Que sont les nombres irrationnels ? Pourquoi s'appellent-ils ainsi ? Où sont-ils utilisés et à quoi servent-ils ? Rares sont ceux qui peuvent répondre à ces questions sans hésitation. Mais en fait, les réponses sont assez simples, même si tout le monde n'en a pas besoin et dans de très rares situations
Essence et appellation
Les nombres irrationnels sont des fractions décimales non périodiques infinies. La nécessité d'introduire ce concept est due au fait que les concepts de nombres réels ou réels, entiers, naturels et rationnels qui existaient auparavant ne suffisaient plus à résoudre les nouveaux problèmes émergents. Par exemple, pour calculer ce qu'est le carré de 2, vous devez utiliser des décimales infinies non récurrentes. De plus, la plupart des équations les plus simples n'ont pas non plus de solution sans introduire le concept de nombre irrationnel.
Cet ensemble est noté I. Et, comme cela est déjà clair, ces valeurs ne peuvent pas être représentées comme une simple fraction, au numérateur de laquelle il y aura un entier, et au dénominateur - un nombre naturel.
Pour la toute première foissinon, les mathématiciens indiens ont rencontré ce phénomène au 7ème siècle avant JC, quand on a découvert que les racines carrées de certaines quantités ne pouvaient pas être indiquées explicitement. Et la première preuve de l'existence de tels nombres est attribuée au pythagoricien Hippase, qui l'a fait en étudiant un triangle rectangle isocèle. Une contribution sérieuse à l'étude de cet ensemble a été apportée par d'autres scientifiques qui ont vécu avant notre ère. L'introduction du concept de nombres irrationnels a entraîné une révision du système mathématique existant, c'est pourquoi ils sont si importants.
Origine du nom
Si ratio en latin signifie "fraction", "ratio", alors le préfixe "ir"
donne à ce mot le sens opposé. Ainsi, le nom de l'ensemble de ces nombres indique qu'ils ne peuvent pas être corrélés avec un nombre entier ou fractionnaire, ils ont une place à part. Cela découle de leur essence.
Place au classement général
Les nombres irrationnels, avec les nombres rationnels, appartiennent au groupe des nombres réels ou réels, qui à leur tour appartiennent aux nombres complexes. Il n'y a pas de sous-ensembles, cependant, il existe des variétés algébriques et transcendantales, qui seront discutées ci-dessous.
Propriétés
Puisque les nombres irrationnels font partie de l'ensemble des nombres réels, toutes leurs propriétés étudiées en arithmétique (on les appelle aussi lois algébriques de base) s'appliquent à eux.
a + b=b + a (commutativité);
(a + b) + c=a + (b + c)(associativité);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (l'existence du nombre opposé);
ab=ba (loi de déplacement);
(ab)c=a(bc) (distributivité);
a(b+c)=ab + ac (loi distributive);
a x 1=a
a x 1/a=1 (l'existence d'un nombre inverse);
La comparaison est également effectuée conformément aux lois et principes généraux:
Si a > b et b > c, alors a > c (transitivité du rapport) et. etc.
Bien sûr, tous les nombres irrationnels peuvent être convertis en utilisant l'arithmétique de base. Il n'y a pas de règles spéciales pour cela.
De plus, l'axiome d'Archimède s'applique aux nombres irrationnels. Il dit que pour deux quantités quelconques a et b, l'affirmation est vraie qu'en prenant a comme terme suffisamment de fois, vous pouvez dépasser b.
Utiliser
Malgré le fait que dans la vie ordinaire, vous n'avez pas souvent à y faire face, les nombres irrationnels ne peuvent pas être comptés. Il y en a beaucoup, mais ils sont presque invisibles. Nous sommes entourés de nombres irrationnels partout. Des exemples familiers à tous sont le nombre pi, égal à 3, 1415926…, ou e, qui est essentiellement la base du logarithme népérien, 2, 718281828… En algèbre, trigonométrie et géométrie, il faut les utiliser constamment. Soit dit en passant, la fameuse valeur de la "section dorée", c'est-à-dire le rapport de la plus grande partie à la plus petite, et vice versa, est également
appartient à cet ensemble. "Argent" moins connu - aussi.
Ils sont situés de manière très dense sur la droite numérique, donc entre deux valeurs liées à l'ensemble des valeurs rationnelles, une valeur irrationnelle est sûre de se produire.
Il y a encore beaucoup de problèmes non résolus liés à cet ensemble. Il existe des critères tels que la mesure de l'irrationalité et la normalité d'un nombre. Les mathématiciens continuent d'examiner les exemples les plus significatifs de leur appartenance à un groupe ou à un autre. Par exemple, on pense que e est un nombre normal, c'est-à-dire que la probabilité que différents chiffres apparaissent dans son enregistrement est la même. Quant à pi, des recherches sont toujours en cours à son sujet. Une mesure de l'irrationalité est également appelée une valeur indiquant dans quelle mesure tel ou tel nombre peut être approximé par des nombres rationnels.
Algébrique et transcendantal
Comme déjà mentionné, les nombres irrationnels sont conditionnellement divisés en algébrique et transcendantal. Conditionnellement, puisque, à proprement parler, cette classification sert à diviser l'ensemble C.
Cette désignation masque les nombres complexes, qui incluent des nombres réels ou réels.
Donc, une valeur algébrique est une valeur qui est une racine d'un polynôme qui n'est pas identiquement égal à zéro. Par exemple, la racine carrée de 2 serait dans cette catégorie car c'est la solution de l'équation x2 - 2=0.
Tous les autres nombres réels qui ne satisfont pas cette condition sont appelés transcendantaux. A cette variétéinclure les exemples les plus célèbres et déjà mentionnés - le nombre pi et la base du logarithme naturel e.
Il est intéressant de noter que ni l'un ni le second n'ont été initialement déduits par les mathématiciens à ce titre, leur irrationalité et leur transcendance ont été prouvées de nombreuses années après leur découverte. Pour pi, la démonstration a été donnée en 1882 et simplifiée en 1894, ce qui a mis fin à la controverse de 2 500 ans sur le problème de la quadrature du cercle. Il n'est pas encore entièrement compris, les mathématiciens modernes ont donc quelque chose sur quoi travailler. Soit dit en passant, le premier calcul suffisamment précis de cette valeur a été effectué par Archimède. Avant lui, tous les calculs étaient trop approximatifs.
Pour e (les nombres d'Euler ou de Napier), la preuve de sa transcendance a été trouvée en 1873. Il est utilisé pour résoudre des équations logarithmiques.
D'autres exemples incluent les valeurs sinus, cosinus et tangente pour toutes les valeurs algébriques non nulles.
