Nombres complexes : définition et concepts de base

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-17 05:26

Lors de l'étude des propriétés d'une équation quadratique, une restriction a été définie - pour un discriminant inférieur à zéro, il n'y a pas de solution. Il a été immédiatement stipulé qu'il s'agissait d'un ensemble de nombres réels. L'esprit curieux d'un mathématicien sera intéressé - quel est le secret contenu dans la clause sur les valeurs réelles ?

Au fil du temps, les mathématiciens ont introduit le concept de nombres complexes, où la valeur conditionnelle de la deuxième racine de moins un est prise comme unité.

Contexte historique

La théorie mathématique se développe de manière séquentielle, du simple au complexe. Voyons comment le concept appelé "nombre complexe" est né et pourquoi il est nécessaire.

Depuis des temps immémoriaux, la base des mathématiques était le récit habituel. Les chercheurs ne connaissaient que l'ensemble naturel de valeurs. L'addition et la soustraction étaient simples. Au fur et à mesure que les relations économiques sont devenues plus complexes, la multiplication a commencé à être utilisée au lieu d'ajouter les mêmes valeurs. Il y a une opération inverse pourmultiplication - division.

Le concept de nombre naturel a limité l'utilisation des opérations arithmétiques. Il est impossible de résoudre tous les problèmes de division sur l'ensemble des valeurs entières. Travailler avec des fractions a d'abord conduit au concept de valeurs rationnelles, puis à des valeurs irrationnelles. Si pour le rationnel, il est possible d'indiquer l'emplacement exact du point sur la ligne, alors pour l'irrationnel, il est impossible d'indiquer un tel point. Vous ne pouvez qu'approximer l'intervalle. L'union des nombres rationnels et irrationnels formait un ensemble réel, qui peut être représenté comme une certaine ligne avec une échelle donnée. Chaque pas le long de la ligne est un nombre naturel, et entre eux se trouvent des valeurs rationnelles et irrationnelles.

L'ère des mathématiques théoriques a commencé. Le développement de l'astronomie, de la mécanique, de la physique a nécessité la résolution d'équations de plus en plus complexes. En général, les racines de l'équation quadratique ont été trouvées. Lors de la résolution d'un polynôme cubique plus complexe, les scientifiques se sont heurtés à une contradiction. Le concept d'une racine cubique à partir d'un négatif a du sens, mais pour une racine carrée, une incertitude est obtenue. De plus, l'équation quadratique n'est qu'un cas particulier de l'équation cubique.

En 1545, l'Italien J. Cardano proposa d'introduire le concept de nombre imaginaire.

Ce nombre est la deuxième racine de moins un. Le terme nombre complexe n'a finalement été formé que trois cents ans plus tard, dans les travaux du célèbre mathématicien Gauss. Il proposa d'étendre formellement toutes les lois de l'algèbre au nombre imaginaire. La ligne réelle a été étendue àAvions. Le monde est plus grand.

Concepts de base

Rappeler un certain nombre de fonctions qui ont des restrictions sur l'ensemble réel:

y=arcsin(x), défini entre négatif et positif 1.
y=ln(x), le logarithme décimal a du sens avec des arguments positifs.
racine carrée y=√x, calculée uniquement pour x ≧ 0.

En notant i=√(-1), nous introduisons un tel concept comme un nombre imaginaire, cela supprimera toutes les restrictions du domaine de définition des fonctions ci-dessus. Des expressions comme y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) ont un sens dans un certain espace de nombres complexes.

La forme algébrique peut être écrite comme une expression z=x + i×y sur l'ensemble des valeurs réelles de x et y, et i² =-1.

Le nouveau concept supprime toutes les restrictions sur l'utilisation de toute fonction algébrique et ressemble à un graphique d'une ligne droite en coordonnées de valeurs réelles et imaginaires.

Avion complexe

La forme géométrique des nombres complexes nous permet de représenter visuellement nombre de leurs propriétés. Sur l'axe Re(z) nous marquons les valeurs x réelles, sur Im(z) - les valeurs imaginaires de y, puis le point z sur le plan affichera la valeur complexe requise.

représentation géométrique d'un nombre complexe

Définitions:

Re(z) - axe réel.
Im(z) - désigne l'axe imaginaire.
z - point conditionnel d'un nombre complexe.
La valeur numérique de la longueur du vecteur de zéro à z est appeléemodule.
Les axes réels et imaginaires divisent le plan en quartiers. Avec une valeur positive des coordonnées - I quart. Lorsque l'argument de l'axe réel est inférieur à 0 et que l'axe imaginaire est supérieur à 0 - II quart. Lorsque les coordonnées sont négatives - III quart. Le dernier, quatrième quart contient de nombreuses valeurs réelles positives et des valeurs imaginaires négatives.

