Cet article se concentrera sur une section spéciale des mathématiques appelée combinatoire. Formules, règles, exemples de résolution de problèmes - vous trouverez tout cela ici en lisant l'article jusqu'à la fin.
Alors, c'est quoi cette section ? La combinatoire traite de la question du comptage des objets. Mais dans ce cas, les objets ne sont pas des prunes, des poires ou des pommes, mais autre chose. La combinatoire nous aide à trouver la probabilité d'un événement. Par exemple, en jouant aux cartes, quelle est la probabilité que l'adversaire ait un atout ? Ou un tel exemple - quelle est la probabilité que vous obteniez exactement du blanc à partir d'un sac de vingt balles ? C'est pour ce genre de tâches qu'il faut connaître au moins les bases de cette section de mathématiques.
Configurations combinatoires
Considérant la question des concepts de base et des formules de la combinatoire, nous ne pouvons que prêter attention aux configurations combinatoires. Ils sont utilisés non seulement pour la formulation, mais aussi pour résoudre divers problèmes combinatoires. Des exemples de tels modèles sont:
- placement;
- permutation;
- combinaison;
- composition des nombres;
- numéro partagé.
Nous parlerons des trois premiers plus en détail plus tard, mais nous ferons attention à la composition et au fractionnement dans cette section. Quand ils parlent de la composition d'un certain nombre (disons, a), ils veulent dire la représentation du nombre a comme une somme ordonnée de certains nombres positifs. Et une scission est une somme non ordonnée.
Sections
Avant de passer directement aux formules de la combinatoire et à l'examen des problèmes, il convient de prêter attention au fait que la combinatoire, comme d'autres sections des mathématiques, a ses propres sous-sections. Ceux-ci incluent:
- énumératif;
- structurel;
- extrême;
- Théorie de Ramsey;
- probabiliste;
- topologique;
- infini.
Dans le premier cas, nous parlons de combinatoire énumérative, les problèmes considèrent l'énumération ou le comptage de différentes configurations formées par des éléments d'ensembles. En règle générale, certaines restrictions sont imposées à ces ensembles (distinguabilité, indiscernabilité, possibilité de répétition, etc.). Et le nombre de ces configurations est calculé à l'aide de la règle d'addition ou de multiplication, dont nous parlerons un peu plus tard. La combinatoire structurale comprend les théories des graphes et des matroïdes. Un exemple de problème de combinatoire extrême est quelle est la plus grande dimension d'un graphe qui satisfait les propriétés suivantes… Dans le quatrième paragraphe, nous avons mentionné la théorie de Ramsey, qui étudie la présence de structures régulières dans des configurations aléatoires. probabilistela combinatoire est capable de répondre à la question - quelle est la probabilité qu'un ensemble donné ait une certaine propriété. Comme vous pouvez le deviner, la combinatoire topologique applique des méthodes en topologie. Et enfin, le septième point - la combinatoire infinitaire étudie l'application des méthodes combinatoires aux ensembles infinis.
Règle d'addition
Parmi les formules de la combinatoire, on peut en trouver des assez simples, avec lesquelles nous sommes familiers depuis longtemps. Un exemple est la règle de somme. Supposons que l'on nous donne deux actions (C et E), si elles s'excluent mutuellement, l'action C peut être effectuée de plusieurs manières (par exemple, a), et l'action E peut être effectuée de manière b, alors n'importe laquelle d'entre elles (C ou E) peut être fait de a + b façons.
En théorie, c'est assez difficile à comprendre, nous allons essayer de transmettre tout le propos avec un exemple simple. Prenons le nombre moyen d'élèves dans une classe - disons que c'est vingt-cinq. Parmi eux se trouvent quinze filles et dix garçons. Un accompagnateur est affecté quotidiennement à la classe. Combien y a-t-il de façons d'affecter un accompagnateur de classe aujourd'hui ? La solution au problème est assez simple, nous allons recourir à la règle d'addition. Le texte de la tâche ne dit pas que seuls les garçons ou seules les filles peuvent être de service. Par conséquent, il pourrait s'agir de l'une des quinze filles ou de l'un des dix garçons. En appliquant la règle de la somme, nous obtenons un exemple assez simple auquel un élève du primaire peut facilement faire face: 15 + 10. Après avoir calculé, nous obtenons la réponse: vingt-cinq. Autrement dit, il n'y a que vingt-cinq façonsattribuer une classe de service pour aujourd'hui.
