La méthode axiomatique est une manière de construire des théories scientifiques déjà établies. Il est basé sur des arguments, des faits, des déclarations qui ne nécessitent pas de preuve ou de réfutation. En fait, cette version de la connaissance est présentée sous la forme d'une structure déductive, qui comprend initialement une justification logique du contenu à partir des fondamentaux - les axiomes.
Cette méthode ne peut pas être une découverte, mais seulement un concept de classification. Il est plus adapté à l'enseignement. La base contient les dispositions initiales, et le reste des informations suit comme une conséquence logique. Où est la méthode axiomatique de construction d'une théorie ? Il est au cœur de la plupart des sciences modernes et établies.
Formation et développement du concept de méthode axiomatique, définition du mot
Tout d'abord, ce concept est né dans la Grèce antique grâce à Euclide. Il est devenu le fondateur de la méthode axiomatique en géométrie. Aujourd'hui, il est commun à toutes les sciences, mais surtout aux mathématiques. Cette méthode est formée sur la base d'énoncés établis, et les théories ultérieures sont dérivées par construction logique.
Cela s'explique comme suit: il y a des mots et des concepts quidéfinis par d'autres termes. En conséquence, les chercheurs sont arrivés à la conclusion qu'il existe des conclusions élémentaires justifiées et constantes - des axiomes de base, c'est-à-dire. Par exemple, lorsqu'ils prouvent un théorème, ils s'appuient généralement sur des faits déjà bien établis et ne nécessitent pas de réfutation.
Cependant, avant cela, ils devaient être justifiés. Dans le processus, il s'avère qu'une déclaration non motivée est prise comme un axiome. Sur la base d'un ensemble de concepts constants, d'autres théorèmes sont démontrés. Ils forment la base de la planimétrie et sont la structure logique de la géométrie. Les axiomes établis dans cette science sont définis comme des objets de toute nature. Ils ont, à leur tour, des propriétés qui sont spécifiées dans des concepts constants.
Exploration plus approfondie des axiomes
La méthode était considérée comme idéale jusqu'au XIXe siècle. Les moyens logiques de rechercher des concepts de base n'ont pas été étudiés à cette époque, mais dans le système d'Euclide, on peut observer la structure permettant d'obtenir des conséquences significatives à partir de la méthode axiomatique. Les recherches du scientifique ont montré l'idée de savoir comment obtenir un système complet de connaissances géométriques basé sur une voie purement déductive. On leur a proposé un nombre relativement restreint d'axiomes affirmés qui sont manifestement vrais.
Mérite des anciens esprits grecs
Euclid a prouvé de nombreux concepts, et certains d'entre eux étaient justifiés. Cependant, la majorité attribue ces mérites à Pythagore, Démocrite et Hippocrate. Ce dernier a compilé un cours complet de géométrie. Certes, plus tard à Alexandrie est sortirecueil "Beginning", dont l'auteur était Euclide. Ensuite, il a été renommé "Géométrie élémentaire". Au bout d'un moment, ils ont commencé à le critiquer pour certaines raisons:
- toutes les valeurs ont été construites uniquement avec une règle et un compas;
- la géométrie et l'arithmétique ont été séparées et prouvées avec des nombres et des concepts valides;
- axiomes, certains d'entre eux, en particulier le cinquième postulat, ont été proposés pour être supprimés de la liste générale.
En conséquence, la géométrie non euclidienne apparaît au XIXe siècle, dans laquelle il n'y a pas de postulat objectivement vrai. Cette action a donné une impulsion au développement ultérieur du système géométrique. Ainsi, les chercheurs en mathématiques en vinrent aux méthodes de construction déductives.
Développement de connaissances mathématiques basées sur des axiomes
Lorsqu'un nouveau système de géométrie a commencé à se développer, la méthode axiomatique a également changé. En mathématiques, ils ont commencé à se tourner plus souvent vers une construction théorique purement déductive. En conséquence, tout un système de preuves est apparu dans la logique numérique moderne, qui est la section principale de toute science. Dans la structure mathématique a commencé à comprendre la nécessité d'une justification.
