Tous les corps qui nous entourent sont en mouvement constant. Le mouvement des corps dans l'espace est observé à tous les niveaux d'échelle, en commençant par le mouvement des particules élémentaires dans les atomes de matière et en terminant par le mouvement accéléré des galaxies dans l'Univers. Dans tous les cas, le processus de mouvement se produit avec une accélération. Dans cet article, nous examinerons en détail le concept d'accélération tangentielle et donnerons une formule permettant de la calculer.
Grandeurs cinématiques
Avant de parler d'accélération tangentielle, considérons quelles grandeurs il est d'usage de caractériser le mouvement mécanique arbitraire des corps dans l'espace.
Tout d'abord, c'est le chemin L. Il montre la distance en mètres, centimètres, kilomètres, etc., le corps a parcouru pendant une certaine période de temps.
La deuxième caractéristique importante de la cinématique est la vitesse du corps. Contrairement au chemin, il s'agit d'une grandeur vectorielle et est dirigé le long de la trajectoiremouvements du corps. La vitesse détermine le taux de changement des coordonnées spatiales dans le temps. La formule pour le calculer est:
v¯=dL/dt
La vitesse est la dérivée temporelle du chemin.
Enfin, la troisième caractéristique importante du mouvement des corps est l'accélération. Selon la définition de la physique, l'accélération est une grandeur qui détermine le changement de vitesse avec le temps. La formule peut être écrite comme suit:
a¯=dv¯/dt
L'accélération, comme la vitesse, est aussi une grandeur vectorielle, mais contrairement à elle, elle est dirigée dans le sens du changement de vitesse. La direction de l'accélération coïncide également avec le vecteur de la force résultante agissant sur le corps.
Trajectoire et accélération
De nombreux problèmes de physique sont considérés dans le cadre du mouvement rectiligne. Dans ce cas, en règle générale, ils ne parlent pas de l'accélération tangentielle du point, mais travaillent avec une accélération linéaire. Cependant, si le mouvement du corps n'est pas linéaire, alors son accélération complète peut être décomposée en deux composantes:
- tangente;
- normal.
Dans le cas d'un mouvement linéaire, la composante normale est nulle, nous ne parlons donc pas de l'expansion vectorielle de l'accélération.
Ainsi, la trajectoire du mouvement détermine en grande partie la nature et les composantes de l'accélération complète. La trajectoire du mouvement est comprise comme une ligne imaginaire dans l'espace le long de laquelle le corps se déplace. Quelconqueune trajectoire curviligne conduit à l'apparition des composantes d'accélération non nulles notées ci-dessus.
Détermination de l'accélération tangentielle
Tangentielle ou, comme on l'appelle aussi, l'accélération tangentielle est une composante de l'accélération complète, qui est dirigée tangentiellement à la trajectoire du mouvement. Puisque la vitesse est également dirigée le long de la trajectoire, le vecteur d'accélération tangentielle coïncide avec le vecteur de vitesse.
Le concept d'accélération comme mesure du changement de vitesse a été donné ci-dessus. Comme la vitesse est un vecteur, elle peut être modifiée soit modulo, soit directionnellement. L'accélération tangentielle détermine uniquement la modification du module de vitesse.
Notez que dans le cas d'un mouvement rectiligne, le vecteur vitesse ne change pas de direction, donc, conformément à la définition ci-dessus, l'accélération tangentielle et l'accélération linéaire ont la même valeur.
Obtenir l'équation d'accélération tangentielle
Supposons que le corps se déplace le long d'une trajectoire courbe. Alors sa vitesse v¯ au point choisi peut être représentée comme suit:
v¯=vut¯
Ici v est le module du vecteur v¯, ut¯ est le vecteur vitesse unitaire dirigé tangentiellement à la trajectoire.
En utilisant la définition mathématique de l'accélération, nous obtenons:
a¯=dv¯/dt=d(vut¯)/dt=dv/dtut ¯ + vd(ut¯)/dt
Lors de la recherche de la dérivée, la propriété du produit de deux fonctions a été utilisée ici. On voit que l'accélération totale a¯ au point considéré correspond à la somme de deux termes. Il s'agit respectivement de l'accélération tangente et normale du point.
Disons quelques mots sur l'accélération normale. Il est chargé de changer le vecteur vitesse, c'est-à-dire de changer la direction du mouvement du corps le long de la courbe. Si nous calculons explicitement la valeur du second terme, nous obtenons la formule de l'accélération normale:
a=vd(ut¯)/dt=v2/ r
L'accélération normale est dirigée le long de la normale restaurée au point donné de la courbe. Dans le cas d'un mouvement circulaire, l'accélération normale est centripète.
