L'étudiant rencontre le plus souvent des surfaces de 2e ordre en première année. Au début, les tâches sur ce sujet peuvent sembler simples, mais au fur et à mesure que vous étudiez les mathématiques supérieures et approfondissez le côté scientifique, vous pouvez enfin cesser de vous orienter dans ce qui se passe. Pour éviter que cela ne se produise, il est nécessaire non seulement de mémoriser, mais de comprendre comment telle ou telle surface est obtenue, comment la modification des coefficients l'affecte et son emplacement par rapport au système de coordonnées d'origine, et comment trouver un nouveau système (un dans lequel son centre coïncide avec les coordonnées d'origine et l'axe de symétrie est parallèle à l'un des axes de coordonnées). Commençons par le début.
Définition
GMT est appelée une surface d'ordre 2 dont les coordonnées satisfont l'équation générale de la forme suivante:
F(x, y, z)=0.
Il est clair que chaque point appartenant à la surface doit avoir trois coordonnées dans une base désignée. Bien que dans certains cas, le lieu des points puisse dégénérer, par exemple, en un plan. Cela signifie seulement que l'une des coordonnées est constante et égale à zéro dans toute la plage des valeurs acceptables.
La forme peinte complète de l'égalité mentionnée ci-dessus ressemble à ceci:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – certaines constantes, x, y, z – variables correspondant aux coordonnées affines d'un point. Dans ce cas, au moins un des facteurs constants ne doit pas être égal à zéro, c'est-à-dire qu'aucun point ne correspondra à l'équation.
Dans la grande majorité des exemples, de nombreux facteurs numériques sont encore identiquement égaux à zéro, et l'équation est grandement simplifiée. En pratique, déterminer si un point appartient à une surface n'est pas difficile (il suffit de substituer ses coordonnées dans l'équation et de vérifier si l'identité est observée). Le point clé dans un tel travail est d'amener ce dernier à une forme canonique.
L'équation écrite ci-dessus définit toutes les surfaces (toutes énumérées ci-dessous) du 2ème ordre. Nous examinerons des exemples ci-dessous.
Types de surfaces du 2ème ordre
Les équations des surfaces du 2ème ordre ne diffèrent que par les valeurs des coefficients Anm. D'un point de vue général, pour certaines valeurs des constantes, différentes surfaces peuvent être obtenues, classées comme suit:
- Cylindres.
- Type elliptique.
- Type hyperbolique.
- Type conique.
- Type parabolique.
- Avions.
Chacun des types répertoriés a une forme naturelle et imaginaire: dans la forme imaginaire, le lieu des points réels soit dégénère en une figure plus simple, soit est complètement absent.
Cylindres
C'est le type le plus simple, car une courbe relativement complexe ne se trouve qu'à la base, agissant comme un guide. Les génératrices sont des droites perpendiculaires au plan dans lequel se trouve la base.
Le graphique montre un cylindre circulaire, un cas particulier d'un cylindre elliptique. Dans le plan XY, sa projection sera une ellipse (dans notre cas, un cercle) - un guide, et en XZ - un rectangle - puisque les générateurs sont parallèles à l'axe Z. Pour l'obtenir à partir de l'équation générale, vous avez besoin pour donner aux coefficients les valeurs suivantes:
Au lieu des symboles habituels x, y, z, x avec un numéro de série est utilisé - cela n'a pas d'importance.
En fait, 1/a2et les autres constantes indiquées ici sont les mêmes coefficients indiqués dans l'équation générale, mais il est d'usage de les écrire sous cette forme - c'est la représentation canonique. De plus, seule une telle notation sera utilisée.
C'est ainsi qu'un cylindre hyperbolique est défini. Le schéma est le même - l'hyperbole sera le guide.
y2=2px
Un cylindre parabolique est défini un peu différemment: sa forme canonique comprend un coefficient p, appelé paramètre. En fait, le coefficient est égal à q=2p, mais il est d'usage de le diviser en deux facteurs présentés.
Il existe un autre type de cylindre: imaginaire. Aucun point réel n'appartient à un tel cylindre. Il est décrit par l'équationcylindre elliptique, mais au lieu de l'unité est -1.
