En mathématiques, les fonctions inverses sont des expressions mutuellement correspondantes qui se transforment l'une en l'autre. Pour comprendre ce que cela signifie, il convient de considérer un exemple spécifique. Disons que nous avons y=cos(x). Si nous prenons le cosinus de l'argument, alors nous pouvons trouver la valeur de y. Évidemment, pour cela, vous devez avoir x. Mais que se passe-t-il si le joueur est initialement donné? C'est là qu'on entre dans le vif du sujet. Pour résoudre le problème, l'utilisation d'une fonction inverse est nécessaire. Dans notre cas, il s'agit de l'arc cosinus.
Après toutes les transformations, on obtient: x=arccos(y).
C'est-à-dire que pour trouver une fonction inverse d'une fonction donnée, il suffit d'en exprimer un argument. Mais cela ne fonctionne que si le résultat aura une seule valeur (plus sur cela plus tard).
En termes généraux, ce fait peut s'écrire comme suit: f(x)=y, g(y)=x.
Définition
Soit f une fonction dont le domaine est l'ensemble X, etla plage de valeurs est l'ensemble Y. Alors, s'il existe g dont les domaines effectuent des tâches opposées, alors f est réversible.
De plus, dans ce cas g est unique, ce qui signifie qu'il y a exactement une fonction qui satisfait cette propriété (ni plus, ni moins). On l'appelle alors la fonction inverse, et en écrivant on la note comme suit: g(x)=f -1(x).
En d'autres termes, ils peuvent être considérés comme une relation binaire. La réversibilité n'a lieu que lorsqu'un élément de l'ensemble correspond à une valeur d'un autre.
Il n'y a pas toujours de fonction inverse. Pour ce faire, chaque élément y є Y doit correspondre au plus à un x є X. Alors f est appelé bijectif ou injection. Si f -1 appartient à Y, alors chaque élément de cet ensemble doit correspondre à un certain x ∈ X. Les fonctions possédant cette propriété sont appelées surjections. C'est vrai par définition si Y est une image f, mais ce n'est pas toujours le cas. Pour être inverse, une fonction doit être à la fois une injection et une surjection. De telles expressions sont appelées bijections.
Exemple: fonctions carré et racine
La fonction est définie sur [0, ∞) et donnée par la formule f (x)=x2.
Alors ce n'est pas injectif, parce que chaque résultat possible Y (sauf 0) correspond à deux X différents - un positif et un négatif, donc ce n'est pas réversible. Dans ce cas, il sera impossible d'obtenir les données initiales de celles reçues, ce qui contreditthéories. Ce sera non-injectif.
Si le domaine de définition est conditionnellement limité à des valeurs non négatives, alors tout fonctionnera comme avant. Elle est alors bijective et donc inversible. La fonction inverse ici est appelée positive.
Remarque sur l'entrée
Que la désignation f -1 (x) puisse confondre une personne, mais en aucun cas elle ne doit être utilisée comme ceci: (f (x)) - 1 . Il fait référence à un concept mathématique complètement différent et n'a rien à voir avec la fonction inverse.
En règle générale, certains auteurs utilisent des expressions comme sin-1 (x).
Cependant, d'autres mathématiciens pensent que cela peut prêter à confusion. Pour éviter de telles difficultés, les fonctions trigonométriques inverses sont souvent désignées par le préfixe "arc" (du latin arc). Dans notre cas, nous parlons de l'arc sinus. Vous pouvez aussi parfois voir le préfixe "ar" ou "inv" pour certaines autres fonctions.