Règle de multiplication
La règle de multiplication fait aussi partie des formules de base de la combinatoire. Commençons par la théorie. Supposons que nous devions effectuer plusieurs actions (a): la première action est effectuée de 1 manière, la seconde - de 2 manières, la troisième - de 3 manières, et ainsi de suite jusqu'à ce que la dernière action a soit effectuée de sa manière. Ensuite, toutes ces actions (dont nous avons un total) peuvent être effectuées de N manières. Comment calculer l'inconnue N ? La formule nous y aidera: N \u003d c1c2c3…ca.
Encore une fois, rien n'est clair en théorie, passons à un exemple simple d'application de la règle de multiplication. Prenons la même classe de vingt-cinq personnes, dans laquelle étudient quinze filles et dix garçons. Seulement cette fois, nous devons choisir deux préposés. Ils peuvent être uniquement des garçons ou des filles, ou un garçon avec une fille. Passons à la solution élémentaire du problème. Nous choisissons le premier accompagnateur, comme nous l'avons décidé dans le dernier paragraphe, nous obtenons vingt-cinq options possibles. La deuxième personne de service peut être n'importe laquelle des personnes restantes. Nous avions vingt-cinq étudiants, nous en avons choisi un, ce qui signifie que n'importe laquelle des vingt-quatre personnes restantes peut être la deuxième de service. Enfin, nous appliquons la règle de multiplication et constatons que les deux préposés peuvent être choisis de six cents façons. Nous avons obtenu ce nombre en multipliant vingt-cinq et vingt-quatre.
Échange
Maintenant, nous allons considérer une autre formule combinatoire. Dans cette partie de l'article, nousParlons des permutations. Considérez immédiatement le problème avec un exemple. Prenons des boules de billard, nous en avons le nième nombre. Nous devons calculer: combien d'options il y a pour les disposer dans une rangée, c'est-à-dire pour créer un ensemble ordonné.
Commençons, si nous n'avons pas de balles, nous n'avons également aucune option de placement. Et si nous avons une balle, alors l'arrangement est également le même (mathématiquement, cela peut s'écrire comme suit: Р1=1). Deux balles peuvent être disposées de deux manières différentes: 1, 2 et 2, 1. Par conséquent, Р2=2. Trois balles peuvent être disposées de six manières (Р3=6): 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 2, 1; 3, 1, 2. Et s'il n'y a pas trois de ces balles, mais dix ou quinze ? Lister toutes les options possibles est très long, alors la combinatoire vient à notre aide. La formule de permutation nous aidera à trouver la réponse à notre question. Pn=nP(n-1). Si nous essayons de simplifier la formule, nous obtenons: Pn=n (n - 1) … 21. Et c'est le produit des premiers nombres naturels. Un tel nombre est appelé un factoriel et est noté n!
Considérons le problème. Le chef construit chaque matin son détachement en ligne (une vingtaine de personnes). Il y a trois meilleurs amis dans le détachement - Kostya, Sasha et Lesha. Quelle est la probabilité qu'ils soient côte à côte ? Pour trouver la réponse à la question, vous devez diviser la probabilité d'un "bon" résultat par le nombre total de résultats. Le nombre total de permutations est de 20 !=2,5 quintillions. Comment compter le nombre de "bons" résultats ? Supposons que Kostya, Sasha et Lesha soient un surhomme. Ensuite nousNous n'avons que dix-huit sujets. Le nombre de permutations dans ce cas est de 18=6,5 quadrillions. Avec tout cela, Kostya, Sasha et Lesha peuvent se déplacer arbitrairement entre eux dans leur triple indivisible, et c'est 3 de plus !=6 options. Nous avons donc 18 « bonnes » constellations au total !3 ! Il suffit de trouver la probabilité recherchée: (18 !3 !) / 20 ! Ce qui équivaut à environ 0,016. S'il est converti en pourcentage, il s'avère n'être que de 1,6 %.