Type elliptique
Un ellipsoïde peut être étiré le long d'un des axes (le long duquel il dépend des valeurs des constantes a, b, c, indiquées ci-dessus; il est évident qu'un coefficient plus grand correspondra au plus grand axe).
Il existe aussi un ellipsoïde imaginaire - à condition que la somme des coordonnées multipliée par les coefficients soit -1:
Hyperboloïdes
Lorsqu'un moins apparaît dans l'une des constantes, l'équation de l'ellipsoïde se transforme en l'équation d'un hyperboloïde à feuille unique. Il faut comprendre que ce moins ne doit pas nécessairement être situé avant la coordonnée x3 ! Il détermine uniquement lequel des axes sera l'axe de rotation de l'hyperboloïde (ou parallèle à celui-ci, puisque lorsque des termes supplémentaires apparaissent dans le carré (par exemple, (x-2)2) le centre de la figure se déplace, par conséquent, la surface se déplace parallèlement aux axes de coordonnées). Ceci s'applique à toutes les surfaces de 2ème ordre.
De plus, il faut comprendre que les équations sont présentées sous forme canonique et qu'elles peuvent être modifiées en faisant varier les constantes (avec le signe conservé !); tandis que leur forme (hyperboloïde, cône, etc.) restera la même.
Cette équation est déjà donnée par un hyperboloïde à deux nappes.
Surface conique
Il n'y a pas d'unité dans l'équation du cône - égalité à zéro.
Seule une surface conique bornée est appelée cône. L'image ci-dessous montre qu'en fait, il y aura deux soi-disant cônes sur la carte.
Remarque importante: dans toutes les équations canoniques considérées, les constantes sont prises positives par défaut. Sinon, le signe peut affecter le graphique final.
Les plans de coordonnées deviennent les plans de symétrie du cône, le centre de symétrie est situé à l'origine.
Il n'y a que des plus dans l'équation du cône imaginaire; il possède un seul point réel.
Paraboloïdes
Les surfaces d'ordre 2 dans l'espace peuvent prendre des formes différentes même avec des équations similaires. Par exemple, il existe deux types de paraboloïdes.
x2/a2+y2/b2=2z
Un paraboloïde elliptique, lorsque l'axe Z est perpendiculaire au dessin, sera projeté dans une ellipse.
x2/a2-y2/b2=2z
Paraboloïde hyperbolique: les sections avec des plans parallèles à ZY produiront des paraboles, et les sections avec des plans parallèles à XY produiront des hyperboles.
Plans qui se croisent
Il y a des cas où des surfaces du 2ème ordre dégénèrent en un plan. Ces avions peuvent être disposés de différentes manières.
Considérez d'abord les plans qui se croisent:
x2/a2-y2/b2=0
Cette modification de l'équation canonique se traduit par seulement deux plans sécants (imaginaire !); tous les points réels sont sur l'axe de la coordonnée manquante dans l'équation (dans l'axe canonique - l'axe Z).
Plans parallèles
y2=a2
Lorsqu'il n'y a qu'une seule coordonnée, les surfaces du 2ème ordre dégénèrent en une paire de plans parallèles. N'oubliez pas que n'importe quelle autre variable peut prendre la place de Y; alors des plans parallèles à d'autres axes seront obtenus.
y2=−a2
Dans ce cas, ils deviennent imaginaires.
Avions coïncidents
y2=0
Avec une équation aussi simple, une paire de plans dégénère en un seul - ils coïncident.
N'oubliez pas que dans le cas d'une base tridimensionnelle, l'équation ci-dessus ne définit pas la droite y=0 ! Il manque les deux autres variables, mais cela signifie simplement que leur valeur est constante et égale à zéro.
Bâtiment
L'une des tâches les plus difficiles pour un étudiant est la construction de surfaces de 2ème ordre. Il est encore plus difficile de passer d'un système de coordonnées à un autre, compte tenu des angles de la courbe par rapport aux axes et du décalage du centre. Répétons comment déterminer de manière cohérente la vue future du dessin avec une analysechemin.
Pour construire une surface d'ordre 2, il vous faut:
- ramener l'équation à la forme canonique;
- déterminer le type de surface à étudier;
- construction basée sur les valeurs des coefficients.
