La série de Fourier est une représentation d'une fonction prise arbitrairement avec une période spécifique comme une série. En termes généraux, cette solution s'appelle la décomposition d'un élément dans une base orthogonale. L'expansion des fonctions dans une série de Fourier est un outil assez puissant pour résoudre divers problèmes en raison des propriétés de cette transformation lors de l'intégration, de la différenciation et du déplacement d'une expression dans un argument et une convolution.
Une personne qui n'est pas familière avec les mathématiques supérieures, ainsi qu'avec les travaux du scientifique français Fourier, ne comprendra probablement pas ce que sont ces "lignes" et à quoi elles servent. Pendant ce temps, cette transformation est devenue assez dense dans nos vies. Il est utilisé non seulement par les mathématiciens, mais aussi par les physiciens, les chimistes, les médecins, les astronomes, les sismologues, les océanographes et bien d'autres. Examinons de plus près les travaux du grand scientifique français, qui a fait une découverte en avance sur son temps.
L'homme et la transformée de Fourier
Les séries de Fourier sont l'une des méthodes (avec l'analyse et d'autres) de la transformée de Fourier. Ce processus se produit chaque fois qu'une personne entend un son. Notre oreille convertit automatiquement le sonvagues. Les mouvements oscillatoires des particules élémentaires dans un milieu élastique sont décomposés en rangées (le long du spectre) de valeurs successives du niveau de volume pour des tons de hauteurs différentes. Ensuite, le cerveau transforme ces données en sons qui nous sont familiers. Tout cela se produit en plus de notre désir ou de notre conscience, en soi, mais pour comprendre ces processus, il faudra plusieurs années pour étudier les mathématiques supérieures.
En savoir plus sur la transformée de Fourier
La transformée de Fourier peut être effectuée par des méthodes analytiques, numériques et autres. Les séries de Fourier font référence à la manière numérique de décomposer tout processus oscillatoire - des marées océaniques et des ondes lumineuses aux cycles de l'activité solaire (et d'autres objets astronomiques). En utilisant ces techniques mathématiques, il est possible d'analyser des fonctions, représentant tout processus oscillatoire comme une série de composantes sinusoïdales allant du minimum au maximum et vice versa. La transformée de Fourier est une fonction qui décrit la phase et l'amplitude des sinusoïdes correspondant à une fréquence spécifique. Ce processus peut être utilisé pour résoudre des équations très complexes qui décrivent des processus dynamiques qui se produisent sous l'influence de l'énergie thermique, lumineuse ou électrique. De plus, les séries de Fourier permettent d'isoler les composantes constantes dans des signaux oscillatoires complexes, ce qui a permis d'interpréter correctement les observations expérimentales obtenues en médecine, chimie et astronomie.
Contexte historique
Père fondateur de cette théorieJean Baptiste Joseph Fourier est un mathématicien français. Cette transformation porte par la suite son nom. Initialement, le scientifique a appliqué sa méthode pour étudier et expliquer les mécanismes de conduction thermique - la propagation de la chaleur dans les solides. Fourier a suggéré que la distribution irrégulière initiale d'une vague de chaleur peut être décomposée en sinusoïdes les plus simples, chacune ayant ses propres minimum et maximum de température, ainsi que sa propre phase. Dans ce cas, chacun de ces composants sera mesuré du minimum au maximum et vice versa. La fonction mathématique qui décrit les pics supérieurs et inférieurs de la courbe, ainsi que la phase de chacune des harmoniques, est appelée transformée de Fourier de l'expression de distribution de température. L'auteur de la théorie a réduit la fonction de distribution générale, qui est difficile à décrire mathématiquement, à une série très facile à manipuler de fonctions cosinus et sinus périodiques qui s'ajoutent à la distribution d'origine.
Le principe de transformation et le regard des contemporains
Les contemporains du scientifique - les principaux mathématiciens du début du XIXe siècle - n'ont pas accepté cette théorie. L'objection principale était l'affirmation de Fourier selon laquelle une fonction discontinue décrivant une ligne droite ou une courbe discontinue peut être représentée comme une somme d'expressions sinusoïdales continues. À titre d'exemple, considérons le "pas" de Heaviside: sa valeur est zéro à gauche de l'écart et un à droite. Cette fonction décrit la dépendance du courant électrique à la variable de temps lorsque le circuit est fermé. Les contemporains de la théorie à cette époque n'avaient jamais rencontré de tellesune situation où l'expression discontinue serait décrite par une combinaison de fonctions continues et ordinaires, telles qu'exponentielle, sinusoïdale, linéaire ou quadratique.
