La transformée de Fourier est une transformation qui compare les fonctions d'une variable réelle. Cette opération est effectuée à chaque fois que nous percevons des sons différents. L'oreille effectue un "calcul" automatique, que notre conscience n'est capable d'effectuer qu'après avoir étudié la section correspondante des mathématiques supérieures. L'organe auditif humain construit une transformation, à la suite de laquelle le son (mouvement oscillatoire de particules conditionnelles dans un milieu élastique qui se propage sous forme d'onde dans un milieu solide, liquide ou gazeux) est fourni sous la forme d'un spectre de valeurs successives du niveau de volume des tonalités de différentes hauteurs. Après cela, le cerveau transforme cette information en un son familier pour tout le monde.
Transformée de Fourier mathématique
La transformation des ondes sonores ou d'autres processus oscillatoires (du rayonnement lumineux et des marées océaniques aux cycles d'activité stellaire ou solaire) peut également être effectuée à l'aide de méthodes mathématiques. Ainsi, en utilisant ces techniques, il est possible de décomposer des fonctions en représentant les processus oscillatoires comme un ensemble de composantes sinusoïdales, c'est-à-dire des courbes ondulées quialler de bas en haut, puis revenir à bas, comme une vague marine. Transformée de Fourier - une transformation dont la fonction décrit la phase ou l'amplitude de chaque sinusoïde correspondant à une certaine fréquence. La phase est le point de départ de la courbe et l'amplitude est sa hauteur.
La transformée de Fourier (des exemples sont montrés sur la photo) est un outil très puissant qui est utilisé dans divers domaines scientifiques. Dans certains cas, il est utilisé comme moyen de résoudre des équations assez complexes qui décrivent des processus dynamiques qui se produisent sous l'influence de la lumière, de l'énergie thermique ou électrique. Dans d'autres cas, il vous permet de déterminer les composants réguliers de signaux oscillatoires complexes, grâce auxquels vous pouvez interpréter correctement diverses observations expérimentales en chimie, médecine et astronomie.
Contexte historique
La première personne à appliquer cette méthode fut le mathématicien français Jean Baptiste Fourier. La transformation, plus tard nommée d'après lui, était à l'origine utilisée pour décrire le mécanisme de conduction thermique. Fourier a passé toute sa vie d'adulte à étudier les propriétés de la chaleur. Il a apporté une énorme contribution à la théorie mathématique de la détermination des racines des équations algébriques. Fourier était professeur d'analyse à l'École polytechnique, secrétaire de l'Institut d'égyptologie, était au service impérial, où il s'est illustré lors de la construction de la route de Turin (sous sa direction, plus de 80 mille kilomètres carrés de paludismeles marais). Cependant, toute cette activité vigoureuse n'a pas empêché le scientifique de faire des analyses mathématiques. En 1802, il a dérivé une équation qui décrit la propagation de la chaleur dans les solides. En 1807, le scientifique découvrit une méthode pour résoudre cette équation, appelée "transformée de Fourier".
Analyse de la conductivité thermique
Le scientifique a appliqué une méthode mathématique pour décrire le mécanisme de conduction de la chaleur. Un exemple pratique, dans lequel il n'y a pas de difficultés de calcul, est la propagation de l'énergie thermique à travers un anneau de fer immergé dans une partie dans un feu. Pour réaliser des expériences, Fourier chauffe au rouge une partie de cet anneau et l'enterre dans du sable fin. Après cela, il a pris des mesures de température sur le côté opposé de celui-ci. Au départ, la répartition de la chaleur est irrégulière: une partie de l'anneau est froide et l'autre est chaude; un fort gradient de température peut être observé entre ces zones. Cependant, lors du processus de propagation de la chaleur sur toute la surface du métal, celle-ci devient plus uniforme. Ainsi, bientôt ce processus prend la forme d'une sinusoïde. Au début, le graphique augmente en douceur et diminue également en douceur, exactement selon les lois de changement de la fonction cosinus ou sinus. La vague se stabilise progressivement et par conséquent la température devient la même sur toute la surface de l'anneau.
L'auteur de cette méthode a suggéré que la distribution irrégulière initiale peut être décomposée en un certain nombre de sinusoïdes élémentaires. Chacun d'eux aura sa propre phase (position initiale) et sa propre températuremaximum. De plus, chacune de ces composantes passe d'un minimum à un maximum et revient sur un tour complet autour de l'anneau un nombre entier de fois. Une composante avec une période était appelée l'harmonique fondamentale, et une valeur avec deux périodes ou plus était appelée la seconde, et ainsi de suite. Ainsi, la fonction mathématique qui décrit le maximum de température, la phase ou la position s'appelle la transformée de Fourier de la fonction de distribution. Le scientifique a réduit une seule composante, difficile à décrire mathématiquement, à un outil facile à utiliser: les séries cosinus et sinus, qui s'additionnent pour donner la distribution d'origine.
