Un cylindre est l'une des figures tridimensionnelles simples étudiées dans le cours de géométrie de l'école (section géométrie solide). Dans ce cas, des problèmes surviennent souvent lors du calcul du volume et de la masse d'un cylindre, ainsi que lors de la détermination de sa surface. Les réponses aux questions marquées sont données dans cet article.
Qu'est-ce qu'un cylindre ?
Avant de répondre à la question, quelle est la masse du cylindre et son volume, il convient de considérer quelle est cette figure spatiale. Il convient de noter tout de suite qu'un cylindre est un objet tridimensionnel. Autrement dit, dans l'espace, vous pouvez mesurer trois de ses paramètres le long de chacun des axes dans un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes. En effet, pour déterminer sans ambiguïté les dimensions d'un cylindre, il suffit de connaître seulement deux de ses paramètres.
Cylinder est une figure tridimensionnelle formée de deux cercles et d'une surface cylindrique. Pour représenter plus clairement cet objet, il suffit de prendre un rectangle et de commencer à le faire tourner autour de l'un de ses côtés, qui sera l'axe de rotation. Dans ce cas, le rectangle tournant décrira la formerotation - cylindre.
Deux surfaces rondes sont appelées les bases du cylindre, elles sont caractérisées par un certain rayon. La distance entre les bases s'appelle la hauteur. Les deux bases sont reliées entre elles par une surface cylindrique. La ligne passant par les centres des deux cercles est appelée l'axe du cylindre.
Volume et surface
Comme vous pouvez le voir ci-dessus, le cylindre est défini par deux paramètres: la hauteur h et le rayon de sa base r. Connaissant ces paramètres, il est possible de calculer toutes les autres caractéristiques du corps considéré. Ci-dessous les principaux:
- La zone des bases. Cette valeur est calculée par la formule: S1=2pir2, où pi est pi égal à 3, 14. Chiffre 2 dans la formule apparaît car le cylindre a deux bases identiques.
- Superficie cylindrique. Il peut être calculé comme ceci: S2=2pirh. Il est facile de comprendre cette formule: si une surface cylindrique est coupée verticalement d'une base à l'autre et agrandie, on obtiendra un rectangle dont la hauteur sera égale à la hauteur du cylindre et la largeur correspondra à la circonférence de la base de la figure tridimensionnelle. Puisque l'aire du rectangle résultant est le produit de ses côtés, qui sont égaux à h et 2pir, la formule ci-dessus est obtenue.
- Superficie du cylindre. Elle est égale à la somme des aires de S1 et S2, on obtient: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Volume. Cette valeur est facile à trouver, il suffit de multiplier l'aire d'une base par la hauteur de la figure: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Détermination de la masse d'un cylindre
Enfin, cela vaut la peine d'aller directement au sujet de l'article. Comment déterminer la masse d'un cylindre ? Pour ce faire, vous devez connaître son volume, la formule de calcul qui a été présentée ci-dessus. Et la densité de la substance dont il se compose. La masse est déterminée par une formule simple: m=ρV, où ρ est la densité du matériau qui forme l'objet en question.
Le concept de densité caractérise la masse d'une substance qui se trouve dans une unité de volume d'espace. Par example. On sait que le fer a une densité plus élevée que le bois. Cela signifie qu'à volumes égaux de fer et de matière ligneuse, le premier aura une masse beaucoup plus importante que le second (environ 16 fois).
Calcul de la masse d'un cylindre de cuivre
Considérez un problème simple. Il faut trouver la masse d'un cylindre en cuivre. Pour plus de précision, laissez le cylindre avoir un diamètre de 20 cm et une hauteur de 10 cm.
Avant de commencer à résoudre le problème, vous devez traiter les données source. Le rayon du cylindre est égal à la moitié de son diamètre, ce qui signifie r=20/2=10 cm, tandis que la hauteur est h=10 cm. Puisque le cylindre considéré dans le problème est en cuivre, alors, en se référant au données de référence, nous écrivons la valeur de densité de ce matériau: ρ=8, 96 g/cm3 (pour une température de 20 °C).
Vous pouvez maintenant commencer à résoudre le problème. Calculons d'abord le volume: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Alors la masse du cylindre sera: m=ρV=8,963140=28134 grammes ou environ 28 kilogrammes.
Vous devez faire attention à la dimension des unités lors de leur utilisation dans les formules correspondantes. Ainsi, dans le problème, tous les paramètres étaient présentés en centimètres et en grammes.
Cylindres homogènes et creux
D'après le résultat obtenu ci-dessus, on peut voir qu'un cylindre de cuivre de dimensions relativement petites (10 cm) a une masse importante (28 kg). Cela est dû non seulement au fait qu'il est fait d'un matériau lourd, mais aussi au fait qu'il est homogène. Ce fait est important à comprendre, car la formule ci-dessus pour calculer la masse ne peut être utilisée que si le cylindre est entièrement (extérieur et intérieur) fait du même matériau, c'est-à-dire qu'il est homogène.
Dans la pratique, on utilise souvent des cylindres creux (par exemple, des fûts cylindriques pour l'eau). C'est-à-dire qu'ils sont constitués de fines feuilles d'un certain matériau, mais à l'intérieur, ils sont vides. Pour un cylindre creux, la formule indiquée pour le calcul de la masse ne peut pas être utilisée.
Calcul de la masse d'un cylindre creux
Il est intéressant de calculer quelle masse aura un cylindre de cuivre s'il est vide à l'intérieur. Par exemple, supposons qu'il soit fabriqué à partir d'une fine feuille de cuivre d'une épaisseur de seulement d=2 mm.
Pour résoudre ce problème, vous devez trouver le volume du cuivre lui-même, à partir duquel l'objet est fabriqué. Pas le volume du cylindre. Parce que l'épaisseurla feuille est petite par rapport aux dimensions du cylindre (d=2 mm et r=10 cm), alors le volume de cuivre à partir duquel l'objet est fabriqué peut être trouvé en multipliant la surface totale du cylindre par le de la feuille de cuivre, on obtient: V=dS 3=d2pir(r+h). En substituant les données du problème précédent, nous obtenons: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. La masse d'un cylindre creux peut être obtenue en multipliant le volume de cuivre obtenu, nécessaire à sa fabrication, par la densité du cuivre: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g ou 2,3 kg. C'est-à-dire que le cylindre creux considéré pèse 12 (28, 1/2, 3) fois moins qu'un cylindre homogène.