L'équation d'accélération tangentielle at¯ est:
at¯=dv/dtut¯
Cette expression dit que l'accélération tangentielle ne correspond pas à un changement de direction, mais à un changement du module de vitesse v¯ sur un instant. Comme l'accélération tangentielle est dirigée tangentiellement au point considéré de la trajectoire, elle est toujours perpendiculaire à la composante normale.
Accélération tangentielle et module d'accélération total
Toutes les informations ci-dessus ont été présentées pour vous permettre de calculer l'accélération totale à travers la tangente et la normale. En effet, puisque les deux composantes sont perpendiculaires entre elles, leurs vecteurs forment les branches d'un triangle rectangle,dont l'hypoténuse est le vecteur accélération totale. Ce fait nous permet d'écrire la formule du module d'accélération totale sous la forme suivante:
a=√(a2 + at2)
L'angle θ entre l'accélération maximale et l'accélération tangentielle peut être défini comme suit:
θ=arccos(at/a)
Plus l'accélération tangentielle est grande, plus les directions de l'accélération tangentielle et complète sont proches.
Relation entre l'accélération tangentielle et angulaire
Une trajectoire curviligne typique le long de laquelle les corps se déplacent dans la technologie et la nature est un cercle. En effet, le mouvement des engrenages, pales et planètes autour de leur propre axe ou autour de leurs luminaires s'effectue précisément en cercle. Le mouvement correspondant à cette trajectoire est appelé rotation.
La cinématique de rotation est caractérisée par les mêmes valeurs que la cinématique de mouvement le long d'une ligne droite, cependant, elles ont un caractère angulaire. Ainsi, pour décrire la rotation, l'angle central de rotation θ, la vitesse angulaire ω et l'accélération α sont utilisés. Les formules suivantes sont valables pour ces quantités:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt
Supposons que le corps a fait un tour autour de l'axe de rotation en un temps t, alors pour la vitesse angulaire on peut écrire:
ω=2pi/t
La vitesse linéaire dans ce cas sera égale à:
v=2pir/t
Où r est le rayon de la trajectoire. Les deux dernières expressions permettent d'écrirela formule pour la connexion de deux vitesses:
v=ωr
Maintenant, nous calculons la dérivée temporelle des côtés gauche et droit de l'équation, nous obtenons:
dv/dt=rdω/dt
Le côté droit de l'égalité est le produit de l'accélération angulaire et du rayon du cercle. Le côté gauche de l'équation est la variation du module de vitesse, c'est-à-dire l'accélération tangentielle.
Ainsi, l'accélération tangentielle et une valeur angulaire similaire sont liées par égalité:
at=αr
Si nous supposons que le disque tourne, alors l'accélération tangentielle d'un point à une valeur constante de α augmentera linéairement avec l'augmentation de la distance entre ce point et l'axe de rotation r.
Ensuite, nous allons résoudre deux problèmes en utilisant les formules ci-dessus.
Détermination de l'accélération tangentielle à partir d'une fonction de vitesse connue
On sait que la vitesse d'un corps qui se déplace le long d'une certaine trajectoire courbe est décrite par la fonction suivante du temps:
v=2t2+ 3t + 5
Il faut déterminer la formule de l'accélération tangentielle et trouver sa valeur au temps t=5 secondes.
D'abord, écrivons la formule du module d'accélération tangentielle:
at=dv/dt
C'est-à-dire que pour calculer la fonction at(t), vous devez déterminer la dérivée de la vitesse par rapport au temps. Nous avons:
at=d(2t2+ 3t + 5)/dt=4t + 3
En remplaçant le temps t=5 secondes dans l'expression résultante, nous arrivons à la réponse: at=23 m/s2.
Notez que le graphique de la vitesse en fonction du temps dans ce problème est une parabole, tandis que le graphique de l'accélération tangentielle est une ligne droite.
Tâche d'accélération tangentielle
On sait que le point matériel a commencé une rotation uniformément accélérée à partir de l'instant zéro. 10 secondes après le début de la rotation, son accélération centripète est devenue égale à 20 m/s2. Il est nécessaire de déterminer l'accélération tangentielle d'un point après 10 secondes, si l'on sait que le rayon de rotation est de 1 mètre.
D'abord, notez la formule de l'accélération centripète ou normale ac:
ac=v2/r
En utilisant la formule pour la relation entre la vitesse linéaire et la vitesse angulaire, nous obtenons:
ac=ω2r
Dans un mouvement uniformément accéléré, la vitesse et l'accélération angulaire sont liées par la formule:
ω=αt
En remplaçant ω dans l'équation par ac, on obtient:
ac=α2t2r
L'accélération linéaire par accélération tangentielle s'exprime comme suit:
α=at/r
Remplacer la dernière égalité par l'avant-dernière, on obtient:
ac=at2/r2 t2r=at2/rt2=>
at=√(acr)/t
La dernière formule, prenant en compte les données de l'état du problème, conduit à la réponse: at=0, 447m/s2.
