Probablement, le concept de dérivé nous est familier depuis l'école. Habituellement, les étudiants ont du mal à comprendre cette chose, sans aucun doute, très importante. Il est activement utilisé dans divers domaines de la vie des gens, et de nombreux développements techniques étaient basés précisément sur des calculs mathématiques obtenus à l'aide de la dérivée. Mais avant de procéder à l'analyse de ce que sont les dérivées des nombres, comment les calculer et où elles nous sont utiles, plongeons dans l'histoire.
Histoire
Le concept de dérivée, qui est à la base de l'analyse mathématique, a été découvert (il vaudrait mieux dire "inventé", car il n'existait pas dans la nature en tant que telle) par Isaac Newton, que nous connaissons tous de la découverte de la loi de la gravitation universelle. C'est lui qui a le premier appliqué ce concept en physique pour lier la nature de la vitesse et de l'accélération des corps. Et de nombreux scientifiques louent encore Newton pour cette magnifique invention, car en fait il a inventé la base du calcul différentiel et intégral, en fait, la base de tout un domaine des mathématiques appelé "calcul". Si à cette époque le prix Nobel, Newton l'aurait reçu avec une forte probabilité plusieurs fois.
Pas sans d'autres grands esprits. Sauf Newtondes génies mathématiques aussi éminents que Leonhard Euler, Louis Lagrange et Gottfried Leibniz ont travaillé au développement de la dérivée et de l'intégrale. C'est grâce à eux que nous avons reçu la théorie du calcul différentiel sous la forme sous laquelle elle existe à ce jour. Soit dit en passant, c'est Leibniz qui a découvert la signification géométrique de la dérivée, qui s'est avérée n'être rien de plus que la tangente de la pente de la tangente au graphe de la fonction.
Qu'est-ce que les dérivées de nombres ? Répétons un peu ce que nous avons vécu à l'école.
Qu'est-ce qu'une dérivée ?
Ce concept peut être défini de différentes manières. L'explication la plus simple est que la dérivée est le taux de variation de la fonction. Imaginez un graphique d'une fonction y de x. S'il n'est pas droit, il y a des courbes dans le graphique, des périodes d'augmentation et de diminution. Si nous prenons un intervalle infiniment petit de ce graphique, ce sera un segment de droite. Ainsi, le rapport de la taille de ce segment infiniment petit le long de la coordonnée y à la taille le long de la coordonnée x sera la dérivée de cette fonction en un point donné. Si nous considérons la fonction dans son ensemble, et non en un point spécifique, nous obtiendrons une fonction dérivée, c'est-à-dire une certaine dépendance de y sur x.
De plus, en plus de la signification physique de la dérivée en tant que taux de variation d'une fonction, il existe également une signification géométrique. Nous allons parler de lui maintenant.
Sens géométrique
Les dérivées des nombres elles-mêmes représentent un certain nombre, qui, sans une bonne compréhension, ne porte paspas de point. Il s'avère que la dérivée montre non seulement le taux de croissance ou de diminution de la fonction, mais également la tangente de la pente de la tangente au graphique de la fonction en un point donné. Pas une définition très claire. Analysons-le plus en détail. Disons que nous avons un graphique d'une fonction (par intérêt, prenons une courbe). Il a un nombre infini de points, mais il existe des zones où un seul point a un maximum ou un minimum. À travers un tel point, il est possible de tracer une ligne qui serait perpendiculaire au graphique de la fonction à ce point. Une telle droite sera appelée une tangente. Disons que nous l'avons passé à l'intersection avec l'axe OX. Ainsi, l'angle obtenu entre la tangente et l'axe OX sera déterminé par la dérivée. Plus précisément, la tangente de cet angle lui sera égale.
Parlons un peu des cas particuliers et analysons les dérivées des nombres.
Cas particuliers
Comme nous l'avons déjà dit, les dérivées des nombres sont les valeurs de la dérivée en un point particulier. Prenons par exemple la fonction y=x2. La dérivée x est un nombre, et dans le cas général, une fonction égale à 2x. Si nous devons calculer la dérivée, disons, au point x0=1, alors nous obtenons y'(1)=21=2. Tout est très simple. Un cas intéressant est la dérivée d'un nombre complexe. Nous n'entrerons pas dans une explication détaillée de ce qu'est un nombre complexe. Disons simplement qu'il s'agit d'un nombre qui contient l'unité dite imaginaire - un nombre dont le carré est -1. Le calcul d'une telle dérivée n'est possible que si les éléments suivantsconditions:
1) Il doit y avoir des dérivées partielles du premier ordre des parties réelles et imaginaires par rapport à Y et X.
2) Les conditions de Cauchy-Riemann associées à l'égalité des dérivées partielles décrites au premier paragraphe sont remplies.
Un autre cas intéressant, bien que moins compliqué que le précédent, est celui de la dérivée d'un nombre négatif. En fait, tout nombre négatif peut être représenté comme un nombre positif multiplié par -1. Eh bien, la dérivée de la constante et de la fonction est égale à la constante multipliée par la dérivée de la fonction.
Il sera intéressant d'en savoir plus sur le rôle du dérivé dans la vie de tous les jours, et c'est ce dont nous allons discuter maintenant.
Demande
Probablement, chacun de nous au moins une fois dans sa vie se surprend à penser que les mathématiques ne lui seront probablement pas utiles. Et une chose aussi compliquée qu'un dérivé n'a probablement aucune application. En fait, les mathématiques sont une science fondamentale, et tous ses fruits sont développés principalement par la physique, la chimie, l'astronomie et même l'économie. La dérivée a été le début de l'analyse mathématique, qui nous a permis de tirer des conclusions à partir des graphiques de fonctions, et nous avons appris à interpréter les lois de la nature et à les tourner à notre avantage grâce à elle.
Conclusion
Bien sûr, tout le monde n'a pas besoin d'un produit dérivé dans la vraie vie. Mais les mathématiques développent la logique, ce qui sera certainement nécessaire. Ce n'est pas pour rien que les mathématiques sont appelées la reine des sciences: elles constituent la base pour comprendre d'autres domaines de la connaissance.
