Logarithmes : exemples et solutions

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-02 17:46

Comme vous le savez, lorsque vous multipliez des expressions avec des puissances, leurs exposants s'additionnent toujours (a^ba^c=a^{b+ c). Cette loi mathématique a été dérivée par Archimède, et plus tard, au 8ème siècle, le mathématicien Virasen a créé une table d'indicateurs entiers. Ce sont eux qui ont servi à la découverte ultérieure des logarithmes. Des exemples d'utilisation de cette fonction peuvent être trouvés presque partout où il est nécessaire de simplifier une multiplication fastidieuse en une simple addition. Si vous passez 10 minutes à lire cet article, nous vous expliquerons ce que sont les logarithmes et comment les utiliser. Langage simple et accessible.}

Définition en mathématiques

Le logarithme est une expression de la forme suivante: log_ab=c c" dans laquelle il faut élever la base "a" pour finalement obtenir la valeur " b". Analysons le logarithme à l'aide d'exemples, disons qu'il existe une expression log_{28. Comment trouver la réponse ? C'est très simple, vous devez trouver un degré tel que de 2 au degré requis vous obtenez 8. Après avoir fait quelques calculs dans votre tête, nous obtenons le chiffre 3 ! Et c'est vrai, parce que2 élevé à la puissance 3 donne la réponse 8.}

Variétés de logarithmes

Pour de nombreux élèves et étudiants, ce sujet semble compliqué et incompréhensible, mais en fait, les logarithmes ne font pas si peur, l'essentiel est de comprendre leur sens général et de se souvenir de leurs propriétés et de certaines règles. Il existe trois types distincts d'expressions logarithmiques:

1. Logarithme naturel en a, où la base est le nombre d'Euler (e=2, 7).
2. Logarithme décimal lg a, où la base est le nombre 10.
3. Logarithme de tout nombre b en base a>1.

Chacun d'entre eux est résolu de manière standard, y compris la simplification, la réduction et la réduction ultérieure à un logarithme à l'aide de théorèmes logarithmiques. Pour obtenir les valeurs correctes des logarithmes, il faut se souvenir de leurs propriétés et de l'ordre des actions pour les résoudre.

Règles et quelques restrictions

En mathématiques, il existe plusieurs règles-restrictions qui sont acceptées comme un axiome, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas négociables et sont vraies. Par exemple, il est impossible de diviser des nombres par zéro, et il est également impossible de prendre une racine paire à partir de nombres négatifs. Les logarithmes ont également leurs propres règles, suivant lesquelles vous pouvez facilement apprendre à travailler même avec des expressions logarithmiques longues et volumineuses:

• la base de "a" doit toujours être supérieure à zéro, et en même temps pas égale à 1, sinon l'expression perdra son sens, car "1" et "0" à n'importe quel degré sont toujours égal à leurs valeurs;
• if a > 0, then ab>0,il s'avère que "c" doit également être supérieur à zéro.

Comment résoudre les logarithmes ?

Par exemple, étant donné la tâche de trouver la réponse à l'équation 10^x=100. C'est très simple, vous devez choisir une telle puissance, en augmentant le nombre dix, nous obtenez 100. Ceci, bien sûr Eh bien, la puissance quadratique ! 10^2=100.

Représentons maintenant cette expression sous forme logarithmique. Nous obtenons log_{10100=2. Lors de la résolution de logarithmes, toutes les actions convergent pratiquement vers la recherche de la puissance à laquelle la base du logarithme doit être entrée pour obtenir un nombre donné.}

Pour déterminer avec précision la valeur d'un degré inconnu, vous devez apprendre à utiliser la table des degrés. Il ressemble à ceci:

Comme vous pouvez le voir, certains exposants peuvent être devinés intuitivement si vous avez un esprit technique et une connaissance de la table de multiplication. Cependant, des valeurs plus importantes nécessiteront une table de puissance. Il peut être utilisé même par ceux qui ne comprennent rien du tout à des sujets mathématiques complexes. La colonne de gauche contient des nombres (base a), la rangée supérieure de nombres est la valeur de la puissance c, à laquelle le nombre a est élevé. A l'intersection, les cellules définissent les valeurs des nombres qui sont la réponse (ac=b). Prenons, par exemple, la toute première cellule avec le nombre 10 et mettons-la au carré, nous obtenons la valeur 100, qui est indiquée à l'intersection de nos deux cellules. Tout est si simple et facile que même le plus vrai des humanistes comprendra !

Équations et inégalités

Il s'avère que lorsqueSous certaines conditions, l'exposant est le logarithme. Par conséquent, toute expression numérique mathématique peut être écrite sous la forme d'une équation logarithmique. Par exemple, 3⁴=81 peut être écrit comme le logarithme de 81 en base 3, qui est quatre (log₃81=4). Pour les degrés négatifs, les règles sont les mêmes: 2^-5=1/32 écrit sous forme de logarithme, on obtient log_{2 (1/32)=-5. L'une des sections les plus fascinantes des mathématiques est le sujet des "logarithmes". Nous examinerons des exemples et des solutions d'équations un peu plus bas, immédiatement après avoir étudié leurs propriétés. Pour l'instant, regardons à quoi ressemblent les inégalités et comment les distinguer des équations.}

L'expression suivante est donnée: log_{2(x-1) > 3 - c'est une inégalité logarithmique, puisque l'inconnue "x" est sous le signe du logarithme. L'expression compare également deux valeurs: le logarithme en base deux du nombre souhaité est supérieur au nombre trois.}