L'essence de l'analyse
Appliquant cette analyse à la transformation de la propagation de la chaleur à travers un objet solide de forme annulaire, le mathématicien a estimé que l'augmentation des périodes de la composante sinusoïdale conduirait à sa décroissance rapide. Cela se voit clairement dans les harmoniques fondamentales et secondes. Dans ce dernier, la température atteint les valeurs maximale et minimale deux fois en un seul passage, et dans le premier, une seule fois. Il s'avère que la distance parcourue par la chaleur dans la deuxième harmonique sera la moitié de celle de la fondamentale. De plus, la pente dans le second sera également deux fois plus raide que dans le premier. Par conséquent, puisque le flux de chaleur le plus intense parcourt une distance deux fois plus courte, cette harmonique décroîtra quatre fois plus vite que la fondamentale en fonction du temps. À l'avenir, ce processus sera encore plus rapide. Le mathématicien pensait que cette méthode permettait de calculer le processus de distribution initiale de la température dans le temps.
Défi aux contemporains
L'algorithme de la transformée de Fourier a remis en question les fondements théoriques des mathématiques à l'époque. Au début du XIXe siècle, la plupart des scientifiques éminents, dont Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre et Biot, n'ont pas accepté son affirmation selon laquelle la distribution initiale de la température est décomposée en composants sous la forme d'une harmonique fondamentale et de fréquences plus élevées. Cependant, l'Académie des sciences ne pouvait ignorer les résultats obtenus par le mathématicien et lui décerna un prix pour la théorie des lois de la conduction thermique, ainsi que pour la comparer avec des expériences physiques. Dans l'approche de Fourier, l'objection principale était le fait que la fonction discontinue est représentée par la somme de plusieurs fonctions sinusoïdales continues. Après tout, ils décrivent des lignes droites et courbes déchirées. Les contemporains du scientifique n'ont jamais rencontré une situation similaire, lorsque des fonctions discontinues étaient décrites par une combinaison de fonctions continues, telles que quadratiques, linéaires, sinusoïdales ou exponentielles. Dans le cas où le mathématicien avait raison dans ses déclarations, alors la somme d'une série infinie d'une fonction trigonométrique devrait être réduite à une étape exacte. A l'époque, une telle affirmation paraissait absurde. Cependant, malgré les doutes, certains chercheurs (par exemple Claude Navier, Sophie Germain) ont élargi le champ des recherches et les ont portées au-delà de l'analyse de la répartition de l'énergie thermique. Pendant ce temps, les mathématiciens continuaient à se débattre avec la question de savoir si la somme de plusieurs fonctions sinusoïdales pouvait être réduite à une représentation exacte d'une fonction discontinue.
200 anshistoire
Cette théorie a évolué au cours de deux siècles, aujourd'hui elle s'est enfin formée. Avec son aide, les fonctions spatiales ou temporelles sont divisées en composants sinusoïdaux, qui ont leur propre fréquence, phase et amplitude. Cette transformation est obtenue par deux méthodes mathématiques différentes. Le premier d'entre eux est utilisé lorsque la fonction d'origine est continue et le second - lorsqu'elle est représentée par un ensemble de changements individuels discrets. Si l'expression est obtenue à partir de valeurs définies par des intervalles discrets, elle peut être divisée en plusieurs expressions sinusoïdales avec des fréquences discrètes - de la plus basse puis deux fois, trois fois et ainsi de suite plus haut que la principale. Une telle somme s'appelle la série de Fourier. Si l'expression initiale reçoit une valeur pour chaque nombre réel, alors elle peut être décomposée en plusieurs sinusoïdales de toutes les fréquences possibles. Elle est communément appelée intégrale de Fourier et la solution implique des transformations intégrales de la fonction. Indépendamment de la façon dont la conversion est obtenue, deux nombres doivent être spécifiés pour chaque fréquence: amplitude et fréquence. Ces valeurs sont exprimées sous la forme d'un nombre complexe unique. La théorie des expressions de variables complexes, associée à la transformée de Fourier, a permis d'effectuer des calculs dans la conception de divers circuits électriques, l'analyse des vibrations mécaniques, l'étude du mécanisme de propagation des ondes, etc.
Transformée de Fourier aujourd'hui
Aujourd'hui, l'étude de ce processus se réduit principalement à trouver desles méthodes de transition d'une fonction à sa forme transformée et vice versa. Cette solution est appelée transformée de Fourier directe et inverse. Qu'est-ce que ça veut dire? Pour déterminer l'intégrale et produire une transformée de Fourier directe, on peut utiliser des méthodes mathématiques, ou analytiques. Malgré le fait que certaines difficultés surviennent lors de leur utilisation dans la pratique, la plupart des intégrales ont déjà été trouvées et incluses dans des ouvrages de référence mathématiques. Les méthodes numériques peuvent être utilisées pour calculer des expressions dont la forme est basée sur des données expérimentales, ou des fonctions dont les intégrales ne sont pas disponibles dans des tableaux et sont difficiles à présenter sous forme analytique.