Hébergement
Maintenant, nous allons considérer une autre formule combinatoire très importante et nécessaire. L'hébergement est notre prochain problème, que nous vous suggérons de considérer dans cette section de l'article. On va se compliquer. Supposons que l'on veuille considérer les permutations possibles, non seulement à partir de l'ensemble (n), mais à partir d'un plus petit (m). Autrement dit, nous considérons les permutations de n éléments par m.
Les formules de base de la combinatoire ne doivent pas seulement être mémorisées, mais comprises. Même malgré le fait qu'ils deviennent plus compliqués, puisque nous n'avons pas un paramètre, mais deux. Supposons que m \u003d 1, puis A \u003d 1, m \u003d 2, puis A \u003d n(n - 1). Si nous simplifions davantage la formule et passons à la notation utilisant des factorielles, nous obtenons une formule assez concise: A \u003d n! / (n - m)!
Combinaison
Nous avons considéré presque toutes les formules de base de la combinatoire avec des exemples. Passons maintenant à la dernière étape de l'examen du cours de base de la combinatoire - apprendre à connaître la combinaison. Maintenant, nous allons choisir m éléments parmi les n que nous avons, tandis que nous les choisirons tous de toutes les manières possibles. En quoi est-ce différent de l'hébergement ? Nous n'allons pasconsidérer l'ordre. Cet ensemble non ordonné sera une combinaison.
Introduire immédiatement la notation: C. On prend les placements de m boules sur n. Nous cessons de prêter attention à l'ordre et obtenons des combinaisons répétitives. Pour obtenir le nombre de combinaisons, il faut diviser le nombre de placements par m ! (facteur m). C'est-à-dire C \u003d A / m! Ainsi, il existe plusieurs façons de choisir parmi n boules, approximativement égales au nombre de choisir presque tout. Il y a une expression logique pour cela: choisir un peu revient à jeter presque tout. Il est également important de mentionner à ce stade que le nombre maximum de combinaisons peut être atteint en essayant de sélectionner la moitié des éléments.
Comment choisir une formule pour résoudre un problème ?
Nous avons examiné en détail les formules de base de la combinatoire: placement, permutation et combinaison. Maintenant, notre tâche est de faciliter le choix de la formule nécessaire pour résoudre le problème en combinatoire. Vous pouvez utiliser le schéma assez simple suivant:
- Demandez-vous: l'ordre des éléments est-il pris en compte dans le texte du problème ?
- Si la réponse est non, utilisez la formule combinée (C=n! / (m!(n - m)!)).
- Si la réponse est non, alors vous devez répondre à une autre question: tous les éléments sont-ils inclus dans la combinaison ?
- Si la réponse est oui, alors utilisez la formule de permutation (P=n!).
- Si la réponse est non, utilisez la formule de répartition (A=n! / (n - m)!).
Exemple
Nous avons examiné les éléments de la combinatoire, les formules et quelques autres problèmes. Passons maintenant àcompte tenu d'un vrai problème. Imaginez que vous avez devant vous un kiwi, une orange et une banane.
Première question: de combien de manières peuvent-elles être réarrangées ? Pour ce faire, nous utilisons la formule de permutation: P=3 !=6 voies.
Question deux: de combien de façons peut-on choisir un fruit ? C'est évident, nous n'avons que trois options - choisissez kiwi, orange ou banane, mais nous appliquons la formule de combinaison: C \u003d 3 ! / (2!1!)=3.
Question trois: de combien de façons peut-on choisir deux fruits ? Quelles options avons-nous? Kiwi et orange; kiwi et banane; orange et banane. C'est-à-dire trois options, mais cela est facile à vérifier en utilisant la formule de combinaison: C \u003d 3 ! / (1!2!)=3
Quatrième question: de combien de façons peut-on choisir trois fruits ? Comme vous pouvez le voir, il n'y a qu'une seule façon de choisir trois fruits: prendre un kiwi, une orange et une banane. C=3 ! / (0!3!)=1.
Question cinq: combien de façons pouvez-vous choisir au moins un fruit ? Cette condition implique que nous pouvons prendre un, deux ou les trois fruits. Par conséquent, nous ajoutons C1 + C2 + C3=3 + 3 + 1=7. Autrement dit, nous avons sept façons de prendre au moins un fruit de la table.
