Au mot "infini", chaque personne a ses propres associations. Beaucoup dessinent dans leur imagination la mer qui dépasse l'horizon, tandis que d'autres ont devant les yeux l'image d'un ciel étoilé sans fin. Les mathématiciens, habitués à opérer avec les nombres, imaginent l'infini d'une toute autre manière. Pendant de nombreux siècles, ils ont essayé de trouver la plus grande des grandeurs physiques nécessaires à la mesure. L'un d'eux est le nombre de Graham. Combien de zéros y a-t-il et à quoi il sert, cet article le dira.
Nombre infiniment grand
En mathématiques, c'est le nom d'une telle variable x , si pour tout nombre positif donné M on peut spécifier un entier naturel N tel que pour tout nombre n supérieur à N l'inégalité |x | > M. Cependant, non, par exemple, l'entier Z peut être considéré comme infiniment grand, puisqu'il sera toujours inférieur à (Z + 1).
Quelques mots sur les "géants"
Les plus grands nombres ayant une signification physique sont considérés comme:
- 1080. Ce nombre, communément appelé quinquavigintillion, est utilisé pour désigner le nombre approximatif de quarks et de leptons (les plus petites particules) dans l'Univers.
- 1 Google. Un tel nombre dans le système décimal est écrit comme une unité avec 100 zéros. Selon certains modèles mathématiques, du moment du big bang à l'explosion du trou noir le plus massif, de 1 à 1,5 année googol devrait s'écouler, après quoi notre univers entrera dans la dernière étape de son existence, c'est-à-dire que nous pouvons supposons que ce nombre a une certaine signification physique.
- 8, 5 x 10185. La constante de Planck est 1,616199 x 10-35 m, c'est-à-dire qu'en notation décimale, cela ressemble à 0,0000000000000000000000000000616199 m. Il y a environ 1 longueur de Googol Planck dans un pouce. On estime qu'environ 8,5 x 10185 longueurs de Planck peuvent tenir dans tout notre univers.
- 277 232 917 – 1. C'est le plus grand nombre premier connu. Si sa notation binaire a une forme assez compacte, alors pour la représenter sous forme décimale, il faudra pas moins de 13 millions de caractères. Il a été trouvé en 2017 dans le cadre d'un projet de recherche de numéros de Mersenne. Si les passionnés continuent à travailler dans cette direction, alors au niveau actuel de développement de la technologie informatique, il est peu probable qu'ils puissent trouver dans un proche avenir un nombre de Mersenne d'un ordre de grandeur supérieur à 277 232 917- 1, bien que tell'heureux gagnant recevra 150 000 USD.
- Hugoplex. Ici, nous prenons juste 1 et ajoutons des zéros après pour un montant de 1 googol. Vous pouvez écrire ce nombre sous la forme 10^10^100. Il est impossible de le représenter sous forme décimale, car si tout l'espace de l'Univers est rempli de morceaux de papier, sur chacun desquels 0 serait écrit avec une taille de police "Word" de 10, alors dans ce cas seulement la moitié de tous les 0 après 1 seraient obtenus pour le numéro googolplex.
- 10^10^10^10^10^1.1. Il s'agit d'un nombre indiquant le nombre d'années après lesquelles, selon le théorème de Poincaré, notre Univers, sous l'effet de fluctuations quantiques aléatoires, reviendra à un état proche de celui d'aujourd'hui.
Comment les chiffres de Graham sont apparus
En 1977, le célèbre vulgarisateur scientifique Martin Gardner a publié un article dans Scientific American concernant la preuve de Graham d'un des problèmes de la théorie de Ramse. Dans ce document, il a appelé la limite fixée par le scientifique le plus grand nombre jamais utilisé dans un raisonnement mathématique sérieux.
Qui est Ronald Lewis Graham
Le scientifique, aujourd'hui octogénaire, est né en Californie. En 1962, il a obtenu un doctorat en mathématiques de l'Université de Berkeley. Il a travaillé chez Bell Labs pendant 37 ans et a ensuite rejoint AT&T Labs. Le scientifique a activement collaboré avec l'un des plus grands mathématiciens du XXe siècle, Pal Erdős, et est lauréat de nombreux prix prestigieux. La bibliographie scientifique de Graham contient plus de 320 articles scientifiques.
Au milieu des années 70, le scientifique s'est intéressé au problème lié à la théorieRamsey. Dans sa preuve, la borne supérieure de la solution a été déterminée, qui est un très grand nombre, nommé par la suite d'après Ronald Graham.
Problème Hypercube
Pour comprendre l'essence du nombre de Graham, vous devez d'abord comprendre comment il a été obtenu.
Le scientifique et son collègue Bruce Rothschild résolvaient le problème suivant:
Il existe un hypercube à n dimensions. Toutes les paires de ses sommets sont connectées de telle manière qu'un graphe complet avec 2sommets est obtenu. Chacun de ses bords est coloré en bleu ou en rouge. Il était nécessaire de trouver le nombre minimum de sommets qu'un hypercube devrait avoir pour que chacune de ces colorations contienne un sous-graphe monochromatique complet avec 4 sommets situés dans le même plan.
Décision
Graham et Rothschild ont prouvé que le problème a une solution N' satisfaisant la condition 6 ⩽ N' ⩽N où N est un très grand nombre bien défini.
La borne inférieure de N a ensuite été affinée par d'autres scientifiques, qui ont prouvé que N doit être supérieur ou égal à 13. Ainsi, l'expression du plus petit nombre de sommets d'un hypercube qui satisfait aux conditions présentées ci-dessus est devenue 13 ⩽ N'⩽ N.
Notation fléchée de Knuth
Avant de définir le nombre de Graham, vous devez vous familiariser avec la méthode de sa représentation symbolique, car ni la notation décimale ni la notation binaire ne conviennent absolument à cela.