Qu'est-ce qui a dérouté les mathématiciens français dans la théorie de Fourier ?
Après tout, si le mathématicien avait raison dans ses déclarations, puis en résumant la série de Fourier trigonométrique infinie, vous pouvez obtenir une représentation exacte de l'expression de l'étape même si elle comporte de nombreuses étapes similaires. Au début du XIXe siècle, une telle affirmation semblait absurde. Mais malgré tous les doutes, de nombreux mathématiciens ont élargi la portée de l'étude de ce phénomène, l'amenant au-delà de la portée des études de conductivité thermique. Cependant, la plupart des scientifiques continuaient à se tourmenter sur la question: "La somme d'une série sinusoïdale peut-elle converger vers la valeur exacte d'une fonction discontinue ?"
Convergence des séries de Fourier: exemple
La question de la convergence se pose chaque fois qu'il s'agit de résumer des séries infinies de nombres. Pour comprendre ce phénomène, considérons un exemple classique. Pouvez-vous jamais atteindre le mur si chaque pas successif est la moitié de la taille du précédent ? Supposons que vous soyez à deux mètres du but, le premier pas vous rapproche de la mi-course, le suivant des trois quarts, et après le cinquième vous couvrirez presque 97% du chemin. Cependant, quel que soit le nombre d'étapes que vous franchissez, vous n'atteindrez pas l'objectif visé au sens mathématique strict. En utilisant des calculs numériques, on peut prouver qu'en fin de compte, on peut s'en approcher autant qu'on le souhaite.petite distance spécifiée. Cette preuve équivaut à démontrer que la valeur de la somme d'un demi, d'un quart, etc. tendra vers un.
La question de la convergence: la seconde venue ou l'appareil de Lord Kelvin
À plusieurs reprises, cette question a été soulevée à la fin du XIXe siècle, lorsque les séries de Fourier ont été tentées d'être utilisées pour prédire l'intensité du flux et du reflux. A cette époque, Lord Kelvin a inventé un appareil, qui est un appareil informatique analogique qui permettait aux marins de la flotte militaire et marchande de suivre ce phénomène naturel. Ce mécanisme déterminait les ensembles de phases et d'amplitudes à partir d'une table des hauteurs de marée et de leurs moments temporels correspondants, soigneusement mesurés dans un port donné au cours de l'année. Chaque paramètre était une composante sinusoïdale de l'expression de la hauteur de la marée et était l'une des composantes régulières. Les résultats des mesures ont été entrés dans la calculatrice de Lord Kelvin, qui a synthétisé une courbe qui prédit la hauteur de l'eau en fonction du temps pour l'année suivante. Très vite des courbes similaires ont été tracées pour tous les ports du monde.
Et si le processus est interrompu par une fonction discontinue ?
À cette époque, il semblait évident qu'un prédicteur de raz de marée avec un grand nombre d'éléments de comptage pouvait calculer un grand nombre de phases et d'amplitudes et ainsi fournir des prédictions plus précises. Néanmoins, il s'est avéré que cette régularité n'est pas observée dans les cas où l'expression de la marée, qui suitsynthétiser, contenait un saut brusque, c'est-à-dire qu'il était discontinu. Dans le cas où des données sont entrées dans l'appareil à partir du tableau des moments temporels, il calcule alors plusieurs coefficients de Fourier. La fonction d'origine est restituée grâce aux composantes sinusoïdales (selon les coefficients trouvés). L'écart entre l'expression originale et restaurée peut être mesuré à tout moment. Lors de calculs et de comparaisons répétés, on peut voir que la valeur de la plus grande erreur ne diminue pas. Cependant, ils sont localisés dans la région correspondant au point de discontinuité, et tendent vers zéro en tout autre point. En 1899, ce résultat a été théoriquement confirmé par Joshua Willard Gibbs de l'Université de Yale.
