L'une des sections fondamentales de l'analyse mathématique est le calcul intégral. Il couvre le champ d'objets le plus large, le premier étant l'intégrale indéfinie. Cela vaut la peine de le positionner comme une clé, qui, même au lycée, révèle un nombre croissant de perspectives et d'opportunités décrites par les mathématiques supérieures.
Apparence
À première vue, l'intégrale semble tout à fait moderne, pertinente, mais en pratique, il s'avère qu'elle est apparue dès 1800 av. L'Égypte est officiellement considérée comme la patrie, car aucune preuve antérieure de son existence ne nous est parvenue. Lui, par manque d'informations, tout ce temps s'est simplement positionné comme un phénomène. Il a une fois de plus confirmé le niveau de développement de la science parmi les peuples de l'époque. Enfin, les travaux de mathématiciens grecs anciens datant du 4ème siècle avant JC ont été retrouvés. Ils ont décrit une méthode utilisant une intégrale indéfinie, dont l'essence était de trouver le volume ou l'aire d'une figure curviligne (tridimensionnelleet plans bidimensionnels, respectivement). Le principe de calcul était basé sur la division de la figure originale en composants infinitésimaux, à condition que leur volume (aire) soit déjà connu. Au fil du temps, la méthode s'est développée, Archimède l'a utilisée pour trouver l'aire d'une parabole. Des calculs similaires ont été effectués en même temps par des scientifiques de la Chine ancienne, et ils étaient complètement indépendants de leurs homologues grecs en science.
Développement
La percée suivante au 11ème siècle après JC fut le travail du scientifique arabe "universel" Abu Ali al-Basri, qui repoussa les limites de ce qui était déjà connu, dérivant des formules basées sur l'intégrale pour calculer les sommes de rangées et les sommes des puissances de la première à la quatrième, en appliquant pour cela la méthode d'induction mathématique que nous connaissons.
Les esprits des temps modernes admirent comment les anciens Égyptiens ont créé des monuments architecturaux étonnants sans aucun dispositif spécial, sauf peut-être leurs mains, mais la puissance de l'esprit des scientifiques de l'époque n'est-elle pas moins un miracle ? Comparé à aujourd'hui, leur vie semble presque primitive, mais la solution des intégrales indéfinies a été dérivée partout et utilisée dans la pratique pour un développement ultérieur.
L'étape suivante a eu lieu au XVIe siècle, lorsque le mathématicien italien Cavalieri a développé la méthode des indivisibles, reprise par Pierre Fermat. Ce sont ces deux personnalités qui ont jeté les bases du calcul intégral moderne, connu à l'heure actuelle. Ils ont relié les concepts de différenciation et d'intégration, qui étaient auparavanttraités comme des unités autonomes. Dans l'ensemble, les mathématiques de cette époque étaient fragmentées, les particules de conclusions existaient par elles-mêmes, ayant une portée limitée. La voie de l'unification et de la recherche d'un terrain d'entente était la seule vraie à cette époque, grâce à laquelle l'analyse mathématique moderne a eu l'opportunité de grandir et de se développer.
Tout a changé avec le temps, y compris la notation de l'intégrale. Dans l'ensemble, les scientifiques l'ont notée par tous les moyens, par exemple, Newton a utilisé une icône carrée dans laquelle il a placé une fonction intégrable ou l'a simplement mise à côté.
Cette incohérence s'est poursuivie jusqu'au 17ème siècle, lorsque le scientifique Gottfried Leibniz, une référence pour toute la théorie de l'analyse mathématique, a introduit le symbole qui nous est si familier. Le "S" allongé est en effet basé sur cette lettre de l'alphabet latin, car il désigne la somme des primitives. L'intégrale a obtenu son nom grâce à Jacob Bernoulli 15 ans plus tard.
Définition formelle
L'intégrale indéfinie dépend directement de la définition de la primitive, donc considérons-la d'abord.
Une primitive est une fonction qui est l'inverse d'une dérivée, en pratique on l'appelle aussi primitive. Sinon: la primitive d'une fonction d est une fonction D dont la dérivée est égale à v V'=v. La recherche de la primitive est le calcul de l'intégrale indéfinie, et ce processus lui-même est appelé intégration.
