Fonctions de calcul différentiel à une et plusieurs variables

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-02 17:46

Le calcul est une branche du calcul qui étudie les dérivées, les différentielles et leur utilisation dans l'étude d'une fonction.

Histoire d'apparition

Le calcul différentiel est devenu une discipline indépendante dans la seconde moitié du XVIIe siècle, grâce aux travaux de Newton et de Leibniz, qui ont formulé les dispositions de base du calcul des différentielles et ont remarqué le lien entre intégration et différenciation. Depuis ce moment, la discipline s'est développée parallèlement au calcul des intégrales, formant ainsi la base de l'analyse mathématique. L'apparition de ces calculs a ouvert une nouvelle période moderne dans le monde mathématique et a provoqué l'émergence de nouvelles disciplines scientifiques. Il a également élargi la possibilité d'appliquer les sciences mathématiques aux sciences naturelles et à la technologie.

Concepts de base

Le calcul différentiel est basé sur les concepts fondamentaux des mathématiques. Ce sont: le nombre réel, la continuité, la fonction et la limite. Au fil du temps, ils ont pris une allure moderne, grâce au calcul intégral et différentiel.

Processus de création

La formation du calcul différentiel sous la forme d'une méthode appliquée, puis d'une méthode scientifique s'est produite avant l'émergence d'une théorie philosophique, créée par Nicolas de Cues. Ses travaux sont considérés comme un développement évolutif des jugements de la science ancienne. Malgré le fait que le philosophe lui-même n'était pas mathématicien, sa contribution au développement de la science mathématique est indéniable. Kuzansky a été l'un des premiers à ne plus considérer l'arithmétique comme le domaine scientifique le plus précis, mettant en doute les mathématiques de l'époque.

Les anciens mathématiciens utilisaient l'unité comme critère universel, tandis que le philosophe proposait l'infini comme nouvelle mesure au lieu du nombre exact. À cet égard, la représentation de la précision en science mathématique est inversée. La connaissance scientifique, selon lui, est divisée en rationnelle et intellectuelle. La seconde est plus précise, selon le scientifique, puisque la première ne donne qu'un résultat approximatif.

Idée

L'idée principale et le concept du calcul différentiel sont liés à une fonction dans de petits voisinages de certains points. Pour cela, il est nécessaire de créer un appareil mathématique permettant d'étudier une fonction dont le comportement dans un petit voisinage des points établis est proche du comportement d'un polynôme ou d'une fonction linéaire. Ceci est basé sur la définition d'une dérivée et d'une différentielle.

L'apparition du concept de dérivé a été causée par un grand nombre de problèmes issus des sciences naturelles et des mathématiques,ce qui a conduit à trouver les valeurs des bornes du même type.

L'un des principaux problèmes qui sont donnés en exemple dès le lycée est de déterminer la vitesse d'un point se déplaçant le long d'une droite et de construire une tangente à cette courbe. La différentielle est liée à cela, puisqu'il est possible d'approximer la fonction dans un petit voisinage du point considéré de la fonction linéaire.

Par rapport au concept de dérivée d'une fonction d'une variable réelle, la définition des différentielles passe simplement à une fonction d'ordre général, en particulier à l'image d'un espace euclidien sur un autre.

Dérivée

Laissons le point se déplacer dans la direction de l'axe Oy, pendant le temps que l'on prend x, qui se compte à partir d'un certain début de moment. Un tel mouvement peut être décrit par la fonction y=f(x), qui est affectée à chaque instant x de la coordonnée du point déplacé. En mécanique, cette fonction s'appelle la loi du mouvement. La caractéristique principale du mouvement, surtout irrégulier, est la vitesse instantanée. Lorsqu'un point se déplace le long de l'axe Oy selon la loi de la mécanique, puis à un instant x aléatoire, il acquiert la coordonnée f (x). A l'instant x + Δx, où Δx désigne l'incrément de temps, sa coordonnée sera f(x + Δx). C'est ainsi que se forme la formule Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), appelée incrément de la fonction. Il représente le chemin parcouru par le point dans le temps de x à x + Δx.

En raison de l'émergence de cevitesse au temps, la dérivée est introduite. Dans une fonction arbitraire, la dérivée en un point fixe est appelée la limite (en supposant qu'elle existe). Il peut être désigné par certains symboles:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Le processus de calcul de la dérivée est appelé différenciation.

