La géométrie est une branche des mathématiques qui étudie les structures dans l'espace et les relations entre elles. À son tour, il se compose également de sections, dont l'une est la stéréométrie. Il prévoit l'étude des propriétés des figures volumétriques situées dans l'espace: un cube, une pyramide, une boule, un cône, un cylindre, etc.
Un cône est un corps dans l'espace euclidien qui délimite une surface conique et un plan sur lequel se trouvent les extrémités de ses génératrices. Sa formation se produit lors du processus de rotation d'un triangle rectangle autour de l'une de ses jambes, il appartient donc aux corps de révolution.
Composants de cône
On distingue les types de cônes suivants: obliques (ou obliques) et droits. Oblique est celui dont l'axe coupe avec le centre de sa base non à angle droit. Pour cette raison, la hauteur dans un tel cône ne coïncide pas avec l'axe, car il s'agit d'un segment qui est abaissé du haut du corps à son plansocle à 90°.
Ce cône dont l'axe est perpendiculaire à sa base est appelé cône droit. L'axe et la hauteur d'un tel corps géométrique coïncident en raison du fait que le sommet qu'il contient est situé au-dessus du centre du diamètre de la base.
Le cône se compose des éléments suivants:
- Le cercle qui est sa base.
- Côté.
- Un point ne se trouvant pas dans le plan de la base, appelé sommet du cône.
- Segments qui relient les points du cercle de la base du corps géométrique et de son sommet.
Tous ces segments sont des génératrices du cône. Ils sont inclinés par rapport à la base du corps géométrique, et dans le cas d'un cône droit leurs projections sont égales, puisque le sommet est équidistant des points du cercle de base. Ainsi, nous pouvons conclure que dans un cône régulier (droit), les génératrices sont égales, c'est-à-dire qu'elles ont la même longueur et forment les mêmes angles avec l'axe (ou la hauteur) et la base.
Étant donné que dans un corps de révolution oblique (ou incliné) le sommet est déplacé par rapport au centre du plan de base, les génératrices d'un tel corps ont des longueurs et des projections différentes, puisque chacune d'elles est à une distance différente de deux points quelconques du cercle de base. De plus, les angles entre eux et la hauteur du cône seront également différents.
La longueur des génératrices dans un cône droit
Comme écrit précédemment, la hauteur dans un corps géométrique droit de révolution est perpendiculaire au plan de la base. Ainsi, la génératrice, la hauteur et le rayon de la base forment un triangle rectangle dans le cône.
C'est-à-dire, connaissant le rayon de la base et la hauteur, en utilisant la formule du théorème de Pythagore, vous pouvez calculer la longueur de la génératrice, qui sera égale à la somme des carrés du rayon de la base et hauteur:
l2 =r2+ h2 ou l=√r 2 + h2
où l est une génératrice;
r – rayon;
h – hauteur.
Génératif dans un cône oblique
Basé sur le fait que dans un cône oblique ou oblique les génératrices n'ont pas la même longueur, il ne sera pas possible de les calculer sans constructions et calculs supplémentaires.
Tout d'abord, vous devez connaître la hauteur, la longueur de l'axe et le rayon de la base.
Avec ces données, vous pouvez calculer la partie du rayon comprise entre l'axe et la hauteur, en utilisant la formule du théorème de Pythagore:
r1=√k2 - h2
où r1 est la partie du rayon entre l'axe et la hauteur;
k – longueur de l'essieu;
h – hauteur.
En ajoutant le rayon (r) et sa partie située entre l'axe et la hauteur (r1), vous pouvez trouver le côté complet de la droite triangle formé par la génératrice du cône, sa hauteur et sa partie diamètre:
R=r + r1
où R est la jambe du triangle formé par la hauteur, la génératrice et une partie du diamètre de la base;
r – rayon de base;
r1 – partie du rayon entre l'axe et la hauteur.
En utilisant la même formule du théorème de Pythagore, vous pouvez trouver la longueur de la génératrice du cône:
l=√h2+ R2
ou, sans calculer R séparément, combiner les deux formules en une seule:
l=√h2 + (r + r1)2.
Qu'il s'agisse d'un cône droit ou oblique et du type de données d'entrée, toutes les méthodes pour trouver la longueur de la génératrice aboutissent toujours à un seul résultat: l'utilisation du théorème de Pythagore.