Exemple:
Fonction s(y)=y3, et sa primitive S(y)=(y4/4).
L'ensemble de toutes les primitives de la fonction considérée est l'intégrale indéfinie, elle est notée comme suit: ∫v(x)dx.
Du fait que V(x) n'est qu'une primitive de la fonction originale, l'expression a lieu: ∫v(x)dx=V(x) + C, où C est une constante. Une constante arbitraire est toute constante, puisque sa dérivée est égale à zéro.
Propriétés
Les propriétés de l'intégrale indéfinie sont basées sur la définition principale et les propriétés des dérivées.
Regardons les points clés:
- l'intégrale de la dérivée de la primitive est la primitive elle-même plus une constante arbitraire С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- la dérivée de l'intégrale de la fonction est la fonction originale (∫v(x)dx)'=v(x);
- constante est extraite du signe intégral ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, où k est arbitraire;
- l'intégrale tirée de la somme est identiquement égale à la somme des intégrales ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
D'après les deux dernières propriétés, nous pouvons conclure que l'intégrale indéfinie est linéaire. Grâce à cela, on a: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Pour consolider, considérons des exemples de résolution d'intégrales indéfinies.
Il faut trouver l'intégrale ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
D'après l'exemple, nous pouvons conclure:Vous ne savez pas comment résoudre des intégrales indéfinies ? Trouvez simplement toutes les primitives ! Mais les principes de la recherche seront examinés ci-dessous.
Méthodes et exemples
Pour résoudre l'intégrale, vous pouvez recourir aux méthodes suivantes:
- utiliser le tableau préparé;
- intégrer par parties;
- intégrer en changeant la variable;
- ramenant sous le signe différentiel.
Tableaux
Le moyen le plus simple et le plus agréable. À l'heure actuelle, l'analyse mathématique dispose de tableaux assez étendus dans lesquels sont écrites les formules de base des intégrales indéfinies. Autrement dit, il existe des templates qui ont été développés avant vous et pour vous, il ne reste plus qu'à les utiliser. Voici une liste des principales positions de table auxquelles vous pouvez dériver presque tous les exemples qui ont une solution:
- ∫0dy=C, où C est une constante;
- ∫dy=y + C, où C est une constante;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, où C est une constante et n - nombre non un;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, où C est une constante;
- ∫eydy=ey + C, où C est une constante;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, où C est une constante;
- ∫cosydy=siny + C, où C est une constante;
- ∫sinydy=-cosy + C, où C est une constante;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, où C est une constante;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, où C est une constante;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, où C est une constante;
- ∫chydy=timide + C, où C -constante;
- ∫shydy=chy + C, où C est une constante.
Si nécessaire, faites quelques pas, amenez l'intégrande sous forme de tableau et savourez la victoire. Exemple: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Selon la solution, il est clair que pour l'exemple tabulaire, il manque à l'intégrande un facteur de 5. On l'ajoute en le multipliant par 1/5 en parallèle pour que l'expression générale ne change pas.
Intégration par parties
Considérons deux fonctions - z(y) et x(y). Ils doivent être continûment différentiables sur tout le domaine de définition. D'après une des propriétés de différenciation, on a: d(xz)=xdz + zdx. En intégrant les deux parties de l'équation, on obtient: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
En réécrivant l'égalité résultante, on obtient une formule qui décrit la méthode d'intégration par parties: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Pourquoi est-ce nécessaire ? Le fait est que certains exemples peuvent être simplifiés, conditionnellement parlant, réduire ∫zdx à ∫xdz si ce dernier est proche de la forme tabulaire. De plus, cette formule peut être appliquée plus d'une fois, obtenant des résultats optimaux.
Comment résoudre les intégrales indéfinies de cette façon:
besoin de calculer ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
besoin de calculer ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Remplacement variable
Ce principe de résolution d'intégrales indéfinies n'est pas moins demandé que les deux précédents, bien qu'il soit plus compliqué. La méthode est la suivante: soit V(x) l'intégrale d'une fonction v(x). Dans le cas où l'intégrale elle-même dans l'exemple apparaît comme complexe, il y a une forte probabilité de se confondre et de prendre le mauvais chemin de solution. Pour éviter cela, la transition de la variable x à z est pratiquée, dans laquelle l'expression générale est simplifiée visuellement tout en maintenant la dépendance de z sur x.