Ainsi, sur un plan avec des valeurs de coordonnées x et y, on peut toujours visualiser un point d'un nombre complexe. Le caractère i est introduit pour séparer la partie réelle de la partie imaginaire.

Propriétés

Lorsque la valeur de l'argument imaginaire est zéro, nous obtenons juste un nombre (z=x), qui est situé sur l'axe réel et appartient à l'ensemble réel.
Cas particulier lorsque la valeur de l'argument réel devient nulle, l'expression z=i×y correspond à la position du point sur l'axe imaginaire.
La forme générale de z=x + i×y sera pour les valeurs non nulles des arguments. Indique l'emplacement du point caractérisant le nombre complexe dans l'un des quarts.

Notation trigonométrique

Rappelez le système de coordonnées polaires et la définition des fonctions trigonométriques sin et cos. Il est évident qu'à l'aide de ces fonctions, il est possible de décrire l'emplacement de n'importe quel point sur le plan. Pour ce faire, il suffit de connaître la longueur du faisceau polaire et l'angle d'inclinaison par rapport à l'axe réel.

Définition. Une entrée de la forme ∣z ∣ multipliée par la somme des fonctions trigonométriques cos(ϴ) et la partie imaginaire i ×sin(ϴ) est appelée un nombre complexe trigonométrique. Ici, la désignation est l'angle d'inclinaison par rapport à l'axe réel

ϴ=arg(z) et r=∣z∣, longueur du faisceau.

D'après la définition et les propriétés des fonctions trigonométriques, une formule de Moivre très importante suit:

zⁿ =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

En utilisant cette formule, il est pratique de résoudre de nombreux systèmes d'équations contenant des fonctions trigonométriques. Surtout quand se pose le problème de l'élévation à une puissance.

Module et phase

Pour compléter la description d'un ensemble complexe, nous proposons deux définitions importantes.

Connaissant le théorème de Pythagore, il est facile de calculer la longueur du faisceau dans le système de coordonnées polaires.

r=∣z∣=√(x² + y²), une telle notation sur un espace complexe est appelée un " module" et caractérise la distance de 0 à un point du plan.

L'angle d'inclinaison du faisceau complexe par rapport à la ligne réelle ϴ est communément appelé la phase.

La définition montre que les parties réelles et imaginaires sont décrites à l'aide de fonctions cycliques. A savoir:

x=r × cos(ϴ);
y=r × sin(ϴ);

Inversement, la phase est liée aux valeurs algébriques par la formule:

ϴ=arctan(x / y) + µ, une correction µ est introduite pour tenir compte de la périodicité des fonctions géométriques.

Formule d'Euler

Les mathématiciens utilisent souvent la forme exponentielle. Les numéros de plans complexes sont écrits sous forme d'expressions

z=r × eⁱ^×^ϴ , qui découle de la formule d'Euler.

Cet enregistrement est largement utilisé pour le calcul pratique des grandeurs physiques. Forme de présentation dans le formulaireles nombres complexes exponentiels sont particulièrement pratiques pour les calculs d'ingénierie, où il devient nécessaire de calculer des circuits avec des courants sinusoïdaux et il est nécessaire de connaître la valeur des intégrales de fonctions avec une période donnée. Les calculs eux-mêmes servent d'outil dans la conception de diverses machines et mécanismes.

Définir les opérations

Comme déjà noté, toutes les lois algébriques du travail avec les fonctions mathématiques de base s'appliquent aux nombres complexes.

Opération de somme

Lors de l'ajout de valeurs complexes, leurs parties réelles et imaginaires sont également ajoutées.

z=z₁ + z₂ où z₁ et z2 _{- nombres complexes généraux. En transformant l'expression, après avoir ouvert les crochets et simplifié la notation, nous obtenons l'argument réel x=(x}1 _{+ x}2_{), l'argument imaginaire y=(y 1} + y₂).

Sur le graphique, cela ressemble à l'addition de deux vecteurs, selon la règle bien connue du parallélogramme.

Opération de soustraction

Considéré comme un cas particulier d'addition, lorsqu'un nombre est positif, l'autre est négatif, c'est-à-dire situé dans le quart miroir. La notation algébrique ressemble à la différence entre les parties réelles et imaginaires.

z=z₁ - z₂, ou, en tenant compte des valeurs des arguments, de manière similaire à l'addition opération, on obtient pour les valeurs réelles x=(x₁ - x₂) et imaginaire y=(y₁- y₂).

Multiplication sur le plan complexe

En utilisant les règles de travail avec les polynômes, nous dérivons la formulepour résoudre des nombres complexes.

