En mathématiques et en traitement, le concept de signal analytique (pour faire court - C, AC) est une fonction complexe qui n'a pas de composantes de fréquence négatives. Les parties réelles et imaginaires de ce phénomène sont des fonctions réelles liées entre elles par la transformée de Hilbert. Un signal analytique est un phénomène assez courant en chimie, dont l'essence est similaire à la définition mathématique de ce concept.
Performances
La représentation analytique d'une fonction réelle est un signal analytique contenant la fonction d'origine et sa transformée de Hilbert. Cette représentation facilite de nombreuses manipulations mathématiques. L'idée principale est que les composantes de fréquence négatives de la transformée de Fourier (ou du spectre) d'une fonction réelle sont redondantes en raison de la symétrie hermitienne d'un tel spectre. Ces composants de fréquence négative peuvent être éliminés sansperte d'informations, à condition de vouloir s'occuper plutôt d'une fonction complexe. Cela rend certains attributs de fonctionnalités plus accessibles et facilite la dérivation de techniques de modulation et de démodulation telles que SSB.
Composantes négatives
Tant que la fonction manipulée n'a pas de composantes de fréquence négatives (c'est-à-dire qu'elle est toujours analytique), la conversion du complexe au réel consiste simplement à éliminer la partie imaginaire. La représentation analytique est une généralisation du concept de vecteur: alors qu'un vecteur est limité à une amplitude, une phase et une fréquence invariantes dans le temps, une analyse qualitative d'un signal analytique permet des paramètres variant dans le temps.
L'amplitude instantanée, la phase et la fréquence instantanées sont utilisées dans certaines applications pour mesurer et détecter les caractéristiques locales de C. Une autre application de la représentation analytique concerne la démodulation des signaux modulés. Les coordonnées polaires séparent commodément les effets de la modulation AM et de la modulation de phase (ou de fréquence) et démodulent efficacement certains types.
Ensuite, un simple filtre passe-bas avec des coefficients réels peut couper la partie qui nous intéresse. Un autre motif est d'abaisser la fréquence maximale, ce qui abaisse la fréquence minimale pour l'échantillonnage sans alias. Le décalage de fréquence ne remet pas en cause l'utilité mathématique de la représentation. Ainsi, dans ce sens, downconverted est toujours analytique. Cependant, la restauration de la représentation réellen'est plus une simple question d'extraire simplement le composant réel. Une conversion ascendante peut être nécessaire, et si le signal est échantillonné (temps discret), une interpolation (suréchantillonnage) peut également être nécessaire pour éviter le crénelage.
Variables
Le concept est bien défini pour les phénomènes à une seule variable, qui sont généralement temporaires. Cette temporalité déroute beaucoup de mathématiciens débutants. Pour deux variables ou plus, le C analytique peut être défini de différentes manières, et deux approches sont présentées ci-dessous.
Les parties réelle et imaginaire de ce phénomène correspondent à deux éléments d'un signal monogénique à valeur vectorielle, tel que défini pour des phénomènes similaires à une variable. Cependant, monogénique peut être étendu à un nombre arbitraire de variables de manière simple, en créant une fonction vectorielle à (n + 1) dimension pour le cas de signaux à n variables.
Conversion de signal
Vous pouvez convertir un signal réel en un signal analytique en ajoutant une composante imaginaire (Q), qui est la transformée de Hilbert de la composante réelle.
Au fait, ce n'est pas nouveau dans son traitement numérique. L'une des méthodes traditionnelles de génération d'AM à bande latérale unique (SSB), la méthode de mise en phase, consiste à créer des signaux en générant une transformée de Hilbert d'un signal audio dans un réseau analogique résistance-condensateur. Comme il n'a que des fréquences positives, il est facile de le convertir en un signal RF modulé avec une seule bande latérale.
Formules de définition
L'expression du signal analytique est une fonction complexe holomorphe définie sur la frontière du demi-plan complexe supérieur. La frontière du demi-plan supérieur coïncide avec l'aléatoire, donc C est donné par l'application fa: R → C. Depuis le milieu du siècle dernier, lorsque Denis Gabor proposa en 1946 d'utiliser ce phénomène pour étudier l'amplitude et la phase constantes, le signal a trouvé de nombreuses applications. La particularité de ce phénomène a été soulignée [Vak96], où il a été montré que seule une analyse qualitative du signal analytique correspond aux conditions physiques d'amplitude, de phase et de fréquence.