Calcul différentiel d'une fonction de plusieurs variables

Cette méthode de calcul est utilisée lors de l'examen d'une fonction à plusieurs variables. En présence de deux variables x et y, la dérivée partielle par rapport à x au point A est appelée la dérivée de cette fonction par rapport à x à y fixé.

Peut être représenté par les caractères suivants:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x ou ∂f(x, y)’/∂x.

Compétences requises

Des compétences en intégration et en différenciation sont nécessaires pour étudier avec succès et être capable de résoudre les diffus. Pour faciliter la compréhension des équations différentielles, vous devez avoir une bonne compréhension du sujet de la dérivée et de l'intégrale indéfinie. Cela ne fait pas de mal non plus d'apprendre à trouver la dérivée d'une fonction implicitement donnée. Cela est dû au fait que dans le processus d'étude des intégrales et de la différenciation, il faudra souvent utiliser.

Types d'équations différentielles

Dans presque tous les tests liés aux équations différentielles du premier ordre, il existe 3 types d'équations: homogènes, à variables séparables, linéaires inhomogènes.

Il existe aussi des variétés d'équations plus rares: à différentielles totales, équations de Bernoulli et autres.

Bases de la décision

Premièrement, vous devez vous souvenir des équations algébriques du cours scolaire. Ils contiennent des variables et des nombres. Pour résoudre une équation ordinaire, vous devez trouver un ensemble de nombres qui satisfont à une condition donnée. En règle générale, de telles équations avaient une racine, et pour vérifier l'exactitude, il suffisait de substituer cette valeur à l'inconnue.

L'équation différentielle est similaire à celle-ci. En général, une telle équation du premier ordre comprend:

• Variable indépendante.
• La dérivée de la première fonction.
• Une fonction ou une variable dépendante.

Dans certains cas, l'une des inconnues, x ou y, peut être manquante, mais ce n'est pas si important, car la présence de la dérivée première, sans dérivées d'ordre supérieur, est nécessaire pour la solution et la différentielle le calcul doit être correct.

Résoudre une équation différentielle signifie trouver l'ensemble de toutes les fonctions correspondant à l'expression donnée. Un tel ensemble de fonctions est souvent appelé la solution générale de DE.

Calcul intégral

Le calcul intégral est l'une des sections de l'analyse mathématique qui étudie le concept d'intégrale, les propriétés et les méthodes de son calcul.

Souvent, le calcul de l'intégrale se produit lors du calcul de l'aire d'une figure curviligne. Cette aire signifie la limite à laquelle l'aire d'un polygone inscrit dans une figure donnée tend avec une augmentation progressive de son côté, alors que ces côtés peuvent être rendus inférieurs à tout arbitraire précédemment spécifiépetite valeur.

L'idée principale dans le calcul de l'aire d'une figure géométrique arbitraire est de calculer l'aire d'un rectangle, c'est-à-dire de prouver que son aire est égale au produit de la longueur et de la largeur. En matière de géométrie, toutes les constructions sont réalisées à l'aide d'une règle et d'un compas, puis le rapport longueur/largeur est une valeur rationnelle. Lors du calcul de l'aire d'un triangle rectangle, vous pouvez déterminer que si vous placez le même triangle à côté, un rectangle se forme. Dans un parallélogramme, la surface est calculée par une méthode similaire, mais légèrement plus compliquée, à travers un rectangle et un triangle. Dans les polygones, la surface est calculée à travers les triangles qu'elle contient.

Lors de la détermination de l'épargne d'une courbe arbitraire, cette méthode ne fonctionnera pas. Si vous le divisez en carrés simples, il y aura des places non remplies. Dans ce cas, on essaie d'utiliser deux couvertures, avec des rectangles en haut et en bas, du coup, celles-ci incluent le graphe de la fonction et non. La méthode de partitionnement en ces rectangles reste ici importante. De plus, si nous prenons des partitions de plus en plus petites, alors la zone au-dessus et en dessous devrait converger vers une certaine valeur.

Il faudrait revenir à la méthode de division en rectangles. Il existe deux méthodes populaires.

Riemann a formalisé la définition de l'intégrale créée par Leibniz et Newton comme l'aire d'un sous-graphe. Dans ce cas, on a considéré des figures constituées d'un certain nombre de rectangles verticaux et obtenues en divisantsegment. Lorsque, à mesure que la partition diminue, il existe une limite à laquelle se réduit l'aire d'une figure similaire, cette limite s'appelle l'intégrale de Riemann d'une fonction sur un intervalle donné.

