Les professeurs de mathématiques initient leurs élèves au concept de "problème combinatoire" dès la cinquième année. Cela est nécessaire pour qu'ils puissent travailler avec des tâches plus complexes à l'avenir. La nature combinatoire d'un problème peut être comprise comme la possibilité de le résoudre par énumération d'éléments d'un ensemble fini.
Le signe principal des tâches de cet ordre est la question qui leur est posée, qui ressemble à "Combien d'options ?" ou "De combien de façons?" La solution des problèmes combinatoires dépend directement de la compréhension du sens par le solveur, de sa capacité à représenter correctement l'action ou le processus décrit dans la tâche.
Comment résoudre un problème combinatoire ?
Il est important de déterminer correctement le type de toutes les connexions dans le problème considéré, mais il est nécessaire de vérifier s'il y a des répétitions d'éléments, si les éléments eux-mêmes changent, si leur ordre joue un grand rôle, et aussi par rapport à d'autresfacteurs.
Un problème combinatoire peut avoir un certain nombre de restrictions qui peuvent être placées sur les connexions. Dans ce cas, vous devrez calculer entièrement sa solution et vérifier si ces restrictions ont un effet sur la connexion de tous les éléments. S'il y a vraiment une influence, il faut vérifier laquelle.
Par où commencer ?
Vous devez d'abord apprendre à résoudre les problèmes combinatoires les plus simples. La maîtrise d'un matériel simple vous permettra d'apprendre à comprendre des tâches plus complexes. Il est recommandé de commencer par résoudre les problèmes avec des restrictions qui ne sont pas prises en compte lors de l'examen d'une option plus simple.
Il est également recommandé d'essayer de résoudre d'abord les problèmes dans lesquels vous devez considérer un plus petit nombre d'éléments communs. De cette façon, vous pourrez comprendre le principe de la création d'échantillons et apprendre à les créer vous-même à l'avenir. Si le problème pour lequel vous devez utiliser la combinatoire consiste en une combinaison de plusieurs problèmes plus simples, il est recommandé de le résoudre par parties.
Résoudre des problèmes combinatoires
De tels problèmes peuvent sembler faciles à résoudre, mais la combinatoire est assez difficile à maîtriser, certains d'entre eux n'ont pas été résolus depuis des centaines d'années. L'un des problèmes les plus connus est de déterminer le nombre de carrés magiques d'un ordre spécial lorsque le nombre n est supérieur à 4.
Le problème combinatoire est étroitement lié à la théorie des probabilités, apparue à l'époque médiévale. Probabilitél'origine d'un événement ne peut être calculée qu'en utilisant la combinatoire, dans ce cas il faudra alterner tous les facteurs par endroits pour obtenir la solution optimale.
Résolution de problèmes
Les problèmes combinatoires avec une solution sont utilisés pour enseigner aux élèves et aux étudiants comment travailler avec ce matériel. D'une manière générale, ils doivent susciter l'intérêt et le désir d'une personne de trouver une solution commune. En plus des calculs mathématiques, il est nécessaire d'appliquer un stress mental et d'utiliser des conjectures.
Dans le processus de résolution des tâches définies, l'enfant pourra développer son imagination mathématique et ses capacités combinatoires, cela peut lui être sérieusement utile à l'avenir. Progressivement, le niveau de complexité des tâches à résoudre doit être augmenté afin de ne pas oublier les connaissances existantes et d'en ajouter de nouvelles.
Méthode 1. Buste
Les méthodes de résolution de problèmes combinatoires sont très différentes les unes des autres, mais toutes peuvent être utilisées par l'élève pour obtenir une réponse. L'un des moyens les plus simples, mais en même temps les plus longs, est la force brute. Avec lui, il vous suffit de parcourir toutes les solutions possibles sans compiler de schémas ni de tables.
En règle générale, la question dans un tel problème est liée aux variantes possibles de l'origine d'un événement, par exemple: quels nombres peuvent être composés à l'aide des nombres 2, 4, 8, 9 ? En cherchant parmi toutes les options, une réponse est compilée, composée de combinaisons possibles. Cette méthode est excellente si le nombre d'options possiblesrelativement petit.
