La loi de conservation de la quantité de mouvement et du moment angulaire : un exemple de résolution du problème

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-02 17:46

Lorsque l'on doit résoudre des problèmes de physique sur le mouvement d'objets, il s'avère souvent utile d'appliquer la loi de conservation de la quantité de mouvement. Quel est l'élan pour le mouvement linéaire et circulaire du corps, et quelle est l'essence de la loi de conservation de cette valeur, est discuté dans l'article.

Le concept de moment linéaire

Les données historiques montrent que pour la première fois cette valeur a été prise en compte dans ses travaux scientifiques par Galileo Galilei au début du XVIIe siècle. Par la suite, Isaac Newton a pu intégrer harmonieusement le concept de quantité de mouvement (un nom plus correct pour la quantité de mouvement) dans la théorie classique du mouvement des objets dans l'espace.

Dénotez la quantité de mouvement comme p¯, alors la formule pour son calcul s'écrira comme suit:

p¯=mv¯.

Ici m est la masse, v¯ est la vitesse (valeur vectorielle) du mouvement. Cette égalité montre que la quantité de mouvement est la vitesse caractéristique d'un objet, où la masse joue le rôle d'un facteur de multiplication. Nombre de mouvementest une quantité vectorielle pointant dans la même direction que la vitesse.

Intuitivement, plus la vitesse de déplacement et la masse du corps sont grandes, plus il est difficile de l'arrêter, c'est-à-dire plus l'énergie cinétique dont il dispose est grande.

La quantité de mouvement et son changement

Vous pouvez deviner que pour changer la valeur p¯ du corps, vous devez appliquer une certaine force. Soit la force F¯ agir pendant l'intervalle de temps Δt, alors la loi de Newton permet d'écrire l'égalité:

F¯Δt=ma¯Δt; donc F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.

La valeur égale au produit de l'intervalle de temps Δt et de la force F¯ est appelée l'impulsion de cette force. Puisqu'il s'avère être égal au changement de quantité de mouvement, ce dernier est souvent appelé simplement quantité de mouvement, suggérant qu'une force externe F¯ l'a créé.

Ainsi, la raison du changement de quantité de mouvement est la quantité de mouvement de la force externe. La valeur de Δp¯ peut conduire à la fois à une augmentation de la valeur de p¯ si l'angle entre F¯ et p¯ est aigu, et à une diminution du module de p¯ si cet angle est obtus. Les cas les plus simples sont l'accélération du corps (l'angle entre F¯ et p¯ est nul) et sa décélération (l'angle entre les vecteurs F¯ et p¯ est 180o).

Lorsque la quantité de mouvement est conservée: loi

Si le système corporel n'est pasdes forces externes agissent et tous les processus qui s'y trouvent ne sont limités que par l'interaction mécanique de ses composants, alors chaque composant de la quantité de mouvement reste inchangé pendant une durée arbitrairement longue. C'est la loi de conservation de la quantité de mouvement des corps, qui s'écrit mathématiquement comme suit:

p¯=∑_ip_{i¯=const ou}

∑_ip_ix=const; ∑_ip_iy=const; ∑_ip_iz=const.

L'indice i est un entier qui énumère l'objet du système, et les indices x, y, z décrivent les composantes d'impulsion pour chacun des axes de coordonnées dans le système rectangulaire cartésien.

En pratique, il est souvent nécessaire de résoudre des problèmes unidimensionnels pour la collision de corps, lorsque les conditions initiales sont connues, et il est nécessaire de déterminer l'état du système après l'impact. Dans ce cas, la quantité de mouvement est toujours conservée, ce qui ne peut pas être dit de l'énergie cinétique. Cette dernière avant et après le choc ne sera inchangée que dans un seul cas: lorsqu'il y a interaction absolument élastique. Pour ce cas de collision de deux corps se déplaçant avec des vitesses v₁ et v_{2, la formule de conservation de la quantité de mouvement prendra la forme:}

m₁ v₁ + m₂ v ₂=m₁ u₁ + m₂ u 2_.

