Souvent dans la vie, nous sommes confrontés à la nécessité d'évaluer les chances qu'un événement se produise. Que cela vaille la peine d'acheter un billet de loterie ou non, quel sera le sexe du troisième enfant de la famille, que le temps soit clair demain ou qu'il pleuve à nouveau - il existe d'innombrables exemples de ce type. Dans le cas le plus simple, vous devez diviser le nombre de résultats favorables par le nombre total d'événements. S'il y a 10 billets gagnants à la loterie et qu'il y en a 50 au total, les chances d'obtenir un prix sont de 10/50=0,2, soit 20 contre 100. Mais que se passe-t-il s'il y a plusieurs événements et qu'ils sont étroitement liés ? en relation? Dans ce cas, on ne s'intéressera plus à la probabilité simple, mais à la probabilité conditionnelle. Quelle est cette valeur et comment elle peut être calculée - cela sera discuté dans notre article.
Concept
La probabilité conditionnelle est la probabilité qu'un événement particulier se produise, étant donné qu'un autre événement connexe s'est déjà produit. Prenons un exemple simple aveclancer une pièce de monnaie. S'il n'y a pas encore eu de match nul, les chances d'obtenir pile ou face seront les mêmes. Mais si cinq fois de suite la pièce reposait avec les armoiries levées, alors accepter de s'attendre à la 6e, 7e, et plus encore la 10e répétition d'un tel résultat serait illogique. À chaque titre répété, les chances que des queues apparaissent augmentent et tôt ou tard elles tomberont.
Formule de probabilité conditionnelle
Déterminons maintenant comment cette valeur est calculée. Notons le premier événement par B, et le second par A. Si les chances d'occurrence de B sont différentes de zéro, alors l'égalité suivante sera valide:
P (A|B)=P (AB) / P (B), où:
- P (A|B) – probabilité conditionnelle du résultat A;
- P (AB) - la probabilité d'occurrence conjointe des événements A et B;
- P (B) – probabilité de l'événement B.
En transformant légèrement ce rapport, nous obtenons P (AB)=P (A|B)P (B). Et si nous appliquons la méthode d'induction, alors nous pouvons dériver la formule du produit et l'utiliser pour un nombre arbitraire d'événements:
P (La1, La2, La3, …La p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Lap).
Pratique
Pour faciliter la compréhension du calcul de la probabilité conditionnelle d'un événement, examinons quelques exemples. Supposons qu'il y ait un vase contenant 8 chocolats et 7 menthes. Ils sont de la même taille et aléatoires.deux d'entre eux sont retirés successivement. Quelles sont les chances qu'ils soient tous les deux en chocolat ? Introduisons la notation. Soit le résultat A signifie que le premier bonbon est du chocolat, le résultat B est le deuxième bonbon au chocolat. Ensuite, vous obtenez ce qui suit:
P (A)=P (B)=8 / 15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Considérons un autre cas. Supposons qu'il y ait une famille de deux enfants et que nous sachions qu'au moins un enfant est une fille.
Quelle est la probabilité conditionnelle que ces parents n'aient pas encore de garçons ? Comme dans le cas précédent, nous commençons par la notation. Soit P(B) la probabilité qu'il y ait au moins une fille dans la famille, P(A|B) la probabilité que le deuxième enfant soit aussi une fille, P(AB) les chances qu'il y ait deux filles dans la famille. Faisons maintenant les calculs. Au total, il peut y avoir 4 combinaisons différentes du sexe des enfants, et dans ce cas, dans un seul cas (quand il y a deux garçons dans la famille), il n'y aura pas de fille parmi les enfants. Par conséquent, la probabilité P (B)=3/4 et P (AB)=1/4. Ensuite, en suivant notre formule, nous obtenons:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Le résultat peut être interprété comme suit: si nous ne connaissions pas le sexe de l'un des enfants, alors les chances de deux filles seraient de 25 contre 100. Mais puisque nous savons qu'un enfant est une fille, le probabilité que la famille de garçons non, augmente à un tiers.