Avant l'avènement des ordinateurs, les calculs de telles transformations étaient très fastidieux, ils nécessitaient l'exécution manuelle d'un grand nombre d'opérations arithmétiques, qui dépendaient du nombre de points décrivant la fonction d'onde. Pour faciliter les calculs, il existe aujourd'hui des programmes spéciaux qui ont permis de mettre en œuvre de nouvelles méthodes d'analyse. Ainsi, en 1965, James Cooley et John Tukey ont créé un logiciel connu sous le nom de "Fast Fourier Transform". Il permet de gagner du temps pour les calculs en réduisant le nombre de multiplications dans l'analyse de la courbe. La méthode de la transformée de Fourier rapide est basée sur la division de la courbe en un grand nombre de valeurs d'échantillons uniformes. En conséquence, le nombre de multiplications est divisé par deux avec la même diminution du nombre de points.
Appliquer la transformée de Fourier
Cecile procédé est utilisé dans divers domaines scientifiques: en théorie des nombres, en physique, en traitement du signal, en combinatoire, en théorie des probabilités, en cryptographie, en statistiques, en océanologie, en optique, en acoustique, en géométrie et autres. Les riches possibilités de son application reposent sur un certain nombre de fonctionnalités utiles, appelées "propriétés de la transformée de Fourier". Considérez-les.
1. La fonction transformation est un opérateur linéaire et, avec la normalisation appropriée, est unitaire. Cette propriété est connue sous le nom de théorème de Parseval, ou en général théorème de Plancherel, ou dualisme de Pontryagin.
2. La transformation est réversible. De plus, le résultat inverse a presque la même forme que dans la solution directe.
3. Les expressions de base sinusoïdales sont des fonctions propres différenciées. Cela signifie qu'une telle représentation transforme les équations linéaires à coefficient constant en équations algébriques ordinaires.
4. Selon le théorème de "convolution", ce processus transforme une opération complexe en une multiplication élémentaire.
5. La transformée de Fourier discrète peut être rapidement calculée sur un ordinateur en utilisant la méthode "rapide".
Variétés de la transformée de Fourier
1. Le plus souvent, ce terme est utilisé pour désigner une transformation continue qui fournit toute expression carrée intégrable comme une somme d'expressions exponentielles complexes avec des fréquences angulaires et des amplitudes spécifiques. Cette espèce a plusieurs formes différentes, qui peuventdiffèrent par des coefficients constants. La méthode continue comprend une table de conversion, qui peut être trouvée dans des ouvrages de référence en mathématiques. Un cas généralisé est une transformation fractionnaire, au moyen de laquelle le processus donné peut être élevé à la puissance réelle requise.
2. Le mode continu est une généralisation de la technique ancienne des séries de Fourier définie pour diverses fonctions ou expressions périodiques qui existent dans une zone limitée et les représentent sous forme de séries de sinusoïdes.
3. Transformée de Fourier discrète. Cette méthode est utilisée en informatique pour les calculs scientifiques et pour le traitement numérique du signal. Pour effectuer ce type de calcul, il est nécessaire d'avoir des fonctions qui définissent des points individuels, des zones périodiques ou délimitées sur un ensemble discret au lieu d'intégrales de Fourier continues. La transformation du signal dans ce cas est représentée comme la somme des sinusoïdes. En même temps, l'utilisation de la méthode "rapide" permet d'appliquer des solutions discrètes à n'importe quel problème pratique.
4. La transformée de Fourier fenêtrée est une forme généralisée de la méthode classique. Contrairement à la solution standard, lorsqu'on utilise le spectre du signal, qui est pris dans toute la gamme de l'existence d'une variable donnée, ici seule la distribution de fréquence locale présente un intérêt particulier, à condition que la variable d'origine (le temps) soit conservée.
5. Transformée de Fourier bidimensionnelle. Cette méthode est utilisée pour travailler avec des tableaux de données à deux dimensions. Dans ce cas, la transformation est d'abord effectuée dans une direction, puis dansautre.
Conclusion
Aujourd'hui, la méthode de Fourier est solidement ancrée dans divers domaines scientifiques. Par exemple, en 1962, la forme en double hélice de l'ADN a été découverte en utilisant l'analyse de Fourier combinée à la diffraction des rayons X. Ces derniers ont été focalisés sur des cristaux de fibres d'ADN, de sorte que l'image obtenue par diffraction du rayonnement a été enregistrée sur film. Cette image a donné des informations sur la valeur de l'amplitude lors de l'utilisation de la transformée de Fourier à une structure cristalline donnée. Les données de phase ont été obtenues en comparant la carte de diffraction de l'ADN avec des cartes obtenues à partir de l'analyse de structures chimiques similaires. En conséquence, les biologistes ont restauré la structure cristalline - la fonction d'origine.
Les transformées de Fourier jouent un rôle énorme dans l'étude de l'espace, de la physique des semi-conducteurs et des plasmas, de l'acoustique des micro-ondes, de l'océanographie, des radars, de la sismologie et des études médicales.
