L'étude des propriétés de l'état global de gaz de la matière est l'un des domaines importants de la physique moderne. En considérant les gaz à l'échelle microscopique, on peut obtenir tous les paramètres macroscopiques du système. Cet article révélera une question importante de la théorie cinétique moléculaire des gaz: quelle est la distribution de Maxwell des molécules en termes de vitesses.
Contexte historique
L'idée du gaz en tant que système de particules microscopiques en mouvement trouve son origine dans la Grèce antique. Il a fallu plus de 1700 ans à la science pour le développer.
Le fondateur de la théorie moderne de la cinétique moléculaire (MKT) du gaz est juste de considérer Daniil Bernoulli. En 1738, il publie un ouvrage intitulé "Hydrodynamique". Dans ce document, Bernoulli a décrit les idées du MKT qui ont été utilisées à ce jour. Ainsi, le scientifique croyait que les gaz sont composés de particules qui se déplacent au hasard dans toutes les directions. De nombreuses collisionsles particules à parois vasculaires sont perçues comme la présence de pression dans les gaz. Les vitesses des particules sont étroitement liées à la température du système. La communauté scientifique n'a pas accepté les idées audacieuses de Bernoulli car la loi de la conservation de l'énergie n'avait pas encore été établie.
Par la suite, de nombreux scientifiques se sont engagés dans la construction d'un modèle cinétique des gaz. Parmi eux, il convient de noter Rudolf Clausius, qui a créé en 1857 un modèle à gaz simple. Dans ce document, le scientifique a accordé une attention particulière à la présence de degrés de liberté de translation, de rotation et de vibration dans les molécules.
En 1859, étudiant les travaux de Clausius, James Maxwell a formulé la soi-disant distribution de Maxwell sur les vitesses moléculaires. En fait, Maxwell a confirmé les idées du MKT, en les étayant d'un appareil mathématique. Par la suite, Ludwig Boltzmann (1871) a généralisé les conclusions de la distribution de Maxwell. Il a postulé une distribution statistique plus générale des molécules sur les vitesses et les énergies. Elle est actuellement connue sous le nom de distribution de Maxwell-Boltzmann.
Gaz idéal. Postulats de base de l'ILC
Pour comprendre ce qu'est la fonction de distribution de Maxwell, vous devez comprendre clairement les systèmes auxquels cette fonction s'applique. On parle d'un gaz parfait. En physique, ce concept est compris comme une substance fluide, qui se compose de particules pratiquement sans dimension qui n'ont pas d'énergie potentielle. Ces particules se déplacent à grande vitesse, leur comportement est donc entièrement déterminé par l'énergie cinétique. De plus, les distances entre les particules sont trop grandes pourpar rapport à leurs tailles, ces dernières sont donc négligées.
Les gaz idéaux sont décrits dans le MKT. Ses principaux postulats sont les suivants:
- les systèmes de gaz sont constitués d'un grand nombre de particules libres;
- les particules se déplacent au hasard à différentes vitesses dans différentes directions le long de trajectoires rectilignes;
- les particules entrent en collision avec les parois des vaisseaux de manière élastique (la probabilité que des particules entrent en collision les unes avec les autres est faible en raison de leur petite taille);
- La température du système est uniquement déterminée par l'énergie cinétique moyenne des particules, qui est conservée dans le temps si l'équilibre thermodynamique est établi dans le système.
Loi de distribution de Maxwell
Si une personne avait un instrument avec lequel il était possible de mesurer la vitesse d'une seule molécule de gaz, alors, après avoir mené une expérience appropriée, elle serait surprise. L'expérience montrerait que chaque molécule de tout système gazeux se déplace à une vitesse complètement arbitraire. Dans ce cas, dans le cadre d'un système en équilibre thermique avec l'environnement, des molécules très lentes et très rapides seraient détectées.
La loi de Maxwell sur la distribution des vitesses des molécules de gaz est un outil qui vous permet de déterminer la probabilité de détecter des particules avec une vitesse donnée v dans le système étudié. La fonction correspondante ressemble à ceci:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
Dans cette expression, m -masse des particules (molécules), k - constante de Boltzmann, T - température absolue. Ainsi, si la nature chimique des particules (la valeur de m) est connue, alors la fonction f(v) est uniquement déterminée par la température absolue. La fonction f(v) est appelée la densité de probabilité. Si nous en prenons l'intégrale pour une limite de vitesse (v; v+dv), alors nous obtenons le nombre de particules Ni, qui ont des vitesses dans l'intervalle spécifié. En conséquence, si nous prenons l'intégrale de la densité de probabilité f(v) pour les limites de vitesse de 0 à ∞, alors nous obtenons le nombre total de molécules N dans le système.
Représentation graphique de la densité de probabilité f(v)
La fonction de densité de probabilité a une forme mathématique quelque peu complexe, il n'est donc pas facile de représenter son comportement à une température donnée. Ce problème peut être résolu si vous le représentez sur un graphique à deux dimensions. Une vue schématique du graphique de distribution de Maxwell est présentée ci-dessous dans la figure.
