Les problèmes insolubles sont les 7 problèmes mathématiques les plus intéressants. Chacun d'eux a été proposé à un moment donné par des scientifiques bien connus, en règle générale, sous la forme d'hypothèses. Pendant de nombreuses décennies, les mathématiciens du monde entier se sont creusé la cervelle sur leur solution. Ceux qui réussiront seront récompensés par un million de dollars américains offert par le Clay Institute.
Histoire
En 1900, le grand mathématicien allemand David Hilbert a présenté une liste de 23 problèmes.
Les recherches menées pour les résoudre ont eu un impact énorme sur la science du XXe siècle. Pour le moment, la plupart d'entre eux ont cessé d'être des mystères. Parmi les problèmes non résolus ou partiellement résolus, figuraient:
- problème de cohérence des axiomes arithmétiques;
- loi générale de réciprocité sur l'espace de tout corps numérique;
- étude mathématique des axiomes physiques;
- étude des formes quadratiques pour les nombres algébriques arbitrairescotes;
- le problème de la justification rigoureuse de la géométrie computationnelle de Fyodor Schubert;
- etc.
Sont inexplorés: le problème de l'extension du théorème bien connu de Kronecker à toute région algébrique de rationalité et l'hypothèse de Riemann.
L'Institut de l'Argile
C'est le nom d'une organisation privée à but non lucratif dont le siège est à Cambridge, Massachusetts. Elle a été fondée en 1998 par le mathématicien de Harvard A. Jeffey et l'homme d'affaires L. Clay. L'Institut a pour but de vulgariser et de développer les connaissances mathématiques. Pour y parvenir, l'organisation décerne des prix à des scientifiques et parraine des recherches prometteuses.
Au début du XXIe siècle, le Clay Institute of Mathematics offrait un prix à ceux qui résolvaient ce que l'on appelle les problèmes insolubles les plus difficiles, en appelant leur liste les problèmes du prix du millénaire. Seule l'hypothèse de Riemann a été incluse dans la liste de Hilbert.
Défis du millénaire
La liste du Clay Institute comprenait à l'origine:
- Hypothèse du cycle de Hodge;
- équations quantiques de la théorie de Yang-Mills;
- Hypothèse de Poincaré;
- le problème de l'égalité des classes P et NP;
- Hypothèse de Riemann;
- Équations de Navier-Stokes, sur l'existence et la régularité de ses solutions;
- Problème Birch-Swinnerton-Dyer.
Ces problèmes mathématiques ouverts sont d'un grand intérêt, car ils peuvent avoir de nombreuses implémentations pratiques.
Qu'est-ce que Grigory Perelman a prouvé
En 1900, le célèbre philosophe Henri Poincaré a suggéré que toute 3-variété compacte simplement connexe sans frontière est homéomorphe à une sphère de 3 dimensions. Sa preuve dans le cas général n'a pas été trouvée pendant un siècle. Seulement en 2002-2003, le mathématicien de Saint-Pétersbourg G. Perelman a publié un certain nombre d'articles avec une solution au problème de Poincaré. Ils ont eu l'effet d'une bombe qui explose. En 2010, l'hypothèse de Poincaré a été exclue de la liste des "Problèmes non résolus" du Clay Institute, et Perelman lui-même s'est vu proposer de recevoir une rémunération considérable qui lui était due, ce que ce dernier a refusé sans expliquer les raisons de sa décision.
L'explication la plus compréhensible de ce que le mathématicien russe a réussi à prouver peut être donnée en imaginant qu'un disque en caoutchouc est tiré sur un beignet (tore), puis ils essaient de tirer les bords de son cercle en un seul point. Évidemment ce n'est pas possible. Autre chose, si vous faites cette expérience avec un ballon. Dans ce cas, une sphère apparemment tridimensionnelle, résultant d'un disque dont la circonférence a été tirée vers un point par une corde hypothétique, serait tridimensionnelle dans la compréhension d'une personne ordinaire, mais bidimensionnelle en termes de mathématiques.
Poincaré a suggéré qu'une sphère tridimensionnelle est le seul "objet" tridimensionnel dont la surface peut être contractée en un point, et Perelman a réussi à le prouver. Ainsi, la liste des "problèmes insolubles" se compose aujourd'hui de 6 problèmes.
Théorie de Yang-Mills
Ce problème mathématique a été proposé par ses auteurs en 1954. La formulation scientifique de la théorie est la suivante:pour tout groupe de jauge compact simple, la théorie spatiale quantique créée par Yang et Mills existe, et en même temps a un défaut de masse nul.
Parlant dans un langage compréhensible pour une personne ordinaire, les interactions entre objets naturels (particules, corps, ondes, etc.) sont divisées en 4 types: électromagnétique, gravitationnelle, faible et forte. Depuis de nombreuses années, les physiciens tentent de créer une théorie générale des champs. Il doit devenir un outil d'explication de toutes ces interactions. La théorie de Yang-Mills est un langage mathématique avec lequel il est devenu possible de décrire 3 des 4 principales forces de la nature. Cela ne s'applique pas à la gravité. Par conséquent, on ne peut pas considérer que Yang et Mills ont réussi à créer une théorie des champs.
