En 1900, l'un des plus grands scientifiques du siècle dernier, David Hilbert, a compilé une liste de 23 problèmes non résolus en mathématiques. Le travail sur eux a eu un impact énorme sur le développement de ce domaine de la connaissance humaine. 100 ans plus tard, le Clay Mathematical Institute a présenté une liste de 7 problèmes connus sous le nom de problèmes du millénaire. Chacun d'eux s'est vu offrir un prix de 1 million de dollars.
Le seul problème qui est apparu parmi les deux listes d'énigmes qui hantent les scientifiques depuis plus d'un siècle était l'hypothèse de Riemann. Elle attend toujours sa décision.
Brève note biographique
Georg Friedrich Bernhard Riemann est né en 1826 à Hanovre, dans une famille nombreuse d'un pasteur pauvre, et n'a vécu que 39 ans. Il a réussi à publier 10 ouvrages. Cependant, déjà de son vivant, Riemann était considéré comme le successeur de son professeur Johann Gauss. À 25 ans, le jeune scientifique a soutenu sa thèse "Fondements de la théorie des fonctions d'une variable complexe". Plus tard, il a formulésa fameuse hypothèse.
Nombres premiers
Les mathématiques sont apparues lorsque l'homme a appris à compter. Dans le même temps, les premières idées sur les nombres sont apparues, qu'ils ont ensuite essayé de classer. Certains d'entre eux ont des propriétés communes. En particulier, parmi les nombres naturels, c'est-à-dire ceux qui servaient à compter (numéroter) ou à désigner le nombre d'objets, on distinguait un groupe qui n'était divisible que par un et par eux-mêmes. Ils sont dits simples. Une preuve élégante du théorème de l'infini de l'ensemble de ces nombres a été donnée par Euclide dans ses Eléments. Pour le moment, leur recherche continue. En particulier, le plus grand nombre déjà connu est 274 207 281 – 1.
Formule d'Euler
Avec le concept de l'infinité de l'ensemble des nombres premiers, Euclide a également déterminé le deuxième théorème sur la seule décomposition possible en facteurs premiers. Selon elle, tout entier positif est le produit d'un seul ensemble de nombres premiers. En 1737, le grand mathématicien allemand Leonhard Euler a exprimé le premier théorème de l'infini d'Euclide sous la forme de la formule ci-dessous.
C'est ce qu'on appelle la fonction zêta, où s est une constante et p prend toutes les valeurs premières. La déclaration d'Euclide sur l'unicité de l'expansion en découlait directement.
Fonction Zeta de Riemann
La formule d'Euler, à y regarder de plus près, est complètementsurprenant car il définit la relation entre les nombres premiers et les nombres entiers. Après tout, une infinité d'expressions qui ne dépendent que des nombres premiers sont multipliées sur son côté gauche, et la somme associée à tous les entiers positifs se trouve sur sa droite.
Riemann est allé plus loin qu'Euler. Afin de trouver la clé du problème de la distribution des nombres, il a proposé de définir une formule pour les variables réelles et complexes. C'est elle qui reçut par la suite le nom de fonction zeta de Riemann. En 1859, le scientifique publie un article intitulé "Sur le nombre de nombres premiers qui ne dépassent pas une valeur donnée", où il résume toutes ses idées.
Riemann a suggéré d'utiliser la série d'Euler, qui converge pour tout s>1 réel. Si la même formule est utilisée pour le complexe s, alors la série convergera pour toute valeur de cette variable avec une partie réelle supérieure à 1. Riemann a appliqué la procédure de continuation analytique, étendant la définition de zêta (s) à tous les nombres complexes, mais "jeté" l'unité. Il a été exclu car à s=1, la fonction zêta augmente à l'infini.
Sens pratique
Une question logique se pose: pourquoi la fonction zêta, clé dans les travaux de Riemann sur l'hypothèse nulle, est-elle intéressante et importante ? Comme vous le savez, à l'heure actuelle, aucun schéma simple n'a été identifié pour décrire la distribution des nombres premiers parmi les nombres naturels. Riemann a pu découvrir que le nombre pi(x) de nombres premiers qui ne dépassaient pas x est exprimé en termes de distribution des zéros non triviaux de la fonction zêta. De plus, l'hypothèse de Riemann estune condition nécessaire pour prouver les estimations de temps pour le fonctionnement de certains algorithmes cryptographiques.
Hypothèse de Riemann
L'une des premières formulations de ce problème mathématique, qui n'a pas été prouvée à ce jour, ressemble à ceci: les fonctions zêta 0 non triviales sont des nombres complexes dont la partie réelle est égale à ½. En d'autres termes, ils sont situés sur la droite Re s=½.
Il existe également une hypothèse de Riemann généralisée, qui est la même déclaration, mais pour les généralisations des fonctions zêta, qui sont communément appelées fonctions L de Dirichlet (voir photo ci-dessous).
Dans la formule χ(n) - un caractère numérique (modulo k).
L'énoncé riemannien est considéré comme l'hypothèse dite nulle, car il a été testé pour sa cohérence avec les données d'échantillon existantes.
Comme Riemann l'a soutenu
La remarque du mathématicien allemand était à l'origine formulée avec désinvolture. Le fait est qu'à cette époque le scientifique allait prouver le théorème sur la distribution des nombres premiers, et dans ce contexte, cette hypothèse n'avait pas d'importance particulière. Cependant, son rôle dans la résolution de nombreux autres problèmes est énorme. C'est pourquoi l'hypothèse de Riemann est maintenant reconnue par de nombreux scientifiques comme le plus important des problèmes mathématiques non prouvés.