Convergence des séries de Fourier et développement des mathématiques en général
L'analyse de Fourier n'est pas applicable aux expressions contenant un nombre infini de salves dans un certain intervalle. En général, les séries de Fourier, si la fonction d'origine est le résultat d'une mesure physique réelle, convergent toujours. Les questions de la convergence de ce processus pour des classes spécifiques de fonctions ont conduit à l'émergence de nouvelles sections en mathématiques, par exemple la théorie des fonctions généralisées. Il est associé à des noms tels que L. Schwartz, J. Mikusinsky et J. Temple. Dans le cadre de cette théorie, une base théorique claire et précise a été créée pour des expressions telles que la fonction delta de Dirac (elle décrit une zone d'une seule zone concentrée dans un voisinage infiniment petit d'un point) et la Heaviside " étape". Grâce à ce travail, les séries de Fourier sont devenues applicables àrésoudre des équations et des problèmes qui impliquent des concepts intuitifs: charge ponctuelle, masse ponctuelle, dipôles magnétiques, ainsi qu'une charge concentrée sur une poutre.
Méthode de Fourier
Les séries de Fourier, conformément aux principes d'interférence, commencent par la décomposition de formes complexes en formes plus simples. Par exemple, une modification du flux de chaleur s'explique par son passage à travers divers obstacles constitués d'un matériau calorifuge de forme irrégulière ou une modification de la surface de la terre - un tremblement de terre, une modification de l'orbite d'un corps céleste - l'influence de planètes. En règle générale, des équations similaires décrivant des systèmes classiques simples sont résolues de manière élémentaire pour chaque onde individuelle. Fourier a montré que des solutions simples peuvent également être additionnées pour donner des solutions à des problèmes plus complexes. Dans le langage des mathématiques, la série de Fourier est une technique pour représenter une expression comme une somme d'harmoniques - cosinus et sinusoïdes. Par conséquent, cette analyse est également appelée "analyse harmonique".
Séries de Fourier - la technique idéale avant "l'ère informatique"
Avant la création de la technologie informatique, la technique de Fourier était la meilleure arme dans l'arsenal des scientifiques lorsqu'ils travaillaient avec la nature ondulatoire de notre monde. La série de Fourier sous une forme complexe permet de résoudre non seulement des problèmes simples directement applicables aux lois de la mécanique de Newton, mais également des équations fondamentales. La plupart des découvertes de la science newtonienne au XIXe siècle n'ont été rendues possibles que par la technique de Fourier.
La série de Fourier aujourd'hui
Avec le développement des ordinateurs à transformée de Fourierporté à un tout autre niveau. Cette technique est fermement ancrée dans presque tous les domaines de la science et de la technologie. Un exemple est un signal audio et vidéo numérique. Sa réalisation n'est devenue possible que grâce à la théorie développée par un mathématicien français au début du XIXe siècle. Ainsi, la série de Fourier sous une forme complexe a permis de faire une percée dans l'étude de l'espace extra-atmosphérique. En outre, il a influencé l'étude de la physique des matériaux semi-conducteurs et du plasma, de l'acoustique des micro-ondes, de l'océanographie, du radar, de la sismologie.
Séries trigonométriques de Fourier
En mathématiques, une série de Fourier est une façon de représenter des fonctions complexes arbitraires comme une somme de fonctions plus simples. Dans les cas généraux, le nombre de telles expressions peut être infini. De plus, plus leur nombre est pris en compte dans le calcul, plus le résultat final est précis. Le plus souvent, les fonctions trigonométriques du cosinus ou du sinus sont utilisées comme les plus simples. Dans ce cas, les séries de Fourier sont appelées trigonométriques et la solution de telles expressions est appelée développement de l'harmonique. Cette méthode joue un rôle important en mathématiques. Tout d'abord, la série trigonométrique fournit un moyen pour l'image, ainsi que l'étude des fonctions, c'est l'appareil principal de la théorie. De plus, il permet de résoudre un certain nombre de problèmes de physique mathématique. Enfin, cette théorie a contribué au développement de l'analyse mathématique, a donné lieu à un certain nombre de sections très importantes de la science mathématique (la théorie des intégrales, la théorie des fonctions périodiques). De plus, il a servi de point de départ pour le développement des théories suivantes: ensembles, fonctionsvariable réelle, analyse fonctionnelle, et a également jeté les bases de l'analyse harmonique.
