Pour permettre au lecteur d'imaginer plus facilement ce qu'est un hyperboloïde - un objet tridimensionnel - vous devez d'abord considérer l'hyperbole courbe du même nom, qui s'inscrit dans un espace bidimensionnel.
Une hyperbole a deux axes: le vrai, qui sur cette figure coïncide avec l'axe des abscisses, et l'imaginaire, avec l'axe des ordonnées. Si vous commencez mentalement à tourner l'équation d'une hyperbole autour de son axe imaginaire, alors la surface "vue" par la courbe sera un hyperboloïde à feuille unique.
Si, cependant, nous commençons à faire pivoter l'hyperbole autour de son axe réel de cette manière, alors chacune des deux "moitiés" de la courbe formera sa propre surface séparée, et ensemble, elle sera appelée un deux- hyperboloïde en feuilles.
Obtenus par rotation de la courbe plane correspondante, ils sont respectivement appelés hyperboloïdes de rotation. Ils ont des paramètres dans toutes les directions perpendiculaires à l'axe de rotation,appartenant à la courbe pivotée. En général, ce n'est pas le cas.
Équation hyperboloïde
En général, une surface peut être définie par les équations suivantes en coordonnées cartésiennes (x, y, z):
Dans le cas d'un hyperboloïde de révolution, sa symétrie autour de l'axe autour duquel il a tourné s'exprime par l'égalité des coefficients a=b.
Caractéristiques de l'hyperboloïde
Il a un truc. Nous savons que les courbes sur un plan ont des foyers - dans le cas d'une hyperbole, par exemple, le module de la différence des distances d'un point arbitraire sur une hyperbole à un foyer et le second est constant par définition, en fait, de foyer points.
Lors du passage à l'espace tridimensionnel, la définition ne change pratiquement pas: les foyers sont à nouveau deux points, et la différence de distance entre eux et un point arbitraire appartenant à la surface hyperboloïde est constante. Comme vous pouvez le voir, seule la troisième coordonnée est apparue à partir des changements pour tous les points possibles, car maintenant ils sont définis dans l'espace. D'une manière générale, définir un foyer équivaut à identifier le type de courbe ou de surface: en parlant de la façon dont les points de la surface sont situés par rapport aux foyers, nous répondons en fait à la question de savoir ce qu'est un hyperboloïde et à quoi il ressemble.
Il convient de rappeler qu'une hyperbole a des asymptotes - des lignes droites, vers lesquelles ses branches tendent vers l'infini. Si, lors de la construction d'un hyperboloïde de révolution, on fait tourner mentalement les asymptotes avec l'hyperbole, alors en plus de l'hyperboloïde, on obtiendra également un cône appelé asymptotique. Le cône asymptotique estpour les hyperboloïdes à une nappe et à deux nappes.
Une autre caractéristique importante que seul un hyperboloïde à une nappe possède est les générateurs rectilignes. Comme son nom l'indique, ce sont des lignes, et elles reposent entièrement sur une surface donnée. Deux génératrices rectilignes passent par chaque point d'un hyperboloïde à une feuille. Elles appartiennent respectivement à deux familles de lignes, qui sont décrites par les systèmes d'équations suivants:
Ainsi, un hyperboloïde à une nappe peut être entièrement composé d'un nombre infini de droites de deux familles, et chaque droite de l'une d'elles se coupera avec toutes les droites de l'autre. Les surfaces correspondant à de telles propriétés sont dites réglées; ils peuvent être construits en utilisant la rotation d'une ligne droite. La définition par l'arrangement mutuel des lignes (génératrices rectilignes) dans l'espace peut également servir de désignation sans ambiguïté de ce qu'est un hyperboloïde.
Propriétés intéressantes d'un hyperboloïde
Les courbes du second ordre et leurs surfaces de révolution correspondantes ont chacune des propriétés optiques intéressantes associées aux foyers. Dans le cas d'un hyperboloïde, cela se formule comme suit: si un rayon est tiré à partir d'un foyer, alors, s'étant réfléchi depuis le "mur" le plus proche, il prendra une direction telle que s'il provenait du deuxième foyer.
Les hyperboloïdes dans la vie
Très probablement, la plupart des lecteurs ont commencé leur connaissance de la géométrie analytique et des surfaces de second ordre à partir d'un roman de science-fiction d'Alexeï Tolstoï"L'ingénieur hyperboloïde Garin". Cependant, l'auteur lui-même ne savait pas bien ce qu'était un hyperboloïde, ou a sacrifié la précision au profit de l'art: l'invention décrite, en termes de caractéristiques physiques, est plutôt un paraboloïde qui rassemble tous les rayons en un seul foyer (alors que le les propriétés optiques de l'hyperboloïde sont associées à la diffusion des rayons).
Les structures dites hyperboloïdes sont très populaires en architecture: ce sont des structures qui ont la forme d'un hyperboloïde à feuille unique ou d'un paraboloïde hyperbolique. Le fait est que seules ces surfaces de révolution du second ordre ont des génératrices rectilignes: ainsi, une structure courbe ne peut être construite qu'à partir de poutres droites. Les avantages de telles structures résident dans leur capacité à supporter de lourdes charges, par exemple du vent: la forme hyperboloïde est utilisée dans la construction de structures hautes, par exemple des tours de télévision.