Section de cône
La section axiale d'un cône est un plan passant le long de son axe ou de sa hauteur. Dans un cône droit, une telle section est un triangle isocèle, dans lequel la hauteur du triangle est la hauteur du corps, ses côtés sont les génératrices et la base est le diamètre de la base. Dans un corps géométrique équilatéral, la section axiale est un triangle équilatéral, puisque dans ce cône le diamètre de la base et des génératrices sont égaux.
Le plan de la section axiale d'un cône droit est le plan de sa symétrie. La raison en est que son sommet est au-dessus du centre de sa base, c'est-à-dire que le plan de la coupe axiale divise le cône en deux parties identiques.
Étant donné que la hauteur et l'axe ne correspondent pas dans un solide incliné, le plan de la section axiale peut ne pas inclure la hauteur. S'il est possible de construire un ensemble de sections axiales dans un tel cône, puisqu'une seule condition doit être respectée pour cela - il ne doit passer que par l'axe, alors une seule section axiale du plan, qui appartiendra à la hauteur de ce cône, peut être dessiné, car le nombre de conditions augmente, et, comme on le sait, deux lignes (ensemble) peuvent appartenir àun seul avion.
Zone de section
La section axiale du cône mentionnée précédemment est un triangle. Sur cette base, son aire peut être calculée à l'aide de la formule de l'aire d'un triangle:
S=1/2dh ou S=1/22rh
où S est l'aire de la section;
d – diamètre de la base;
r – rayon;
h – hauteur.
Dans un cône oblique ou oblique, la section le long de l'axe est également un triangle, de sorte que l'aire de la section transversale est calculée de la même manière.
Volume
Puisqu'un cône est une figure tridimensionnelle dans un espace tridimensionnel, nous pouvons calculer son volume. Le volume d'un cône est un nombre qui caractérise ce corps dans une unité de volume, c'est-à-dire en m3. Le calcul ne dépend pas du fait qu'il soit droit ou oblique (oblique), puisque les formules pour ces deux types de corps ne diffèrent pas.
Comme indiqué précédemment, la formation d'un cône droit se produit en raison de la rotation d'un triangle rectangle le long d'une de ses jambes. Un cône incliné ou oblique est formé différemment, car sa hauteur est décalée du centre du plan de base du corps. Cependant, de telles différences de structure n'affectent pas la méthode de calcul de son volume.
Calcul du volume
La formule pour le volume de n'importe quel cône ressemble à ceci:
V=1/3πhr2
où V est le volume du cône;
h – hauteur;
r – rayon;
π - constante égale à 3, 14.
Pour calculer le volume d'un cône, vous devez disposer de données sur la hauteur et le rayon de la base du corps.
Pour calculer la hauteur d'un corps, il faut connaître le rayon de la base et la longueur de sa génératrice. Étant donné que le rayon, la hauteur et la génératrice sont combinés dans un triangle rectangle, la hauteur peut être calculée à l'aide de la formule du théorème de Pythagore (a2+ b2=c 2 ou dans notre cas h2+ r2=l2 , où l - génératrice). Dans ce cas, la hauteur sera calculée en extrayant la racine carrée de la différence entre les carrés de l'hypoténuse et de l'autre jambe:
a=√c2- b2
C'est-à-dire que la hauteur du cône sera égale à la valeur obtenue après extraction de la racine carrée de la différence entre le carré de la longueur de la génératrice et le carré du rayon de la base:
h=√l2 - r2
Calculant la hauteur à l'aide de cette méthode et connaissant le rayon de sa base, vous pouvez calculer le volume du cône. Dans ce cas, la génératrice joue un rôle important, puisqu'elle sert d'élément auxiliaire dans les calculs.
De même, si vous connaissez la hauteur du corps et la longueur de sa génératrice, vous pouvez trouver le rayon de sa base en extrayant la racine carrée de la différence entre le carré de la génératrice et le carré de la hauteur:
r=√l2 - h2
Ensuite, en utilisant la même formule que ci-dessus, calculez le volume du cône.
Volume du cône incliné
Comme la formule du volume d'un cône est la même pour tous les types de corps de révolution, la différence dans son calcul est la recherche de la hauteur.
Afin de connaître la hauteur d'un cône incliné, les données d'entrée doivent inclure la longueur de la génératrice, le rayon de la base et la distance entre le centrebase et l'intersection de la hauteur du corps avec le plan de sa base. Sachant cela, vous pouvez facilement calculer cette partie du diamètre de la base, qui sera la base d'un triangle rectangle (formé par la hauteur, la génératrice et le plan de la base). Ensuite, toujours en utilisant le théorème de Pythagore, calculez la hauteur du cône, puis son volume.