Mathématiquement, cela ressemble à ceci: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), où x=y(z) est une substitution. Et, bien sûr, la fonction inverse z=y-1(x) décrit complètement la dépendance et la relation des variables. Remarque importante - la différentielle dx est nécessairement remplacée par une nouvelle différentielle dz, puisque le remplacement d'une variable dans l'intégrale indéfinie implique son remplacement partout, et pas seulement dans l'intégrande.
Exemple:
besoin de trouver ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Appliquer la substitution z=(s+1)/(s2+2s-5). Alors dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. En conséquence, nous obtenons l'expression suivante, qui est très facile à calculer:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
besoin de trouver l'intégrale∫2sesdx
Pour résoudre, on réécrit l'expression sous la forme suivante:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Dénoté par a=2e (cette étape ne remplace pas l'argument, c'est toujours s), nous apportons notre intégrale apparemment complexe à une forme tabulaire élémentaire:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Mettre sous le signe différentiel
Dans l'ensemble, cette méthode d'intégrales indéfinies est un frère jumeau du principe de changement de variable, mais il existe des différences dans le processus de conception. Regardons de plus près.
Si ∫v(x)dx=V(x) + C et y=z(x), alors ∫v(y)dy=V(y) + C.
Dans ce cas, il ne faut pas oublier les transformations intégrales triviales, parmi lesquelles:
- dx=d(x + a), où a est une constante;
- dx=(1 / a)d(ax + b), où a est à nouveau une constante, mais non égale à zéro;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Si nous considérons le cas général lorsque nous calculons l'intégrale indéfinie, les exemples peuvent être résumés sous la formule générale w'(x)dx=dw(x).
Exemples:
besoin de trouver ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Aide en ligne
Dans certains cas, dont la faute peut être soit la paresse soit un besoin urgent, vous pouvez utiliser des astuces en ligne, ou plutôt, utiliser la calculatrice intégrale indéfinie. Malgré toute la complexité apparente et la contestabilité des intégrales, leur solution est soumise à un certain algorithme, qui est basé sur le principe "sinon…, alors…".
Bien sûr, une telle calculatrice ne maîtrisera pas des exemples particulièrement complexes, car il existe des cas dans lesquels la solution doit être trouvée artificiellement, en introduisant "de force" certains éléments dans le processus, car le résultat ne peut pas être obtenu de manière évidente façons. Malgré toute la controverse de cette déclaration, c'est vrai, puisque les mathématiques, en principe, sont une science abstraite, et considèrent la nécessité d'élargir les limites des possibilités comme sa tâche principale. En effet, il est extrêmement difficile de progresser et de se développer selon des théories fluides et rodées, vous ne devez donc pas supposer que les exemples de résolution d'intégrales indéfinies que nous avons donnés sont à la hauteur des possibilités. Mais revenons à l'aspect technique des choses. Au moins pour vérifier les calculs, vous pouvez utiliser les services dans lesquels tout a été écrit avant nous. S'il y a un besoin de calcul automatique d'une expression complexe, alors on ne peut pas s'en passer, vous devrez recourir à un logiciel plus sérieux. Il convient de prêter attention avant tout à l'environnement MatLab.
Demande
La solution des intégrales indéfinies semble à première vue complètement déconnectée de la réalité, car il est difficile de voir les domaines d'application évidents. En effet, ils ne peuvent être utilisés directement nulle part, mais ils sont considérés comme un élément intermédiaire nécessaire dans le processus de dérivation des solutions utilisées dans la pratique. Ainsi, l'intégration est inverse de la différenciation, grâce à laquelle elle participe activement au processus de résolution des équations.
À leur tour, ces équations ont un impact direct sur la résolution des problèmes mécaniques, le calcul des trajectoires et la conductivité thermique - bref, tout ce qui fait le présent et façonne l'avenir. L'intégrale indéfinie, dont nous avons examiné des exemples ci-dessus, n'est triviale qu'à première vue, car elle est la base pour faire de plus en plus de nouvelles découvertes.