De plus, la non-linéarité des équations proposées les rend extrêmement difficiles à résoudre. Pour de petites constantes de couplage, elles peuvent être approximativement résolues sous la forme d'une série de théories des perturbations. Cependant, on ne sait pas encore comment ces équations peuvent être résolues avec un couplage fort.
Équations de Navier-Stokes
Ces expressions décrivent des processus tels que les courants d'air, l'écoulement des fluides et la turbulence. Pour certains cas particuliers, des solutions analytiques de l'équation de Navier-Stokes ont déjà été trouvées, mais jusqu'à présent personne n'a réussi à le faire pour le cas général. Dans le même temps, des simulations numériques pour des valeurs spécifiques de vitesse, de densité, de pression, de temps, etc. peuvent obtenir d'excellents résultats. Il reste à espérer que quelqu'un saura appliquer les équations de Navier-Stokes à l'enversdirection, c'est-à-dire calculer les paramètres en les utilisant, ou prouver qu'il n'y a pas de méthode de résolution.
Problème Birch-Swinnerton-Dyer
La catégorie "Problèmes non résolus" comprend également l'hypothèse proposée par des scientifiques britanniques de l'Université de Cambridge. Il y a même 2300 ans, l'ancien scientifique grec Euclide a donné une description complète des solutions de l'équation x2 + y2=z2.
Si pour chaque nombre premier on compte le nombre de points sur la courbe modulo celui-ci, on obtient un ensemble infini d'entiers. Si vous le "collez" spécifiquement dans 1 fonction d'une variable complexe, vous obtenez la fonction zêta de Hasse-Weil pour une courbe du troisième ordre, désignée par la lettre L. Elle contient des informations sur le comportement modulo tous les nombres premiers à la fois.
Brian Birch et Peter Swinnerton-Dyer ont conjecturé sur les courbes elliptiques. Selon elle, la structure et le nombre de l'ensemble de ses solutions rationnelles sont liés au comportement de la fonction L à l'identité. La conjecture de Birch-Swinnerton-Dyer actuellement non prouvée dépend de la description des équations algébriques du 3ème degré et est la seule manière générale relativement simple de calculer le rang des courbes elliptiques.
Pour comprendre l'importance pratique de cette tâche, il suffit de dire que dans la cryptographie moderne, toute une classe de systèmes asymétriques est basée sur des courbes elliptiques, et les normes nationales de signature numérique sont basées sur leur application.
Égalité des classes p et np
Si les autres défis du millénaire sont purement mathématiques, alors celui-ci arelation avec la théorie même des algorithmes. Le problème concernant l'égalité des classes p et np, également connu sous le nom de problème de Cooke-Levin, peut être formulé dans un langage compréhensible comme suit. Supposons qu'une réponse positive à une certaine question puisse être vérifiée assez rapidement, c'est-à-dire en temps polynomial (PT). Alors est-il exact de dire que la réponse peut être trouvée assez rapidement ? Encore plus simple ce problème ressemble à ceci: n'est-il vraiment pas plus difficile de vérifier la solution du problème que de la trouver ? Si l'égalité des classes p et np est prouvée, alors tous les problèmes de sélection peuvent être résolus pour PV. À l'heure actuelle, de nombreux experts doutent de la véracité de cette affirmation, bien qu'ils ne puissent pas prouver le contraire.
Hypothèse de Riemann
Jusqu'en 1859, aucun modèle n'a été trouvé qui décrirait comment les nombres premiers sont distribués parmi les nombres naturels. Peut-être était-ce dû au fait que la science traitait d'autres questions. Cependant, au milieu du 19ème siècle, la situation avait changé, et ils sont devenus l'un des plus pertinents que les mathématiques ont commencé à traiter.
L'hypothèse de Riemann, qui est apparue au cours de cette période, est l'hypothèse qu'il existe un certain schéma dans la distribution des nombres premiers.
Aujourd'hui, de nombreux scientifiques modernes pensent que si cela est prouvé, il sera alors nécessaire de réviser bon nombre des principes fondamentaux de la cryptographie moderne, qui constituent la base d'une partie importante des mécanismes du commerce électronique.
Selon l'hypothèse de Riemann, le caractèrela distribution des nombres premiers peut être significativement différente de ce qui est actuellement supposé. Le fait est qu'à ce jour aucun système n'a été découvert dans la distribution des nombres premiers. Par exemple, il y a le problème des "jumeaux", dont la différence est de 2. Ces nombres sont 11 et 13, 29. D'autres nombres premiers forment des grappes. Ce sont 101, 103, 107, etc. Les scientifiques soupçonnent depuis longtemps que de tels amas existent parmi de très grands nombres premiers. Si elles sont trouvées, la force des clés cryptographiques modernes sera remise en question.
Hypothèse du cycle de Hodge
Ce problème encore non résolu a été formulé en 1941. L'hypothèse de Hodge suggère la possibilité d'approcher la forme de n'importe quel objet en "collant" ensemble des corps simples de dimensions supérieures. Cette méthode est connue et utilisée avec succès depuis longtemps. Cependant, on ne sait pas dans quelle mesure la simplification peut être faite.
Maintenant, vous savez quels problèmes insolubles existent en ce moment. Ils font l'objet de recherches par des milliers de scientifiques à travers le monde. Il reste à espérer qu'ils seront résolus dans un avenir proche et que leur application pratique aidera l'humanité à entrer dans un nouveau cycle de développement technologique.