Ci-dessous sont tous les types considérés:
Pour consolider, décrivons en détail un exemple de ce type de tâche.
Exemples
Supposons qu'il existe une équation:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ 60a+144=0
Apportons-le à la forme canonique. Distinguons les carrés pleins, c'est-à-dire que nous organisons les termes disponibles de telle manière qu'ils soient le développement du carré de la somme ou de la différence. Par exemple: si (a+1)2=a2+2a+1 alors a2+2a +1=(a+1)2. Nous allons effectuer la deuxième opération. Dans ce cas, il n'est pas nécessaire d'ouvrir les parenthèses, car cela ne fera que compliquer les calculs, mais il faut retirer le facteur commun 6 (entre parenthèses avec le carré plein du Y):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
La variable z n'apparaît dans ce cas qu'une seule fois - vous pouvez la laisser telle quelle pour l'instant.
Nous analysons l'équation à ce stade: toutes les inconnues sont précédées d'un signe plus; lorsqu'il est divisé par six, il reste un. Par conséquent, nous avons une équation qui définit un ellipsoïde.
Notez que 144 a été factorisé en 150-6, après quoi le -6 a été déplacé vers la droite. Pourquoi fallait-il procéder ainsi ? De toute évidence, le plus grand diviseur dans cet exemple est -6, de sorte qu'après avoir divisé par celui-cion est à gauche à droite, il faut "retarder" exactement 6 sur 144 (le fait qu'on soit à droite est indiqué par la présence d'un terme libre - une constante non multipliée par une inconnue).
Divisez le tout par six et obtenez l'équation canonique de l'ellipsoïde:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
Dans la classification précédemment utilisée des surfaces du 2ème ordre, un cas particulier est considéré lorsque le centre de la figure est à l'origine des coordonnées. Dans cet exemple, il s'agit d'offset.
Nous supposons que chaque parenthèse avec des inconnues est une nouvelle variable. Soit: a=x-1, b=y+5, c=z. Aux nouvelles coordonnées, le centre de l'ellipsoïde coïncide avec le point (0, 0, 0), donc a=b=c=0, d'où: x=1, y=-5, z=0. Dans les coordonnées initiales, le centre de la figure se situe au point (1, -5, 0).
Ellipsoïde sera obtenu à partir de deux ellipses: la première dans le plan XY et la seconde dans le plan XZ (ou YZ - peu importe). Les coefficients par lesquels les variables sont divisées sont élevés au carré dans l'équation canonique. Par conséquent, dans l'exemple ci-dessus, il serait plus correct de diviser par la racine de deux, un et la racine de trois.
Le petit axe de la première ellipse, parallèle à l'axe Y, est deux. Le grand axe parallèle à l'axe des x est deux racines de deux. Le petit axe de la deuxième ellipse, parallèle à l'axe Y, reste le même - il est égal à deux. Et le grand axe, parallèle à l'axe Z, est égal à deux racines de trois.
Avec l'aide des données obtenues à partir de l'équation originale en convertissant en forme canonique, nous pouvons dessiner un ellipsoïde.
Résumer
Couvert dans cet articlele sujet est assez vaste, mais, en fait, comme vous pouvez le voir maintenant, pas très compliqué. Son développement, en fait, se termine au moment où vous mémorisez les noms et les équations des surfaces (et, bien sûr, à quoi elles ressemblent). Dans l'exemple ci-dessus, nous avons discuté de chaque étape en détail, mais amener l'équation à la forme canonique nécessite une connaissance minimale des mathématiques supérieures et ne devrait pas causer de difficultés à l'étudiant.
L'analyse du futur calendrier sur l'égalité existante est déjà une tâche plus difficile. Mais pour sa solution réussie, il suffit de comprendre comment les courbes de second ordre correspondantes sont construites - ellipses, paraboles et autres.
Cas de dégénérescence - une section encore plus simple. En raison de l'absence de certaines variables, non seulement les calculs sont simplifiés, comme mentionné précédemment, mais également la construction elle-même.
Dès que vous pouvez nommer en toute confiance tous les types de surfaces, faites varier les constantes, en transformant le graphique en une forme ou une autre - le sujet sera maîtrisé.
Réussite dans tes études!