Suivant les règles algébriques générales z=z₁×z₂, décrivez chaque argument et listez ceux qui sont similaires. Les parties réelles et imaginaires peuvent être écrites comme suit:

x=x₁ × x₂ - y₁ × y₂,
y=x₁ × y₂ + x₂ × y _1.

C'est plus beau si nous utilisons des nombres complexes exponentiels.

L'expression ressemble à ceci: z=z₁ × z₂ =r₁ × eⁱ^ϴ¹ × r₂ × eiϴ2^=r1 _{× r2} × e_i(^ϴ¹⁺^ϴ2).

Plus simplement, les modules se multiplient et les phases s'additionnent.

Division

En considérant l'opération de division comme l'inverse de la multiplication, on obtient une expression simple en notation exponentielle. La division de la valeur z₁ par z₂ est le résultat de la division de leurs modules et de leur différence de phase. Formellement, lors de l'utilisation de la forme exponentielle des nombres complexes, cela ressemble à ceci:

z=z₁ / z₂ =r₁ × e ⁱ^ϴ¹ / r₂ × eⁱ ^ϴ²=r₁ / r_{2× e}i(ϴ1-ϴ 2).

Sous forme de notation algébrique, l'opération de division des nombres du plan complexe s'écrit un peu plus compliquée:

z=z₁ / z_2.

Décrivant les arguments et effectuant des transformations polynomiales, il est facile d'obtenir des valeursx=x₁ × x₂ + y₁ × y₂, respectivement y=x₂ × y₁ - x₁ × y₂ , cependant, dans l'espace décrit, cette expression a un sens si z₂ ≠ 0.

Extraire la racine

Tout ce qui précède peut être appliqué lors de la définition de fonctions algébriques plus complexes - élévation à n'importe quelle puissance et inverse - extraction de la racine.

En utilisant le concept général d'élévation à la puissance n, on obtient la définition:

zⁿ =(r × eⁱ^ϴ).

En utilisant les propriétés communes, réécrivez comme:

zⁿ =rⁿ × eⁱ^ϴ.

Nous avons une formule simple pour élever un nombre complexe à une puissance.

De la définition du degré nous obtenons une conséquence très importante. Une puissance paire de l'unité imaginaire est toujours 1. Toute puissance impaire de l'unité imaginaire est toujours -1.

Maintenant, étudions la fonction inverse - extraction de la racine.

Pour faciliter la notation, prenons n=2. La racine carrée w de la valeur complexe z sur le plan complexe C est considérée comme l'expression z=±, valable pour tout argument réel supérieur ou égal à zéro. Pour w ≦ 0, il n'y a pas de solution.

Regardons l'équation quadratique la plus simple z² =1. En utilisant des formules de nombres complexes, réécrivez r² × eⁱ^2ϴ =r² × eⁱ^2ϴ=ei0^{. On peut voir à partir du dossier que r}2 ^{=1 et ϴ=0, donc, nous avons une solution unique égale à 1. Mais cela contredit la notion selon laquelle z=-1 correspond également à la définition d'une racine carrée.}

Déterminons ce que nous ne prenons pas en compte. Si nous rappelons la notation trigonométrique, nous rétablissons l'énoncé - avec un changement périodique de la phase ϴ, le nombre complexe ne change pas. Soit p la valeur de la période, alors on a r² × eⁱ^2ϴ =ei(0+p)^{, d'où 2ϴ=0 + p, ou ϴ=p / 2. Par conséquent, e}i0 ^{=1 et e}i^p^/2 =-1. Nous avons obtenu la deuxième solution, qui correspond à la compréhension générale de la racine carrée.

Donc, pour trouver une racine arbitraire d'un nombre complexe, nous suivrons la procédure.

Écrire la forme exponentielle w=∣w∣ × eⁱ⁽^arg (w) + pk), k est un entier arbitraire.
Le nombre désiré est également représenté sous la forme d'Euler z=r × eⁱ^ϴ.
Utiliser la définition générale de la fonction d'extraction de racine r eⁱ ϴ ^{=∣w∣ × e}i(arg(w) + pk).
D'après les propriétés générales de l'égalité des modules et des arguments, on note rⁿ =∣w∣ et nϴ=arg (w) + p×k.
L'enregistrement final de la racine d'un nombre complexe est décrit par la formule z=√∣w∣ × eⁱ ⁽ ^arg (w) + pk ^{) /} .
Remarque. La valeur de ∣w∣, par définition,est un nombre réel positif, donc la racine de n'importe quel degré a un sens.

Champ et conjugaison

En conclusion, nous donnons deux définitions importantes qui sont de peu d'importance pour résoudre des problèmes appliqués avec des nombres complexes, mais qui sont essentielles pour le développement ultérieur de la théorie mathématique.