Dernières réalisations
Au cours des dernières décennies, il y a eu un intérêt pour l'étude du signal dans de nombreuses dimensions, motivé par des problèmes survenant dans des domaines allant du traitement d'image/vidéo aux processus oscillatoires multidimensionnels en physique, tels que les processus sismiques, électromagnétiques et ondes gravitationnelles. Il est généralement admis que, pour généraliser correctement l'analytique C (analyse qualitative) au cas de plusieurs dimensions, il faut s'appuyer sur une construction algébrique qui étend les nombres complexes ordinaires de manière commode. De telles constructions sont généralement appelées nombres hypercomplexes [SKE].
Enfin, il devrait être possible de construire un signal analytique hypercomplexe fh: Rd → S, où un système algébrique général hypercomplexe est représenté, qui étend naturellement toutes les propriétés requises pour obtenir une amplitude instantanée etphase.
Étude
Un certain nombre d'articles sont consacrés à diverses questions liées au choix correct du système de numération hypercomplexe, à la définition de la transformée de Fourier hypercomplexe et aux transformées de Hilbert fractionnaires pour l'étude de l'amplitude et de la phase instantanées. La plupart de ces travaux étaient basés sur les propriétés de divers espaces tels que Cd, les quaternions, les algèbres de Clearon et les constructions de Cayley-Dixon.
Ensuite, nous ne citerons que quelques-uns des travaux consacrés à l'étude du signal en plusieurs dimensions. A notre connaissance, les premiers travaux sur la méthode multivariée ont été obtenus au début des années 1990. Il s'agit notamment des travaux d'Ell [Ell92] sur les transformations hypercomplexes; les travaux de Bulow sur la généralisation de la méthode de réaction analytique (signal analytique) à de nombreuses mesures [BS01] et les travaux de Felsberg et Sommer sur les signaux monogéniques.
Autres perspectives
Le signal hypercomplexe devrait étendre toutes les propriétés utiles que nous avons dans le cas 1D. Tout d'abord, il faut pouvoir extraire et généraliser l'amplitude et la phase instantanées aux mesures. Deuxièmement, le spectre de Fourier d'un signal analytique complexe n'est maintenu qu'à des fréquences positives, nous nous attendons donc à ce que la transformée de Fourier hypercomplexe ait son propre spectre hypervalué, qui ne sera maintenu que dans un quadrant positif de l'espace hypercomplexe. Parce que c'est très important.
Troisièmement, conjuguer les parties d'un concept complexedu signal analytique sont liés à la transformée de Hilbert, et nous pouvons nous attendre à ce que les composants conjugués dans l'espace hypercomplexe soient également liés à une combinaison des transformées de Hilbert. Et enfin, en effet, un signal hypercomplexe doit être défini comme une extension d'une fonction holomorphe hypercomplexe de plusieurs variables hypercomplexes définies sur la frontière d'une forme dans un espace hypercomplexe.
Nous traitons ces problèmes dans un ordre séquentiel. Tout d'abord, nous commençons par examiner la formule intégrale de Fourier et montrons que la transformée de Hilbert en 1-D est liée à la formule intégrale de Fourier modifiée. Ce fait nous permet de définir l'amplitude, la phase et la fréquence instantanées sans aucune référence aux systèmes de nombres hypercomplexes et aux fonctions holomorphes.
Modification des intégrales
Nous continuons en étendant la formule intégrale de Fourier modifiée à plusieurs dimensions et en déterminant toutes les composantes déphasées nécessaires que nous pouvons collecter en amplitude et phase instantanées. Deuxièmement, nous nous tournons vers la question de l'existence de fonctions holomorphes de plusieurs variables hypercomplexes. D'après [Sch93] il s'avère que l'algèbre hypercomplexe commutative et associative générée par un ensemble de générateurs elliptiques (e2i=−1) est un espace convenable pour qu'un signal analytique hypercomplexe vive, on appelle une telle algèbre hypercomplexe l'espace de Schaefers et on note ceSd.
Par conséquent, l'hypercomplexe de signaux analytiques est défini comme une fonction holomorphe sur la frontière du polydisque / moitié supérieure du plan dans un espace hypercomplexe, que nous appelons l'espace général de Schaefers, et noté Sd. Nous observons ensuite la validité de la formule intégrale de Cauchy pour les fonctions Sd → Sd, qui sont calculées sur une hypersurface à l'intérieur d'un polydisque dans Sd et dérivons les transformées de Hilbert fractionnaires correspondantes qui relient les composants conjugués hypercomplexes. Enfin, il s'avère que la transformée de Fourier à valeurs dans l'espace de Schaefers n'est supportée qu'aux fréquences non négatives. Grâce à cet article, vous avez appris ce qu'est un signal analytique.