Ainsi, à la fin du siècle, des tâches claires et la construction de concepts complexes ont été formées, qui à partir d'un théorème complexe ont été réduits à l'énoncé logique le plus simple. Ainsi, la géométrie non euclidienne a stimulé une base solide pour la poursuite de l'existence de la méthode axiomatique, ainsi que pour la résolution de problèmes de nature générale.constructions mathématiques:
- cohérence;
- plénitude;
- indépendance.
Dans le processus, une méthode d'interprétation a émergé et a été développée avec succès. Cette méthode est décrite comme suit: pour chaque concept de sortie de la théorie, on fixe un objet mathématique dont la totalité est appelée un champ. La déclaration sur les éléments spécifiés peut être fausse ou vraie. En conséquence, les déclarations sont nommées en fonction des conclusions.
Caractéristiques de la théorie de l'interprétation
En règle générale, le champ et les propriétés sont également pris en compte dans le système mathématique et, à leur tour, peuvent devenir axiomatiques. L'interprétation prouve des énoncés dans lesquels il y a une cohérence relative. Une option supplémentaire est un certain nombre de faits dans lesquels la théorie devient contradictoire.
En fait, la condition est remplie dans certains cas. En conséquence, il s'avère que s'il y a deux concepts faux ou vrais dans les énoncés de l'un des énoncés, alors il est considéré comme négatif ou positif. Cette méthode a été utilisée pour prouver la cohérence de la géométrie d'Euclide. En utilisant la méthode interprétative, on peut résoudre la question de l'indépendance des systèmes d'axiomes. Si vous avez besoin de réfuter une théorie, alors il suffit de prouver que l'un des concepts n'est pas dérivé de l'autre et est erroné.
Cependant, en plus des déclarations réussies, la méthode a aussi des faiblesses. La cohérence et l'indépendance des systèmes d'axiomes sont résolues comme des questions qui obtiennent des résultats relatifs. La seule réalisation importante de l'interprétation estdécouverte du rôle de l'arithmétique en tant que structure dans laquelle la question de la cohérence est réduite à un certain nombre d'autres sciences.
Développement moderne des mathématiques axiomatiques
La méthode axiomatique a commencé à se développer dans les travaux de Gilbert. Dans son école, le concept même de théorie et de système formel a été clarifié. En conséquence, un système général est apparu et les objets mathématiques sont devenus précis. En outre, il est devenu possible de résoudre les problèmes de justification. Ainsi, un système formel est construit par une classe exacte, qui contient des sous-systèmes de formules et de théorèmes.
Pour construire cette structure, vous n'avez qu'à vous laisser guider par la commodité technique, car elles n'ont aucune charge sémantique. Ils peuvent être inscrits avec des signes, des symboles. Autrement dit, en fait, le système lui-même est construit de telle manière que la théorie formelle peut être appliquée de manière adéquate et complète.
En conséquence, un objectif ou une tâche mathématique spécifique est versé dans une théorie basée sur un contenu factuel ou un raisonnement déductif. Le langage de la science numérique est transféré dans un système formel, dans le processus toute expression concrète et significative est déterminée par la formule.
Méthode de formalisation
Dans l'état naturel des choses, une telle méthode sera capable de résoudre des problèmes globaux tels que la cohérence, ainsi que de construire une essence positive des théories mathématiques selon les formules dérivées. Et fondamentalement, tout cela sera résolu par un système formel basé sur des déclarations éprouvées. Les théories mathématiques étaient constamment compliquées par des justifications, etGilbert a proposé d'étudier cette structure en utilisant des méthodes finies. Mais ce programme a échoué. Les résultats de Gödel déjà au XXe siècle ont conduit aux conclusions suivantes:
- la cohérence naturelle est impossible en raison du fait que l'arithmétique formalisée ou toute autre science similaire de ce système sera incomplète;
- des formules insolubles sont apparues;
- les affirmations sont indémontrables.
Les vrais jugements et les finitions finies raisonnables sont considérés comme formalisables. Dans cet esprit, la méthode axiomatique a des limites et des possibilités certaines et claires au sein de cette théorie.