La deuxième méthode est la construction de l'intégrale de Lebesgue, qui consiste dans le fait que pour le lieu de diviser la zone définie en parties de l'intégrande, puis de compiler la somme intégrale à partir des valeurs obtenues dans ces parties, sa plage de valeurs est divisée en intervalles, puis résumée avec les mesures correspondantes des préimages de ces intégrales.

Avantages modernes

L'un des principaux manuels pour l'étude du calcul différentiel et intégral a été écrit par Fikhtengolts - "Cours de calcul différentiel et intégral". Son manuel est un guide fondamental pour l'étude de l'analyse mathématique, qui a connu de nombreuses éditions et traductions dans d'autres langues. Créé pour les étudiants universitaires et utilisé depuis longtemps dans de nombreux établissements d'enseignement comme l'une des principales aides à l'étude. Donne des données théoriques et des compétences pratiques. Publié pour la première fois en 1948.

Algorithme de recherche de fonction

Pour étudier une fonction en utilisant les méthodes du calcul différentiel, vous devez suivre l'algorithme déjà donné:

1. Trouver la portée d'une fonction.
2. Trouver les racines de l'équation donnée.
3. Calculer les extrêmes. Pour ce faire, calculez la dérivée et les points où elle est égale à zéro.
4. Remplacer la valeur résultante dans l'équation.

Variétés d'équations différentielles

contrôle de premier ordre (sinon, différentielcalcul à une seule variable) et leurs types:

• Équation séparable: f(y)dy=g(x)dx.
• Les équations les plus simples, ou le calcul différentiel d'une fonction d'une variable, ayant la formule: y'=f(x).
• ED de premier ordre inhomogène linéaire: y'+P(x)y=Q(x).
• Équation différentielle de Bernoulli: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Équation avec différentiels totaux: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Équations différentielles du second ordre et leurs types:

• Équation différentielle linéaire homogène du second ordre à valeurs de coefficient constantes: y +py'+qy=0 p, q appartient à R.
• Équation différentielle linéaire inhomogène du second ordre à coefficients constants: y +py'+qy=f(x).
• Équation différentielle homogène linéaire: y +p(x)y'+q(x)y=0, et équation du second ordre inhomogène: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Équations différentielles d'ordre supérieur et leurs types:

• Équation différentielle qui peut être réduite dans l'ordre: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Équation linéaire homogène d'ordre supérieur: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, et non homogène: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Étapes pour résoudre un problème avec une équation différentielle

Avec l'aide de la télécommande, non seulement les questions mathématiques ou physiques sont résolues, mais aussi divers problèmes debiologie, économie, sociologie, etc. Malgré la grande variété de sujets, il faut adhérer à une seule séquence logique lors de la résolution de tels problèmes:

1. Compilation de télécommande. L'une des étapes les plus difficiles qui nécessite une précision maximale, car toute erreur entraînera des résultats complètement erronés. Tous les facteurs influençant le processus doivent être pris en compte et les conditions initiales doivent être déterminées. Il doit également être basé sur des faits et des conclusions logiques.
2. Solution de l'équation formulée. Ce processus est plus simple que la première étape, car il ne nécessite que des calculs mathématiques stricts.
3. Analyse et évaluation des résultats. La solution dérivée doit être évaluée pour établir la valeur pratique et théorique du résultat.

Un exemple d'utilisation des équations différentielles en médecine

L'utilisation de la télécommande dans le domaine de la médecine intervient lors de la construction d'un modèle mathématique épidémiologique. En même temps, il ne faut pas oublier que ces équations se retrouvent aussi en biologie et en chimie, qui sont proches de la médecine, car l'étude de diverses populations biologiques et de processus chimiques dans le corps humain y joue un rôle important.

Dans l'exemple ci-dessus d'une épidémie, nous pouvons considérer la propagation de l'infection dans une société isolée. Les habitants sont divisés en trois types:

• Infecté, nombre x(t), composé d'individus, porteurs de l'infection, dont chacun est contagieux (la période d'incubation est courte).
• Le deuxième type comprendindividus susceptibles y(t) susceptibles d'être infectés par contact avec des individus infectés.
• La troisième espèce comprend les individus immunisés z(t) qui sont immunisés ou qui sont morts à cause d'une maladie.

Le nombre d'individus est constant, la prise en compte des naissances, des décès naturels et de la migration n'est pas prise en compte. Il y aura deux hypothèses au cœur.