Ici, les vitesses u₁ et u_{2 caractérisent le mouvement des corps après l'impact. A noter que dans cette forme de loi de conservation, il faut tenir compte du signe des vitesses: si elles sont dirigées l'une vers l'autre, alors il faut en prendre unepositif et l'autre négatif.}

Pour une collision parfaitement inélastique (deux corps se collent après l'impact), la loi de conservation de la quantité de mouvement a la forme:

m₁ v₁ + m₂ v ₂=(m₁+ m_2)u.

Solution du problème sur la loi de conservation de p¯

Résolvons le problème suivant: deux balles roulent l'une vers l'autre. Les masses des balles sont les mêmes, et leurs vitesses sont de 5 m/s et 3 m/s. En supposant qu'il y ait une collision absolument élastique, il faut trouver les vitesses des balles après celle-ci.

En utilisant la loi de conservation de la quantité de mouvement pour le cas unidimensionnel, et en tenant compte du fait que l'énergie cinétique est conservée après l'impact, on écrit:

v_{1 -} v₂=u₁ + u _2;

v₁² + v₂^2=u12 ^{+ u}22^.

Ici, nous avons immédiatement réduit les masses des balles en raison de leur égalité, et avons également pris en compte le fait que les corps se déplacent les uns vers les autres.

Il est plus facile de continuer à résoudre le système si vous substituez des données connues. Nous obtenons:

5 - 3 - u₂=u_1;

5²+ 3²=u₁²+ u₂^2.

En remplaçant u_{1 dans la seconde équation, on obtient:}

2 - u₂=u_1;

34=(2 - u₂)²+u₂ 2^{=4 - 4u}2 _{+ 2u}22^{; Par conséquent,u}22^{- 2u}2 _{- 15=0.}

Nous avons l'équation quadratique classique. On le résout par le discriminant, on obtient:

D=4 - 4(-15)=64.

u_{2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.}

Nous avons deux solutions. Si nous les substituons dans la première expression et définissons u₁, alors nous obtenons la valeur suivante: u₁=-3 m/s, u ₂=5 m/s; u₁=5 m/s, u_{2=-3 m/s. La deuxième paire de nombres est donnée dans l'état du problème, elle ne correspond donc pas à la distribution réelle des vitesses après l'impact.}

Ainsi, il ne reste qu'une seule solution: u₁=-3 m/s, u_{2=5 m/s. Ce résultat curieux signifie que dans une collision élastique centrale, deux boules de masse égale échangent simplement leurs vitesses.}

Moment d'élan

Tout ce qui a été dit ci-dessus fait référence au type de mouvement linéaire. Cependant, il s'avère que des quantités similaires peuvent également être introduites dans le cas d'un déplacement circulaire de corps autour d'un certain axe. Le moment cinétique, également appelé moment cinétique, est calculé comme le produit du vecteur reliant le point matériel à l'axe de rotation et le moment de ce point. Autrement dit, la formule a lieu:

L¯=r¯p¯, où p¯=mv¯.

La quantité de mouvement, comme p¯, est un vecteur dirigé perpendiculairement au plan construit sur les vecteurs r¯ et p¯.

La valeur de L¯ est une caractéristique importante d'un système en rotation, car elle détermine l'énergie qui y est stockée.

Moment de quantité de mouvement et loi de conservation

Le moment cinétique est conservé si aucune force externe n'agit sur le système (on dit généralement qu'il n'y a pas de moment de forces). L'expression du paragraphe précédent, par de simples transformations, peut être écrite sous une forme plus pratique pour la pratique:

L¯=Iω¯, où I=mr2 est le moment d'inertie du point matériel, ω¯ est la vitesse angulaire.

Le moment d'inertie I, qui apparaît dans l'expression, a exactement la même signification pour la rotation que la masse habituelle pour le mouvement linéaire.

S'il y a un réarrangement interne du système, dans lequel I change, alors ω¯ ne reste pas non plus constant. De plus, le changement des deux grandeurs physiques se produit de telle manière que l'égalité ci-dessous reste valide:

I₁ ω₁¯=I₂ ω _2¯.

C'est la loi de conservation du moment cinétique L¯. Sa manifestation a été observée par toute personne ayant assisté au moins une fois au ballet ou au patinage artistique, où les athlètes exécutent des pirouettes avec rotation.