Les expressions d'addition et de multiplication forment un corps si elles satisfont les axiomes pour tous les éléments du plan complexe z:

La somme complexe ne change pas lorsque les termes complexes changent de place.
L'énoncé est vrai - dans une expression complexe, toute somme de deux nombres peut être remplacée par leur valeur.
Il existe une valeur neutre 0 pour laquelle z + 0=0 + z=z est vrai.
Pour tout z il y a un opposé - z, dont l'addition donne zéro.
Lors du changement de place de facteurs complexes, le produit complexe ne change pas.
La multiplication de deux nombres quelconques peut être remplacée par leur valeur.
Il y a une valeur neutre 1, la multiplication par laquelle ne change pas le nombre complexe.
Pour tout z ≠ 0, il existe un inverse de z^-1, qui se multiplie par 1.
Multiplier la somme de deux nombres par un tiers équivaut à multiplier chacun d'eux par ce nombre et à additionner les résultats.
0 ≠ 1.

Les nombres z₁ =x + i×y et z₂ =x - i×y sont appelés conjugués.

Théorème. Pour la conjugaison, l'énoncé est vrai:

La conjugaison de la somme est égale à la somme des éléments conjugués.
Le conjugué du produit estproduit de conjugaisons.
La conjugaison de la conjugaison est égale au nombre lui-même.

En algèbre générale, de telles propriétés sont appelées automorphismes de corps.

Exemples

Suivant les règles et les formules données des nombres complexes, vous pouvez facilement opérer avec eux.

Prenons les exemples les plus simples.

Problème 1. En utilisant l'équation 3y +5 x i=15 - 7i, déterminer x et y.

Décision. Rappelons la définition des égalités complexes, alors 3y=15, 5x=-7. Donc, x=-7 / 5, y=5.

Tâche 2. Calculer les valeurs 2 + i²⁸ et 1 + i¹³⁵.

Décision. Évidemment, 28 est un nombre pair, d'après la conséquence de la définition d'un nombre complexe à la puissance on a i²⁸ =1, ce qui signifie que l'expression 2 + i ²⁸ =3. La deuxième valeur, i¹³⁵ =-1, puis 1 + i¹³⁵ =0.

Tâche 3. Calculer le produit des valeurs 2 + 5i et 4 + 3i.

Décision. A partir des propriétés générales de la multiplication des nombres complexes, on obtient (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). La nouvelle valeur sera -7 + 26i.

Tâche 4. Calculer les racines de l'équation z³ =-i.

Décision. Il existe plusieurs façons de trouver un nombre complexe. Considérons l'un des possibles. Par définition, ∣ - i∣=1, la phase pour -i est -p / 4. L'équation originale peut être réécrite comme r³eⁱ3ϴ ^=e-p/4+pk^{, d'où z=e}-p / 12 + pk/3^{, pour tout entier k.}

L'ensemble de solutions a la forme (e^-^ip/12,e^ip^/4, eⁱ² ^p/3).

Pourquoi avons-nous besoin de nombres complexes

L'histoire connaît de nombreux exemples où des scientifiques, travaillant sur une théorie, ne pensent même pas à l'application pratique de leurs résultats. Les mathématiques sont avant tout un jeu de l'esprit, un strict respect des relations de cause à effet. Presque toutes les constructions mathématiques sont réduites à résoudre des équations intégrales et différentielles, et celles-ci, à leur tour, avec une certaine approximation, sont résolues en trouvant les racines de polynômes. Ici, nous rencontrons pour la première fois le paradoxe des nombres imaginaires.

Les scientifiques naturalistes, résolvant des problèmes tout à fait pratiques, recourant à des solutions d'équations diverses, découvrent des paradoxes mathématiques. L'interprétation de ces paradoxes conduit à des découvertes absolument étonnantes. La double nature des ondes électromagnétiques en est un exemple. Les nombres complexes jouent un rôle crucial dans la compréhension de leurs propriétés.

Ceci, à son tour, a trouvé une application pratique dans l'optique, l'électronique radio, l'énergie et de nombreux autres domaines technologiques. Autre exemple, bien plus difficile à appréhender les phénomènes physiques. L'antimatière a été prédite à la pointe d'un stylo. Et ce n'est que plusieurs années plus tard que les tentatives de synthèse physique commencent.

Ne pensez pas qu'il n'y a qu'en physique qu'il existe de telles situations. Des découvertes non moins intéressantes sont faites dans la faune, dans la synthèse de macromolécules, lors de l'étude de l'intelligence artificielle. Et tout cela grâce àexpansion de notre conscience, s'éloignant de la simple addition et soustraction de valeurs naturelles.