Résultats du développement des axiomes dans les travaux des mathématiciens
Malgré le fait que certains jugements ont été réfutés et mal développés, la méthode des concepts constants joue un rôle important dans la formation des fondements des mathématiques. De plus, l'interprétation et la méthode axiomatique en science ont révélé les résultats fondamentaux de la cohérence, de l'indépendance des énoncés de choix et des hypothèses dans la théorie multiple.
En abordant la question de la cohérence, l'essentiel est d'appliquer non seulement les concepts établis. Ils doivent également être complétés par des idées, des concepts et des moyens de finition finis. Dans ce cas, divers points de vue, méthodes, théories sont envisagés, qui doivent prendre en compte la signification et la justification logiques.
La cohérence du système formel indique une finition similaire de l'arithmétique, qui est basée sur l'induction, le comptage, le nombre transfini. Dans le domaine scientifique, l'axiomatisation est la plus importanteun outil qui a des concepts et des déclarations irréfutables qui sont pris comme base.
L'essence des énoncés initiaux et leur rôle dans les théories
L'évaluation d'une méthode axiomatique indique qu'une certaine structure réside dans son essence. Ce système est construit à partir de l'identification du concept sous-jacent et des énoncés fondamentaux qui ne sont pas définis. La même chose se produit avec les théorèmes considérés comme originaux et acceptés sans preuve. Dans les sciences naturelles, de telles affirmations sont étayées par des règles, des hypothèses, des lois.
Ensuite, le processus de fixation des bases de raisonnement établies a lieu. En règle générale, il est immédiatement indiqué qu'un autre est déduit d'une position, et dans le processus, le reste sort, ce qui, en substance, coïncide avec la méthode déductive.
Caractéristiques du système à l'époque moderne
Le système axiomatique comprend:
- conclusions logiques;
- termes et définitions;
- déclarations et concepts partiellement incorrects.
Dans la science moderne, cette méthode a perdu son caractère abstrait. L'axiomatisation géométrique euclidienne était basée sur des propositions intuitives et vraies. Et la théorie a été interprétée d'une manière unique et naturelle. Aujourd'hui, un axiome est une disposition qui va de soi en soi, et un accord, et tout accord, peut agir comme un concept initial qui n'a pas besoin d'être justifié. Par conséquent, les valeurs d'origine peuvent être loin d'être descriptives. Cette méthode nécessite de la créativité, une connaissance des relations et de la théorie sous-jacente.
Principes de base pour tirer des conclusions
La méthode axiomatique déductive est une connaissance scientifique, construite selon un certain schéma, qui est basée sur des hypothèses correctement réalisées, dérivant des déclarations sur des faits empiriques. Une telle conclusion est construite sur la base de structures logiques, par dérivation dure. Les axiomes sont initialement des énoncés irréfutables qui ne nécessitent pas de preuve.
Lors de la déduction, certaines exigences sont appliquées aux concepts initiaux: cohérence, complétude, indépendance. Comme le montre la pratique, la première condition est basée sur une connaissance logique formelle. C'est-à-dire que la théorie ne devrait pas avoir les significations de vérité et de fausseté, car elle n'aura plus de sens et de valeur.
Si cette condition n'est pas remplie, alors elle est considérée comme incompatible et tout sens y est perdu, car la charge sémantique entre la vérité et le mensonge est perdue. De manière déductive, la méthode axiomatique est un moyen de construire et de justifier des connaissances scientifiques.
Application pratique de la méthode
La méthode axiomatique de construction des connaissances scientifiques a une application pratique. En fait, cette voie influence et a une signification globale pour les mathématiques, bien que cette connaissance ait déjà atteint son apogée. Des exemples de la méthode axiomatique sont les suivants:
- les plans affines ont trois instructions et une définition;
- la théorie de l'équivalence a trois preuves;
- les relations binaires sont divisées en un système de définitions, de concepts et d'exercices supplémentaires.
Si vous voulez formuler le sens original, vous devez connaître la nature des ensembles et des éléments. Essentiellement, la méthode axiomatique a constitué la base de divers domaines scientifiques.