On voit qu'elle part de zéro, puisque la vitesse v des molécules ne peut pas avoir de valeurs négatives. Le graphique se termine quelque part dans la région des vitesses élevées, tombant doucement à zéro (f(∞)->0). La caractéristique suivante est également frappante: la courbe lisse est asymétrique, elle décroît plus fortement pour les petites vitesses.
Une caractéristique importante du comportement de la fonction de densité de probabilité f(v) est la présence d'un maximum prononcé sur celle-ci. Selon le sens physique de la fonction, ce maximum correspond à la valeur la plus probable des vitesses des molécules dans le gazsystem.
Vitesses importantes pour la fonction f(v)
La fonction de densité de probabilité f(v) et sa représentation graphique nous permettent de définir trois types importants de vitesse.
Le premier type de vitesse qui est évident et qui a été mentionné ci-dessus est la vitesse la plus probable v1. Sur le graphique, sa valeur correspond au maximum de la fonction f(v). C'est cette vitesse et des valeurs proches d'elle qui auront la plupart des particules du système. Il n'est pas difficile de le calculer, pour cela il suffit de prendre la dérivée première par rapport à la vitesse de la fonction f(v) et de l'égaliser à zéro. À la suite de ces opérations mathématiques, nous obtenons le résultat final:
v1=√(2RT/M).
Ici R est la constante universelle des gaz, M est la masse molaire des molécules.
Le deuxième type de vitesse est sa valeur moyenne pour toutes les N particules. Notons-le v2. Elle peut être calculée en intégrant la fonction vf(v) sur toutes les vitesses. Le résultat de l'intégration notée sera la formule suivante:
v2=√(8RT/(piM)).
Parce que le rapport est 8/pi>2, la vitesse moyenne est toujours légèrement supérieure à la plus probable.
Tous ceux qui connaissent un peu la physique comprennent que la vitesse moyenne v2 des molécules doit être d'une grande importance dans un système gazeux. Cependant, il s'agit d'une hypothèse erronée. La vitesse RMS est beaucoup plus importante. Notons-lev3.
Selon la définition, la vitesse quadratique moyenne est la somme des carrés des vitesses individuelles de toutes les particules, divisée par le nombre de ces particules, et prise sous la racine carrée. Elle peut être calculée pour la distribution de Maxwell si nous définissons l'intégrale sur toutes les vitesses de la fonction v2f(v). La formule de la vitesse quadratique moyenne prendra la forme:
v3=√(3RT/M).
L'égalité montre que cette vitesse est supérieure à v2 et v1 pour tout système à gaz.
Ainsi, tous les types de vitesses considérés sur le graphique de distribution de Maxwell se situent soit à l'extrémité, soit à droite de celui-ci.
Importance de la v3
Il a été noté ci-dessus que la vitesse quadratique moyenne est plus importante pour comprendre les processus physiques et les propriétés du système de gaz que la simple vitesse moyenne v2. C'est vrai, puisque l'énergie cinétique d'un gaz parfait dépend précisément de v3, et non de v2.
Si nous considérons un gaz parfait monoatomique, alors l'expression suivante est valide pour celui-ci:
mv32/2=3/2kT.
Ici, chaque partie de l'équation représente l'énergie cinétique d'une particule de masse m. Pourquoi l'expression contient-elle exactement la valeur v3, et non la vitesse moyenne v2 ? Très simple: lors de la détermination de l'énergie cinétique de chaque particule, sa vitesse individuelle v est élevée au carré, puis toutes les vitessessont additionnés et divisés par le nombre de particules N. Autrement dit, la procédure même de détermination de l'énergie cinétique conduit à la valeur de la vitesse quadratique moyenne.
Dépendance de la fonction f(v) sur la température
Nous avons établi plus haut que la densité de probabilité des vitesses moléculaires dépend uniquement de la température. Comment la fonction changera-t-elle si T est augmenté ou diminué ? Le tableau ci-dessous vous aidera à répondre à cette question.
On peut voir que l'échauffement du système fermé entraîne un maculage du pic et son déplacement vers des vitesses plus élevées. Une augmentation de la température entraîne une augmentation de tous les types de vitesses et une diminution de la densité de probabilité de chacune d'elles. La valeur de crête diminue en raison de la conservation du nombre de particules N dans un système fermé.
Ensuite, nous allons résoudre quelques problèmes pour consolider le matériel théorique reçu.
Problème avec les molécules d'azote dans l'air
Il faut calculer les vitesses v1, v2 et v3 pour l'azote de l'air à une température de 300 K (environ 27 oC).
La masse molaire de l'azote N2 est de 28 g/mol. En utilisant les formules ci-dessus, nous obtenons:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Problème de réservoir d'oxygène
L'oxygène dans la bouteille était à une certaine température T1. Ensuite, le ballon a été placé dans une pièce plus froide. Comment le tracé de distribution de vitesse de Maxwell pour les molécules d'oxygène changera-t-il lorsque le système atteindra l'équilibre thermodynamique ?
Se souvenant de la théorie, nous pouvons répondre à la question du problème de cette manière: les valeurs de tous les types de vitesses de molécules vont diminuer, le pic de la fonction f(v) va se déplacer vers la gauche, devenir plus étroit et plus haut.