Comme déjà mentionné, l'hypothèse de Riemann complète n'est pas nécessaire pour prouver le théorème de distribution, et il suffit de justifier logiquement que la partie réelle de tout zéro non trivial de la fonction zêta est dansentre 0 et 1. Il découle de cette propriété que la somme de tous les 0 de la fonction zêta qui apparaît dans la formule exacte ci-dessus est une constante finie. Pour les grandes valeurs de x, il peut être complètement perdu. Le seul membre de la formule qui reste le même même pour un très grand x est x lui-même. Les termes complexes restants s'annulent asymptotiquement par rapport à lui. La somme pondérée tend donc vers x. Cette circonstance peut être considérée comme une confirmation de la vérité du théorème sur la distribution des nombres premiers. Ainsi, les zéros de la fonction zêta de Riemann ont un rôle particulier. Elle consiste à prouver que de telles valeurs ne peuvent apporter une contribution significative à la formule de décomposition.
Disciples de Riemann
La mort tragique de la tuberculose n'a pas permis à ce scientifique de mener son programme à sa fin logique. Cependant, Sh-Zh lui a succédé. de la Vallée Poussin et Jacques Hadamard. Indépendamment les uns des autres, ils en ont déduit un théorème sur la distribution des nombres premiers. Hadamard et Poussin ont réussi à prouver que toutes les fonctions zêta 0 non triviales se situent dans la bande critique.
Grâce au travail de ces scientifiques, une nouvelle direction des mathématiques est apparue - la théorie analytique des nombres. Plus tard, plusieurs preuves plus primitives du théorème sur lequel Riemann travaillait ont été obtenues par d'autres chercheurs. En particulier, Pal Erdős et Atle Selberg ont même découvert une chaîne logique très complexe le confirmant, qui ne nécessitait pas l'utilisation d'analyses complexes. Cependant, à ce stade, plusieurs éléments importantsthéorèmes, y compris des approximations de nombreuses fonctions de la théorie des nombres. À cet égard, le nouveau travail d'Erdős et d'Atle Selberg n'a pratiquement rien changé.
L'une des preuves les plus simples et les plus belles du problème a été trouvée en 1980 par Donald Newman. Il était basé sur le célèbre théorème de Cauchy.
L'hypothèse riemannienne menace-t-elle les fondements de la cryptographie moderne
Le cryptage des données est apparu avec l'apparition des hiéroglyphes, plus précisément, ils peuvent eux-mêmes être considérés comme les premiers codes. En ce moment, il existe tout un domaine de la cryptographie numérique, qui développe des algorithmes de chiffrement.
Les nombres premiers et "semi-premiers", c'est-à-dire ceux qui ne sont divisibles que par 2 autres nombres de la même classe, constituent la base du système à clé publique appelé RSA. Il a l'application la plus large. Il est notamment utilisé lors de la génération d'une signature électronique. Parlant en termes accessibles aux nuls, l'hypothèse de Riemann affirme l'existence d'un système dans la distribution des nombres premiers. Ainsi, la force des clés cryptographiques, dont dépend la sécurité des transactions en ligne dans le domaine du commerce électronique, est considérablement réduite.
Autres problèmes mathématiques non résolus
Il vaut la peine de terminer l'article en consacrant quelques mots aux autres objectifs du millénaire. Ceux-ci incluent:
- Égalité des classes P et NP. Le problème est formulé comme suit: si une réponse positive à une question particulière est vérifiée en temps polynomial, alors est-il vrai que la réponse à cette question elle-mêmepeut être trouvé rapidement ?
- conjecture de Hodge. En termes simples, il peut être formulé comme suit: pour certains types de variétés algébriques projectives (espaces), les cycles de Hodge sont des combinaisons d'objets qui ont une interprétation géométrique, c'est-à-dire des cycles algébriques.
- Conjecture de Poincaré. C'est le seul Millennium Challenge qui a fait ses preuves jusqu'à présent. Selon elle, tout objet tridimensionnel qui a les propriétés spécifiques d'une sphère tridimensionnelle doit être une sphère, jusqu'à la déformation.
- Affirmation de la théorie quantique de Yang - Mills. Il est nécessaire de prouver que la théorie quantique proposée par ces scientifiques pour l'espace R 4 existe et a un 0ème défaut de masse pour tout groupe de jauge compact simple G.
- Hypothèse de Birch-Swinnerton-Dyer. C'est un autre problème lié à la cryptographie. Il touche les courbes elliptiques.
- Le problème de l'existence et de la régularité des solutions aux équations de Navier-Stokes.
Vous connaissez maintenant l'hypothèse de Riemann. En termes simples, nous avons formulé certains des autres défis du millénaire. Qu'ils soient résolus ou qu'il soit prouvé qu'ils n'ont pas de solution n'est qu'une question de temps. De plus, il est peu probable que cela doive attendre trop longtemps, puisque les mathématiques utilisent de plus en plus les capacités de calcul des ordinateurs. Cependant, tout n'est pas soumis à la technologie, et avant tout, l'intuition et la créativité sont nécessaires pour résoudre des problèmes scientifiques.