Actuellement, la notation fléchée de Knuth est utilisée pour représenter cette quantité. D'après elle:
ab=a "flèche vers le haut" b.
Pour l'opération d'exponentiation multiple, l'entrée a été introduite:
a "flèche vers le haut" "flèche vers le haut" b=ab="une tour composée de a en nombre de b pièces."
Et pour la pentation, c'est-à-dire la désignation symbolique de l'exponentiation répétée de l'opérateur précédent, Knuth utilisait déjà 3 flèches.
En utilisant cette notation pour le nombre de Graham, nous avons des séquences de "flèches" imbriquées les unes dans les autres, au nombre de 64 pcs.
Échelle
Leur nombre célèbre, qui excite l'imagination et élargit les limites de la conscience humaine, l'emmenant au-delà des limites de l'Univers, Graham et ses collègues l'ont obtenu comme borne supérieure du nombre N dans la preuve de l'hypercube problème présenté ci-dessus. Il est extrêmement difficile pour une personne ordinaire d'imaginer à quel point son échelle est grande.
La question du nombre de caractères, ou comme on le dit parfois à tort, les zéros dans le nombre de Graham, intéresse presque tous ceux qui entendent parler de cette valeur pour la première fois.
Qu'il suffise de dire que nous avons affaire à une séquence en croissance rapide composée de 64 membres. Même son premier terme est impossible à imaginer, puisqu'il se compose de n "tours", composées de 3 à. Déjà son "étage inférieur" de 3 triples vaut 7 625 597 484 987, c'est-à-dire qu'il dépasse les 7 milliards, c'est-à-dire environ le 64ème étage (pas membre !). Ainsi, il est actuellement impossible de dire exactement quel est le nombre de Graham, puisqu'il ne suffit pas de le calculer.la puissance combinée de tous les ordinateurs qui existent sur Terre aujourd'hui.
Record battu ?
Dans le processus de démonstration du théorème de Kruskal, le nombre de Graham a été "jeté de son piédestal". Le scientifique a proposé le problème suivant:
Il existe une suite infinie d'arbres finis. Kruskal a prouvé qu'il existe toujours une section d'un graphe, qui est à la fois une partie d'un graphe plus grand et sa copie exacte. Cette affirmation ne soulève aucun doute, car il est évident qu'il y aura toujours une combinaison se répétant exactement à l'infini
Plus tard, Harvey Friedman a quelque peu restreint ce problème en ne considérant que des graphes acycliques (arbres) qui, pour un particulier avec un coefficient i, ont au plus (i + k) sommets. Il a décidé de découvrir quel devrait être le nombre de graphes acycliques, de sorte qu'avec cette méthode de leur tâche, il serait toujours possible de trouver un sous-arbre qui serait intégré dans un autre arbre.
À la suite de recherches sur cette question, il a été constaté que N, en fonction de k, croît à une vitesse phénoménale. En particulier, si k=1, alors N=3. Or, à k=2, N atteint déjà 11. Le plus intéressant commence quand k=3. Dans ce cas, N "décolle" rapidement et atteint une valeur qui est plusieurs fois supérieur au nombre de Graham. Pour imaginer sa taille, il suffit d'écrire le nombre calculé par Ronald Graham sous la forme G64 (3). Alors la valeur de Friedman-Kruskal (rev. FinKraskal(3)), sera de l'ordre de G(G(187196)). En d'autres termes, une méga-valeur est obtenue, qui est infiniment plus grandeun nombre de Graham incroyablement grand. En même temps, même il sera inférieur à l'infini par un nombre gigantesque de fois. Il est logique de parler de ce concept plus en détail.
Infinity
Maintenant que nous avons expliqué ce qu'est le nombre de Graham sur les doigts, nous devons comprendre le sens qui a été et est investi dans ce concept philosophique. Après tout, "l'infini" et "un nombre infiniment grand" peuvent être considérés comme identiques dans un certain contexte.
La plus grande contribution à l'étude de cette question a été faite par Aristote. Le grand penseur de l'Antiquité a divisé l'infini en potentiel et en effectif. Par ce dernier, il entendait la réalité de l'existence de choses infinies.
Selon Aristote, les sources d'idées sur ce concept fondamental sont:
- heure;
- séparation des valeurs;
- le concept de frontière et l'existence de quelque chose au-delà;
- l'inépuisabilité de la nature créative;
- penser sans limites.
Dans l'interprétation moderne de l'infini, vous ne pouvez pas spécifier une mesure quantitative, donc la recherche du plus grand nombre peut durer indéfiniment.
Conclusion
La métaphore "Regard vers l'infini" et le nombre de Graham peuvent-ils être considérés comme synonymes ? Plutôt oui et non. Les deux sont impossibles à imaginer, même avec l'imagination la plus forte. Cependant, comme déjà mentionné, il ne peut pas être considéré comme "le plus, le plus". Une autre chose est qu'à l'heure actuelle, les valeurs supérieures au nombre de Graham n'ont pas de valeur établie.sens physique.
De plus, il n'a pas les propriétés d'un nombre infini, comme:
- ∞ + 1=∞;
- il existe un nombre infini de nombres pairs et impairs;
- ∞ - 1=∞;
- le nombre de nombres impairs est exactement la moitié de tous les nombres;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Pour résumer: le nombre de Graham est le plus grand nombre dans la pratique de la preuve mathématique, selon le Livre Guinness des records. Cependant, certains nombres sont plusieurs fois supérieurs à cette valeur.
Très probablement, à l'avenir, il y aura un besoin de "géants" encore plus grands, surtout si une personne va au-delà de notre système solaire ou invente quelque chose d'inimaginable au niveau actuel de notre conscience.
