Pythagore a soutenu que le nombre sous-tend le monde avec les éléments de base. Platon croyait que le nombre relie le phénomène et le noumène, aidant à connaître, mesurer et tirer des conclusions. L'arithmétique vient du mot "arithmos" - un nombre, le début des débuts en mathématiques. Il peut décrire n'importe quel objet - d'une pomme élémentaire à des espaces abstraits.
Les besoins comme facteur de développement
Au début de la formation de la société, les besoins des gens se limitaient à la nécessité de compter - un sac de céréales, deux sacs de céréales, etc. Les nombres naturels suffisaient pour cela, dont l'ensemble est une suite positive infinie d'entiers N.
Plus tard, avec le développement des mathématiques en tant que science, il y avait un besoin pour un champ séparé d'entiers Z - il comprend des valeurs négatives et zéro. Son apparition au niveau des ménages a été provoquée par le fait que dans la comptabilité primaire, il était nécessaire de fixer d'une manière ou d'une autredettes et pertes. Sur le plan scientifique, les nombres négatifs ont permis de résoudre les équations linéaires les plus simples. Entre autres choses, l'image d'un système de coordonnées trivial est maintenant devenue possible, puisqu'un point de référence est apparu.
L'étape suivante était la nécessité d'introduire des nombres fractionnaires, puisque la science ne s'arrêtait pas, de plus en plus de découvertes nécessitaient une base théorique pour un nouvel élan de croissance. C'est ainsi que le corps des nombres rationnels est apparu Q.
Finalement, la rationalité a cessé de satisfaire les demandes, car toute nouvelle conclusion exigeait une justification. Apparaissent le domaine des nombres réels R, les travaux d'Euclide sur l'incommensurabilité de certaines quantités du fait de leur irrationalité. C'est-à-dire que les mathématiciens grecs anciens ont positionné le nombre non seulement comme une constante, mais aussi comme une quantité abstraite, caractérisée par le rapport des quantités incommensurables. En raison du fait que les nombres réels sont apparus, des quantités telles que "pi" et "e" "ont vu le jour", sans lesquelles les mathématiques modernes ne pourraient avoir lieu.
L'innovation finale était le nombre complexe C. Il a répondu à un certain nombre de questions et a réfuté les postulats précédemment introduits. En raison du développement rapide de l'algèbre, le résultat était prévisible - avec des nombres réels, il était impossible de résoudre de nombreux problèmes. Par exemple, grâce aux nombres complexes, la théorie des cordes et du chaos s'est démarquée, et les équations de l'hydrodynamique se sont développées.
Théorie des ensembles. Chantre
Le concept de l'infini à tout momentsuscité la controverse, car il ne pouvait être ni prouvé ni réfuté. Dans le contexte des mathématiques, qui opéraient avec des postulats strictement vérifiés, cela se manifestait le plus clairement, d'autant plus que l'aspect théologique avait encore du poids dans la science.
Cependant, grâce aux travaux du mathématicien Georg Kantor, tout s'est mis en place au fil du temps. Il a prouvé qu'il existe un nombre infini d'ensembles infinis, et que le champ R est plus grand que le champ N, même s'ils n'ont pas de fin tous les deux. Au milieu du 19ème siècle, ses idées étaient bruyamment qualifiées de non-sens et de crime contre les canons classiques inébranlables, mais le temps a tout remis à sa place.
Propriétés de base du champ R
Les nombres réels ont non seulement les mêmes propriétés que les sous-ensembles qui y sont inclus, mais sont également complétés par d'autres en raison de l'échelle de leurs éléments:
- Zéro existe et appartient au champ R. c + 0=c pour tout c de R.
- Zero existe et appartient au champ R. c x 0=0 pour tout c de R.
- La relation c: d pour d ≠ 0 existe et est valable pour tout c, d de R.
- Le champ R est ordonné, c'est-à-dire que si c ≦ d, d ≦ c, alors c=d pour tout c, d de R.
- L'addition dans le corps R est commutative, c'est-à-dire c + d=d + c pour tout c, d de R.
- La multiplication dans le corps R est commutative, c'est-à-dire c x d=d x c pour tout c, d de R.
- L'addition dans le champ R est associative, c'est-à-dire (c + d) + f=c + (d + f) pour tout c, d, f de R.
- La multiplication dans le champ R est associative, c'est-à-dire (c x d) x f=c x (d x f) pour tout c, d, f de R.
- Pour chaque nombre dans le champ R, il existe un opposé, tel que c + (-c)=0, où c, -c vient de R.
- Pour chaque nombre du champ R il y a son inverse, tel que c x c-1 =1, où c, c-1 de R.
- L'unité existe et appartient à R, donc c x 1=c, pour tout c de R.
- La loi de distribution est valide, donc c x (d + f)=c x d + c x f, pour tout c, d, f de R.
- Dans le champ R, zéro n'est pas égal à un.
- Le corps R est transitif: si c ≦ d, d ≦ f, alors c ≦ f pour tout c, d, f de R.
- Dans le corps R, l'ordre et l'addition sont liés: si c ≦ d, alors c + f ≦ d + f pour tout c, d, f de R.
- Dans le champ R, l'ordre et la multiplication sont liés: si 0 ≦ c, 0 ≦ d, alors 0 ≦ c x d pour tout c, d de R.
- Les nombres réels négatifs et positifs sont continus, c'est-à-dire que pour tout c, d de R, il existe un f de R tel que c ≦ f ≦ d.
Module dans le champ R
Les nombres réels incluent le module.
Noté comme |f| pour tout f de R. |f|=f si 0 ≦ f et |f|=-f si 0 > f. Si nous considérons le module comme une quantité géométrique, alors c'est la distance parcourue - peu importe que vous "passiez" zéro à moins ou que vous passiez à plus.
Nombres complexes et réels. Quelles sont les similitudes et quelles sont les différences ?
En gros, les nombres complexes et réels sont identiques, sauf queunité imaginaire i, dont le carré est -1. Les éléments des champs R et C peuvent être représentés par la formule suivante:
c=d + f x i, où d, f appartiennent au champ R et i est l'unité imaginaire
Pour obtenir c à partir de R dans ce cas, f est simplement égal à zéro, c'est-à-dire qu'il ne reste que la partie réelle du nombre. En raison du fait que le champ des nombres complexes a le même ensemble de propriétés que le champ des nombres réels, f x i=0 si f=0.
Concernant les différences pratiques, par exemple, dans le champ R, l'équation quadratique n'est pas résolue si le discriminant est négatif, tandis que le champ C n'impose pas une telle restriction en raison de l'introduction de l'unité imaginaire i.
Résultats
Les « briques » des axiomes et des postulats sur lesquels reposent les mathématiques ne changent pas. En raison de l'augmentation des informations et de l'introduction de nouvelles théories, les "briques" suivantes sont placées sur certaines d'entre elles, qui à l'avenir peuvent devenir la base de l'étape suivante. Par exemple, les nombres naturels, bien qu'ils soient un sous-ensemble du champ réel R, ne perdent pas leur pertinence. C'est sur eux que repose toute l'arithmétique élémentaire, par laquelle commence la connaissance humaine du monde.
D'un point de vue pratique, les nombres réels ressemblent à une ligne droite. Sur celui-ci, vous pouvez choisir la direction, désigner l'origine et l'étape. Une droite est constituée d'un nombre infini de points, dont chacun correspond à un seul nombre réel, qu'il soit rationnel ou non. Il ressort clairement de la description que nous parlons d'un concept sur lequel les mathématiques en général et l'analyse mathématique en général sont construites.particulier.