Le pourcentage d'incidence à un certain moment est x(t)y(t) (basé sur la théorie selon laquelle le nombre de cas est proportionnel au nombre d'intersections entre les représentants malades et sensibles, ce qui dans le premier l'approximation sera proportionnelle à x(t)y(t)), en relation avec cela, le nombre de cas augmente et le nombre de susceptibles diminue à un taux calculé par la formule ax(t)y(t) (un > 0).

Le nombre de personnes immunisées devenues immunisées ou décédées augmente à un rythme proportionnel au nombre de cas, bx(t) (b > 0).

En conséquence, vous pouvez créer un système d'équations prenant en compte les trois indicateurs et en tirer des conclusions.

Exemple d'économie

Le calcul différentiel est souvent utilisé dans l'analyse économique. La tâche principale de l'analyse économique est l'étude des quantités de l'économie, qui sont écrites sous la forme d'une fonction. Ceci est utilisé pour résoudre des problèmes tels que les changements de revenus immédiatement après une augmentation des impôts, l'introduction de droits, les changements de revenus de l'entreprise lorsque le coût de production change, dans quelle proportion les travailleurs retraités peuvent-ils être remplacés par de nouveaux équipements. Pour résoudre de tels problèmes, il fautconstruire une fonction de connexion à partir des variables d'entrée, qui sont ensuite étudiées à l'aide du calcul différentiel.

Dans la sphère économique, il faut souvent trouver les indicateurs les plus optimaux: productivité maximale du travail, revenus les plus élevés, coûts les plus bas, etc. Chacun de ces indicateurs est une fonction d'un ou plusieurs arguments. Par exemple, la production peut être considérée comme une fonction des intrants travail et capital. À cet égard, trouver une valeur appropriée peut être réduit à trouver le maximum ou le minimum d'une fonction à partir d'une ou plusieurs variables.

Des problèmes de ce type créent une classe de problèmes extrêmes dans le domaine économique, dont la solution nécessite un calcul différentiel. Lorsqu'un indicateur économique doit être minimisé ou maximisé en fonction d'un autre indicateur, alors au point de maximum, le rapport de l'incrément de la fonction aux arguments tendra vers zéro si l'incrément de l'argument tend vers zéro. Sinon, lorsqu'un tel rapport tend vers une valeur positive ou négative, le point spécifié ne convient pas, car en augmentant ou en diminuant l'argument, vous pouvez modifier la valeur dépendante dans la direction requise. Dans la terminologie du calcul différentiel, cela signifie que la condition requise pour le maximum d'une fonction est la valeur nulle de sa dérivée.

En économie, il est souvent difficile de trouver l'extremum d'une fonction à plusieurs variables, car les indicateurs économiques sont constitués de nombreux facteurs. Des questions comme celle-ci sont bonnes.étudié dans la théorie des fonctions de plusieurs variables, en appliquant des méthodes de calcul différentiel. De tels problèmes incluent non seulement des fonctions maximisées et minimisées, mais aussi des contraintes. Ces questions sont liées à la programmation mathématique et sont résolues à l'aide de méthodes spécialement développées, également basées sur cette branche de la science.

Parmi les méthodes de calcul différentiel utilisées en économie, une section importante est l'analyse marginale. Dans la sphère économique, ce terme désigne un ensemble de méthodes d'étude d'indicateurs variables et de résultats lors de l'évolution du volume de création, de consommation, à partir de l'analyse de leurs indicateurs marginaux. L'indicateur limite est la dérivée ou les dérivées partielles à plusieurs variables.

Le calcul différentiel de plusieurs variables est un sujet important dans le domaine de l'analyse mathématique. Pour une étude détaillée, vous pouvez utiliser divers manuels pour l'enseignement supérieur. L'un des plus célèbres a été créé par Fikhtengolts - "Cours de calcul différentiel et intégral". Comme son nom l'indique, les compétences dans le travail avec les intégrales sont d'une importance considérable pour résoudre les équations différentielles. Lorsque le calcul différentiel d'une fonction d'une variable a lieu, la solution devient plus simple. Bien que, il convient de le noter, il est soumis aux mêmes règles de base. Pour étudier une fonction en pratique par calcul différentiel, il suffit de suivre l'algorithme déjà existant, qui est donné au lycée et à peine compliqué lorsque de nouveaux sont introduits.variables.