La différence la plus importante entre les équations logarithmiques et les inégalités est que les équations avec logarithmes (exemple - logarithme₂x=√9) _{impliquent dans la réponse une ou plusieurs valeurs numériques spécifiques, tandis que lors de la résolution d'une inégalité, la plage de valeurs acceptables et les points de rupture de cette fonction sont déterminés. En conséquence, la réponse n'est pas un simple ensemble de nombres individuels, comme dans la réponse de l'équation, mais une série continue ou un ensemble de nombres.}

Théorèmes de base sur les logarithmes

Lorsque vous résolvez des tâches primitives pour trouver les valeurs du logarithme, vous ne connaissez peut-être pas ses propriétés. Cependant, lorsqu'il s'agit d'équations ou d'inégalités logarithmiques, il est tout d'abord nécessaire de bien comprendre et d'appliquer en pratique toutes les propriétés de base des logarithmes. Nous nous familiariserons avec les exemples d'équations plus tard, analysons d'abord chaque propriété plus en détail.

1. L'identité de base ressemble à ceci: alogaB=B. Cela ne s'applique que si a est supérieur à 0, non égal à un, et B est supérieur à zéro.
2. Le logarithme du produit peut être représenté par la formule suivante: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{Dans ce cas, la condition obligatoire est: d, s}1 _{et s}2 _{> 0; a≠1. Vous pouvez donner une preuve de cette formule de logarithmes, avec des exemples et une solution. Soit log}a_s1 _=f1 _{et log}a_s 2_=f2_{, puis a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Nous obtenons que s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(propriétés des degrés), et plus loin par définition: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{qui devait être prouvé.}
3. Le logarithme du quotient ressemble à ceci: log_a(s_1/s₂)=journal _as₁- journal_as_2.
4. Le théorème sous forme de formule prend la forme suivante: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Cette formule s'appelle la "propriété du degré du logarithme". Elle ressemble aux propriétés des degrés ordinaires, et ce n'est pas surprenant, car toutes les mathématiques reposent sur des postulats réguliers. Regardons la preuve.

Soit log_ab=t, on obtient a^t=b. Si vous élevez les deux côtés à la puissance m: a^tn=b^;

mais parce que a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, donc log}aq _bn=(nt)/t, puis log^a_q b_n=n/q log^ab. Théorème prouvé.

Exemples de problèmes et d'inégalités

Les types de problèmes de logarithme les plus courants sont des exemples d'équations et d'inégalités. On les trouve dans presque tous les cahiers de problèmes et ils sont également inclus dans la partie obligatoire des examens de mathématiques. Pour entrer dans une université ou passer des tests d'entrée en mathématiques, vous devez savoir comment résoudre correctement ces problèmes.

Malheureusement, il n'y a pas de plan ou de schéma unique pour résoudre et déterminer la valeur inconnue du logarithme, mais certaines règles peuvent être appliquées à chaque inégalité mathématique ou équation logarithmique. Tout d'abord, vous devez savoir si l'expression peut être simplifiée ou réduite à une forme générale. Vous pouvez simplifier les longues expressions logarithmiques si vous utilisez correctement leurs propriétés. Apprenons à les connaître bientôt.

Lors de la résolution d'équations logarithmiques,il est nécessaire de déterminer quel type de logarithme nous avons devant nous: un exemple d'expression peut contenir un logarithme naturel ou décimal.

Voici des exemples de logarithmes décimaux: ln100, ln1026. Leur solution se résume au fait que vous devez déterminer dans quelle mesure la base 10 sera égale à 100 et 1026, respectivement. Pour les solutions de logarithmes naturels, il faut appliquer des identités logarithmiques ou leurs propriétés. Examinons des exemples de résolution de problèmes logarithmiques de différents types.

Comment utiliser les formules de logarithme: avec des exemples et des solutions

Donc, regardons des exemples d'utilisation des théorèmes principaux sur les logarithmes.

1. La propriété du logarithme du produit peut être utilisée dans des tâches où il est nécessaire de décomposer une grande valeur du nombre b en facteurs plus simples. Par exemple, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. La réponse est 9.}
2. log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - comme vous pouvez le voir, en appliquant la quatrième propriété du degré du logarithme, nous avons réussi à résoudre à première vue une expression complexe et insoluble. Tout ce que vous avez à faire est de factoriser la base, puis de retirer la puissance du signe du logarithme.}

Devoirs de l'examen

Les logarithmes sont souvent trouvés dans les examens d'entrée, en particulier beaucoup de problèmes logarithmiques dans l'examen d'État unifié (examen d'État pour tous les diplômés de l'école). Habituellement, ces tâches sont présentes non seulement dans la partie A (la pluspartie test facile de l'examen), mais aussi dans la partie C (les tâches les plus difficiles et les plus volumineuses). L'examen requiert une connaissance précise et parfaite du sujet "Logarithmes naturels".

Les exemples et les solutions aux problèmes sont tirés des versions officielles de l'examen. Voyons comment ces tâches sont résolues.

Given log₂(2x-1)=4. Solution:

réécrivez l'expression en la simplifiant un peu log_2(2x-1)=22^{, par la définition du logarithme on obtient que 2x-1=2}4^{, donc 2x=17; x=8, 5.}

Suivant quelques lignes directrices, vous pouvez facilement résoudre toutes les équations contenant des expressions sous le signe du logarithme.

• Il est préférable de réduire tous les logarithmes à la même base afin que la solution ne soit pas lourde et déroutante.
• Toutes les expressions sous le signe logarithme sont indiquées comme positives, donc lors de la multiplication de l'exposant de l'expression qui est sous le signe logarithme et comme base, l'expression restant sous le logarithme doit être positive.