Le sujet "progression arithmétique" est étudié dans le cours général d'algèbre dans les écoles de la 9e année. Ce sujet est important pour une étude plus approfondie des mathématiques des séries de nombres. Dans cet article, nous nous familiariserons avec la progression arithmétique, sa différence, ainsi qu'avec les tâches typiques auxquelles les écoliers peuvent être confrontés.
Le concept de progression algébrique
La progression numérique est une séquence de nombres dans laquelle chaque élément suivant peut être obtenu à partir du précédent, si une loi mathématique est appliquée. Il existe deux types simples de progression: géométrique et arithmétique, également appelée algébrique. Arrêtons-nous là-dessus plus en détail.
Imaginons un nombre rationnel, notons-le par le symbole a1, où l'indice indique son nombre ordinal dans la série considérée. Ajoutons un autre nombre à a1 , notons-le d. Puis le deuxièmeun élément d'une série peut être représenté comme suit: a2=a1+d. Ajoutez à nouveau d, nous obtenons: a3=a2+d. En continuant cette opération mathématique, vous pouvez obtenir toute une série de nombres, que l'on appellera une progression arithmétique.
Comme on peut le comprendre d'après ce qui précède, pour trouver le n-ième élément de cette séquence, vous devez utiliser la formule: a =a1+ (n -1)d. En effet, en remplaçant n=1 dans l'expression, on obtient a1=a1, si n=2, alors la formule implique: a2=a1 + 1d, et ainsi de suite.
Par exemple, si la différence d'une progression arithmétique est de 5, et a1=1, cela signifie que la série de nombres du type en question ressemble à: 1, 6, 11, 16, 21, … Comme vous pouvez le voir, chacun de ses termes est plus grand que le précédent de 5.
Formules pour la différence de progression arithmétique
De la définition ci-dessus de la série de nombres considérée, il s'ensuit que pour la déterminer, vous devez connaître deux nombres: a1 et d. Cette dernière est appelée la différence de cette progression. Il détermine de manière unique le comportement de toute la série. En effet, si d est positif, alors la série de nombres augmentera constamment, au contraire, dans le cas de d négatif, les nombres de la série n'augmenteront que modulo, tandis que leur valeur absolue diminuera avec l'augmentation du nombre n.
Quelle est la différence de la progression arithmétique ? Considérez les deux formules principales utilisées pour calculer cette valeur:
- d=an+1-a , cette formule découle directement de la définition de la série de nombres en question.
- d=(-a1+a)/(n-1), cette expression est obtenue en exprimant d à partir de la formule donnée dans le paragraphe précédent de l'article. A noter que cette expression devient indéterminée (0/0) si n=1. Cela est dû au fait qu'il est nécessaire de connaître au moins 2 éléments de la série afin de déterminer sa différence.
Ces deux formules de base sont utilisées pour résoudre tout problème de recherche de la différence de progression. Cependant, il existe une autre formule que vous devez également connaître.
Somme des premiers éléments
La formule qui peut être utilisée pour déterminer la somme de n'importe quel nombre de membres d'une progression algébrique, selon des preuves historiques, a été obtenue pour la première fois par le "prince" des mathématiques du 18ème siècle, Carl Gauss. Un scientifique allemand, alors qu'il était encore un garçon dans les classes élémentaires d'une école de village, a remarqué que pour ajouter des nombres naturels dans la série de 1 à 100, vous devez d'abord additionner le premier élément et le dernier (la valeur résultante sera égale à la somme de l'avant-dernier et du deuxième, de l'avant-dernier et du troisième élément, etc.), puis ce nombre doit être multiplié par le nombre de ces montants, c'est-à-dire par 50.
La formule qui reflète le résultat indiqué sur un exemple particulier peut être généralisée à un cas arbitraire. Il ressemblera à ceci: S =n/2(a +a1). Notez que pour trouver la valeur spécifiée, la connaissance de la différence d n'est pas nécessaire,si deux termes de la progression sont connus (a et a1).
Exemple 1. Déterminez la différence en connaissant les deux termes de la série a1 et an
Montrons comment appliquer les formules mentionnées ci-dessus dans l'article. Donnons un exemple simple: la différence de la progression arithmétique est inconnue, il faut déterminer à quoi elle sera égale si a13=-5, 6 et a1 =-12, 1.
Puisque nous connaissons les valeurs de deux éléments de la séquence numérique et que l'un d'eux est le premier nombre, nous pouvons utiliser la formule n ° 2 pour déterminer la différence d. Nous avons: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Dans l'expression, nous avons utilisé la valeur n=13, puisque le membre avec ce numéro de série est connu.
La différence résultante indique que la progression est croissante, malgré le fait que les éléments donnés dans l'état du problème ont une valeur négative. On peut voir que a13>a1, bien que |a13|<|a 1 |.
Exemple 2. Membres positifs de la progression dans l'exemple 1
Utilisons le résultat obtenu dans l'exemple précédent pour résoudre un nouveau problème. Elle se formule comme suit: à partir de quel numéro d'ordre les éléments de la progression de l'exemple 1 commencent-ils à prendre des valeurs positives ?
Comme indiqué, la progression dans laquelle a1=-12, 1 et d=0. 54167 augmente, donc à partir d'un certain nombre, les nombres commenceront à ne prendre que des valeurs positives valeurs. Pour déterminer ce nombre n, il faut résoudre une inégalité simple, qui estmathématiquement écrit comme suit: a >0 ou, en utilisant la formule appropriée, on réécrit l'inégalité: a1 + (n-1)d>0. Il faut trouver l'inconnue n, exprimons-la: n>-1a1/d + 1. Il reste maintenant à substituer les valeurs connues de la différence et du premier membre de la séquence. On obtient: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 ou n>23, 338. Puisque n ne peut prendre que des valeurs entières, il découle de l'inégalité résultante que tous les membres de la série qui avoir un nombre supérieur à 23 sera positif.
Vérifiez votre réponse en utilisant la formule ci-dessus pour calculer les 23e et 24e éléments de cette progression arithmétique. Nous avons: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (nombre négatif); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (valeur positive). Ainsi, le résultat obtenu est correct: à partir de n=24, tous les membres de la série de nombres seront supérieurs à zéro.
Exemple 3. Combien de bûches conviendront ?
Donnons un problème curieux: lors de l'exploitation forestière, il a été décidé d'empiler les grumes sciées les unes sur les autres, comme indiqué dans la figure ci-dessous. Combien de bûches peuvent être empilées de cette façon, sachant que 10 rangées tiendront au total ?
Dans cette façon d'empiler les journaux, vous pouvez remarquer une chose intéressante: chaque ligne suivante contiendra un journal de moins que la précédente, c'est-à-dire qu'il y a une progression algébrique, dont la différence est d=1. En supposant que le nombre de journaux dans chaque ligne est un membre de cette progression,et aussi étant donné que a1=1 (un seul journal tiendra tout en haut), nous trouvons le nombre a10. Nous avons: a10=1 + 1(10-1)=10. C'est-à-dire que dans la 10e rangée, qui repose sur le sol, il y aura 10 bûches.
Le montant total de cette construction "pyramidale" peut être obtenu en utilisant la formule de Gauss. On obtient: S10=10/2(10+1)=55 logs.
