs ne peuvent pas être autre chose. La classification suivante:est possible comme 3 × 3. Mais c'est considéré comme un carré, et il n'y a rien de spécial à ce sujet. Classification des données suivantes:comme 3 × 3 triangulaire supérieur, mais ce n'est pas une diagonale. Certes, dans les valeurs considérées, il peut y avoir des zéros supplémentaires sur ou au-dessus de l'espace localisé et indiqué. La classification à l'étude est en outre: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], où elle est représentée par une diagonale et, de plus, les entrées sont toutes à 1. Il s'agit alors d'une identité 3 × 3, I3.
Comme les matrices analogues sont par définition carrées, il suffit d'utiliser un seul index pour trouver leurs dimensions. Pour que deux matrices soient égales, elles doivent avoir le même paramètre et avoir les mêmes entrées aux mêmes endroits. Par exemple, supposons qu'il y ait deux éléments à l'étude: A=[1 3 0] [-2 0 0] et B=[1 3] [-2 0]. Ces valeurs ne peuvent pas être identiques car elles sont de tailles différentes.
Même si A et B sont: A=[3 6] [2 5] [1 4] et B=[1 2 3] [4 5 6] - ils ne sont toujours pas identiques même chose. A et B ont chacunsix entrées et ont également les mêmes nombres, mais cela ne suffit pas pour les matrices. A est 3 × 2. Et B est une matrice 2 × 3. A pour 3 × 2 n'est pas 2 × 3. Peu importe si A et B ont la même quantité de données ou même les mêmes nombres que les enregistrements. Si A et B n'ont pas la même taille et la même forme, mais ont des valeurs identiques à des endroits similaires, ils ne sont pas égaux.
Opérations similaires dans la zone considérée
Cette propriété d'égalité matricielle peut être transformée en tâches pour une recherche indépendante. Par exemple, deux matrices sont données, et il est indiqué qu'elles sont égales. Dans ce cas, vous devrez utiliser cette égalité pour explorer et obtenir des réponses pour les valeurs des variables.
Les exemples et les solutions de matrices en algèbre peuvent être variés, en particulier lorsqu'il s'agit d'égalités. Étant donné que les matrices suivantes sont considérées, il est nécessaire de trouver les valeurs x et y. Pour que A et B soient égaux, ils doivent avoir la même taille et la même forme. En fait, ils le sont, car chacun d'eux est une matrice 2 × 2. Et ils devraient avoir les mêmes valeurs aux mêmes endroits. Alors a1, 1 doit être égal à b1, 1, a1, 2 doit être égal à b1, 2, etc.). Mais, a1, 1=1 n'est évidemment pas égal à b1, 1=x. Pour que A soit identique à B, l'entrée doit avoir a1, 1=b1, 1, donc elle peut être 1=x. De même, les indices a2, 2=b2, 2, donc 4=y. Alors la solution est: x=1, y=4. Étant donné que les éléments suivantsmatrices sont égales, vous devez trouver les valeurs de x, y et z. Pour avoir A=B, les coefficients doivent avoir toutes les entrées égales. Autrement dit, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 et ainsi de suite. En particulier, doit:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Comme vous pouvez le voir sur les matrices sélectionnées: avec 1, 1-, 2, 2- et 3, 1-éléments. En résolvant ces trois équations, nous obtenons la réponse: x=4, y=-6 et z=9. L'algèbre matricielle et les opérations matricielles sont différentes de ce à quoi tout le monde est habitué, mais elles ne sont pas reproductibles.
Informations supplémentaires dans ce domaine
L'algèbre matricielle linéaire est l'étude d'ensembles d'équations similaires et de leurs propriétés de transformation. Ce champ de connaissances permet d'analyser des rotations dans l'espace, d'approximer les moindres carrés, de résoudre des équations différentielles associées, de déterminer un cercle passant par trois points donnés et de résoudre de nombreux autres problèmes de mathématiques, de physique et de technologie. L'algèbre linéaire d'une matrice n'est pas vraiment le sens technique du mot utilisé, c'est-à-dire un espace vectoriel v sur un corps f, etc.
La matrice et le déterminant sont des outils d'algèbre linéaire extrêmement utiles. L'une des tâches centrales est la solution de l'équation matricielle Ax=b, pour x. Bien que cela puisse théoriquement être résolu en utilisant l'inverse x=A-1 b. D'autres méthodes, telles que l'élimination gaussienne, sont numériquement plus fiables.
En plus d'être utilisé pour décrire l'étude des ensembles linéaires d'équations, lesle terme ci-dessus est également utilisé pour décrire un certain type d'algèbre. En particulier, L sur un corps F a la structure d'un anneau avec tous les axiomes usuels pour l'addition et la multiplication internes, ainsi que les lois distributives. Par conséquent, cela lui donne plus de structure qu'un anneau. L'algèbre matricielle linéaire admet également une opération externe de multiplication par des scalaires qui sont des éléments du champ sous-jacent F. Par exemple, l'ensemble de toutes les transformations considérées d'un espace vectoriel V vers lui-même sur un champ F est formé sur F. Un autre exemple de linéaire l'algèbre est l'ensemble de toutes les matrices carrées réelles sur un corps R nombres réels.