Méthode 2. Arbre d'options
Certains problèmes combinatoires ne peuvent être résolus qu'en créant des graphiques qui détaillent les informations sur chaque élément. Dresser un arbre des options possibles est une autre façon de trouver une réponse. Il convient à la résolution de problèmes qui ne sont pas trop difficiles, dans lesquels il existe une condition supplémentaire.
Un exemple d'une telle tâche:
Quels nombres à cinq chiffres peut-on former à partir des nombres 0, 1, 7, 8 ? Pour le résoudre, vous devez créer un arbre à partir de toutes les combinaisons possibles, et il y a une condition supplémentaire - le nombre ne peut pas commencer à zéro. Ainsi, la réponse sera composée de tous les nombres qui commenceront par 1, 7 ou 8
Méthode 3. Formation des tables
Les problèmes combinatoires peuvent également être résolus à l'aide de tables. Ils sont similaires à l'arbre des options possibles, car ils offrent une solution visuelle à la situation. Pour trouver la bonne réponse, vous devez former un tableau, et il sera mis en miroir: les conditions horizontales et verticales seront les mêmes.
Les réponses possibles seront obtenues à l'intersection des colonnes et des lignes. Dans ce cas, les réponses à l'intersection d'une colonne et d'une ligne avec les mêmes données ne seront pas obtenues, ces intersections doivent être spécialement marquées afin de ne pas se confondre lors de la compilation de la réponse finale. Cette méthode n'est pas souvent choisie par les étudiants, beaucoup préfèrent un arbre avec des options.
Méthode 4. Multiplication
Il existe une autre façon de résoudre les problèmes combinatoires - la règle de multiplication. Il va bienconvient dans le cas où, selon la condition, il n'est pas nécessaire de lister toutes les solutions possibles, il suffit de trouver leur nombre maximum. Cette méthode est unique en son genre, elle est très souvent utilisée au début de la résolution de problèmes combinatoires.
Un exemple d'une telle tâche pourrait ressembler à ceci:
6 personnes attendent l'examen dans le couloir. Combien de façons pouvez-vous utiliser pour les organiser dans la liste générale ? Pour obtenir une réponse, vous devez préciser combien d'entre eux peuvent être en premier lieu, combien en deuxième, en troisième, etc. La réponse sera le nombre 720
La combinatoire et ses types
La tâche combinatoire n'est pas seulement du matériel scolaire, les étudiants universitaires l'étudient également. Il existe plusieurs types de combinatoire en science, et chacun d'eux a sa propre mission. La combinatoire énumérative devrait envisager l'énumération et l'énumération des configurations possibles avec des conditions supplémentaires.
La combinatoire structurale est une composante du programme universitaire, elle étudie la théorie des matroïdes et des graphes. La combinatoire extrême est également liée au matériel universitaire, et il existe ici des limitations individuelles. Une autre section est la théorie de Ramsey, qui traite de l'étude des structures dans des variations aléatoires d'éléments. Il y a aussi la combinatoire linguistique, qui traite de la question de la compatibilité de certains éléments entre eux.
Méthode d'enseignement des problèmes combinatoires
Selon le tutorielplans, l'âge des élèves, qui est conçu pour une connaissance primaire de ce matériel et pour résoudre des problèmes combinatoires, est la 5e année. C'est là que pour la première fois ce sujet est proposé aux étudiants, ils se familiarisent avec le phénomène de combinatoire et tentent de résoudre les tâches qui leur sont assignées. En même temps, il est très important que lors de la définition d'un problème combinatoire, une méthode soit utilisée lorsque les enfants eux-mêmes cherchent des réponses à des questions.
Entre autres choses, après avoir étudié ce sujet, il sera beaucoup plus facile d'introduire le concept de factorielle et de l'utiliser lors de la résolution d'équations, de problèmes, etc. Ainsi, la combinatoire joue un rôle important dans la formation continue.
Problèmes combinatoires: pourquoi sont-ils nécessaires ?
Si vous savez ce que sont les problèmes combinatoires, vous ne rencontrerez aucune difficulté avec leur solution. La technique pour les résoudre peut être utile lorsque vous devez créer des horaires, des horaires de travail, ainsi que des calculs mathématiques complexes qui ne conviennent pas aux appareils électroniques.
