Pour comprendre ce que sont les points extrêmes d'une fonction, il n'est pas du tout nécessaire de connaître la présence des dérivées première et seconde et de comprendre leur signification physique. Vous devez d'abord comprendre ce qui suit:
- la fonction extrema maximise ou, à l'inverse, minimise la valeur de la fonction dans un voisinage arbitrairement petit;
- Il ne doit pas y avoir de rupture de fonction au point extrême.
Et maintenant la même chose, uniquement en langage clair. Regardez la pointe d'un stylo à bille. Si le stylo est placé verticalement, avec l'extrémité d'écriture vers le haut, alors le milieu même de la balle sera le point extrême - le point le plus élevé. Dans ce cas, on parle de maximum. Maintenant, si vous tournez le stylo avec l'extrémité d'écriture vers le bas, alors au milieu de la balle, il y aura déjà un minimum de fonction. À l'aide de la figure donnée ici, vous pouvez imaginer les manipulations répertoriées pour un crayon de papeterie. Ainsi, les extrema d'une fonction sont toujours des points critiques: ses maxima ou ses minima. La section adjacente du graphique peut être arbitrairement nette ou lisse, mais elle doit exister des deux côtés, seulement dans ce cas, le point est un extremum. Si la carte n'est présente que d'un côté, ce point ne sera pas un extremum même si d'un côtéconditions extrêmes sont remplies. Etudions maintenant les extrema de la fonction d'un point de vue scientifique. Pour qu'un point soit considéré comme un extremum, il faut et suffit que:
- la dérivée première était égale à zéro ou n'existait pas au point;
- la dérivée première a changé de signe à ce stade.
La condition s'interprète un peu différemment du point de vue des dérivées d'ordre supérieur: pour une fonction différentiable en un point, il suffit qu'il existe une dérivée d'ordre impair non nulle, alors que toutes les dérivées d'ordre inférieur doivent exister et être égales à zéro. C'est l'interprétation la plus simple des théorèmes des manuels de mathématiques supérieures. Mais pour les gens les plus ordinaires, cela vaut la peine d'expliquer ce point avec un exemple. La base est une parabole ordinaire. Faites immédiatement une réservation, au point zéro il y a un minimum. Juste un peu de maths:
- première dérivée (X2)|=2X, pour zéro 2X=0;
- seconde dérivée (2X)|=2, pour zéro 2=2.
Ceci est une illustration simple des conditions qui déterminent les extremums de la fonction à la fois pour les dérivées du premier ordre et pour les dérivées d'ordre supérieur. On peut ajouter à cela que la dérivée seconde n'est autre que la même dérivée d'ordre impair, différente de zéro, dont il a été question un peu plus haut. Lorsqu'il s'agit d'extrema d'une fonction de deux variables, les conditions doivent être remplies pour les deux arguments. Lorsquela généralisation se produit, puis les dérivées partielles sont utilisées. C'est-à-dire qu'il est nécessaire pour la présence d'un extremum en un point que les deux dérivées du premier ordre soient égales à zéro, ou qu'au moins l'une d'entre elles n'existe pas. Pour la suffisance de la présence d'un extremum, une expression est étudiée, qui est la différence entre le produit des dérivées du second ordre et le carré de la dérivée mixte du second ordre de la fonction. Si cette expression est supérieure à zéro, alors il y a un extremum, et s'il y a zéro, alors la question reste ouverte et des recherches supplémentaires sont nécessaires.