Dans les écoles avec une étude approfondie des mathématiques et de l'informatique, les problèmes combinatoires sont étudiés en plus; pour cela, des cours spéciaux, des aides pédagogiques et des tâches sont compilés. En règle générale, plusieurs problèmes de ce type peuvent être inclus dans l'examen de mathématiques d'État unifié, généralement ils sont "cachés" dans la partie C.
Comment résoudre rapidement un problème combinatoire ?
Il est très important de pouvoir voir le problème combinatoirerapidement, car il peut avoir une formulation voilée, cela est particulièrement important lors de la réussite de l'examen, où chaque minute compte. Notez séparément les informations que vous voyez dans le texte du problème sur une feuille de papier, puis essayez de les analyser en fonction des quatre manières que vous connaissez.
Si vous pouvez mettre des informations dans un tableau ou une autre formation, essayez de le résoudre. Si vous n'arrivez pas à le classer, dans ce cas il vaut mieux le laisser un moment et passer à une autre tâche pour ne pas perdre un temps précieux. Cette situation peut être évitée en résolvant à l'avance un certain nombre de tâches de ce type.
Où puis-je trouver des exemples ?
La seule chose qui vous aidera à apprendre à résoudre des problèmes combinatoires, ce sont les exemples. Vous pouvez les trouver dans des collections mathématiques spéciales qui sont vendues dans les magasins de littérature éducative. Cependant, vous ne pouvez y trouver des informations que pour les étudiants universitaires, les écoliers devront rechercher des tâches en plus, en règle générale, les tâches pour eux sont inventées par d'autres enseignants.
Les enseignants du supérieur estiment que les étudiants doivent se former et leur proposent constamment des ouvrages pédagogiques supplémentaires. L'une des meilleures collections est "Methods of Discrete Analysis in Solving Combinatorial Problems", écrite en 1977 et publiée à plusieurs reprises par les principales maisons d'édition du pays. C'est là que vous pouvez trouver des tâches qui étaient pertinentes à l'époque et qui restent pertinentes aujourd'hui.
Et si vous deviez créer un problème combinatoire ?
Le plus souvent, les problèmes combinatoires doivent être composésenseignants qui sont obligés d'apprendre aux élèves à sortir des sentiers battus. Ici tout dépendra du potentiel créatif du compilateur. Il est recommandé de prêter attention aux collections existantes et d'essayer de composer un problème de manière à ce qu'il combine plusieurs façons de le résoudre à la fois et qu'il ait des données différentes du livre.
Les professeurs d'université à cet égard sont beaucoup plus libres que les professeurs d'école, ils donnent souvent à leurs étudiants la tâche de trouver eux-mêmes des problèmes combinatoires avec des méthodes de résolution détaillées et des explications. Si vous n'êtes ni l'un ni l'autre, vous pouvez demander de l'aide à ceux qui comprennent vraiment la question, ainsi qu'engager un tuteur privé. Une heure académique suffit pour résoudre plusieurs problèmes similaires.
Combinatoire - la science du futur ?
De nombreux spécialistes dans le domaine des mathématiques et de la physique pensent que c'est le problème combinatoire qui peut devenir une impulsion dans le développement de toutes les sciences techniques. Il suffit d'adopter une approche non standard pour résoudre certains problèmes, et il sera alors possible de répondre aux questions qui hantent les scientifiques depuis plusieurs siècles. Certains d'entre eux soutiennent sérieusement que la combinatoire est une aide pour toutes les sciences modernes, en particulier l'astronautique. Il sera beaucoup plus facile de calculer les trajectoires de vol des navires à l'aide de problèmes combinatoires, et ils vous permettront également de déterminer l'emplacement exact de certains corps célestes.
La mise en œuvre d'une approche non standard a commencé depuis longtemps dans les pays asiatiques, où même les étudiantsla multiplication, la soustraction, l'addition et la division sont résolues à l'aide de méthodes combinatoires. À la surprise de nombreux scientifiques européens, la technique fonctionne vraiment. Jusqu'à présent, les écoles européennes n'ont fait que commencer à apprendre de l'expérience de leurs collègues. Quand exactement la combinatoire deviendra l'une des principales branches des mathématiques, il est difficile de le deviner. Aujourd'hui, la science est étudiée par les plus grands scientifiques du monde qui cherchent à la vulgariser.
