En mathématiques, il y a le concept d'"ensemble", ainsi que des exemples de comparaison de ces mêmes ensembles entre eux. Les noms des types de comparaison d'ensembles sont les mots suivants: bijection, injection, surjection. Chacun d'eux est décrit plus en détail ci-dessous.
Une bijection, c'est… qu'est-ce que c'est ?
Un groupe d'éléments du premier ensemble est mis en correspondance avec le deuxième groupe d'éléments du deuxième ensemble sous cette forme: chaque élément du premier groupe est directement mis en correspondance avec un autre élément du deuxième groupe, et là n'y a pas de situation avec une pénurie ou une énumération d'éléments de l'un ou de deux groupes d'ensembles.
Formulation des propriétés principales:
- Un élément contre un.
- Il n'y a pas d'éléments supplémentaires lors de la correspondance et la première propriété est conservée.
- Il est possible d'inverser le mapping tout en conservant la vue générale.
- Une bijection est une fonction à la fois injective et surjective.
Bijection du point de vue scientifique
Les fonctions bijectives sont exactement des isomorphismes dans la catégorie "ensemble et ensemble de fonctions". Cependant, les bijections ne sont pas toujours des isomorphismes pour des catégories plus complexes. Par exemple, dans une certaine catégorie de groupes, les morphismes doivent être des homomorphismes, puisqu'ils doivent conserver la structure du groupe. Par conséquent, les isomorphismes sont des isomorphismes de groupe, qui sont des homomorphismes bijectifs.
Le concept de "correspondance biunivoque" est généralisé aux fonctions partielles, où elles sont appelées bijections partielles, bien qu'une bijection partielle soit ce qui devrait être une injection. La raison de cet assouplissement est que la fonction partielle (propre) n'est plus définie pour une partie de son domaine. Ainsi, il n'y a aucune bonne raison de limiter sa fonction inverse à une fonction complète, c'est-à-dire définie partout dans son domaine. L'ensemble de toutes les bijections partielles vers un ensemble de base donné est appelé un semi-groupe inverse symétrique.
Autre façon de définir le même concept: il convient de dire qu'une bijection partielle d'ensembles de A vers B est toute relation R (fonction partielle) avec la propriété que R est un graphe de bijection f:A'→B ' où A' est un sous-ensemble de A et B' est un sous-ensemble de B.
Lorsqu'une bijection partielle se trouve sur le même ensemble, on l'appelle parfois une transformation partielle biunivoque. Un exemple est la transformée de Möbius juste définie sur le plan complexe, pas son achèvement dans le plan complexe étendu.
Injection
Un groupe d'éléments du premier ensemble est mis en correspondance avec le deuxième groupe d'éléments du deuxième ensemble sous cette forme: chaque élément du premier groupe est mis en correspondance avec un autre élément du second, mais pas tous elles sont converties en paires. Le nombre d'éléments non appariés dépend de la différence du nombre de ces mêmes éléments dans chacun des ensembles: si un ensemble se compose de trente et un éléments, et l'autre en a sept de plus, alors le nombre d'éléments non appariés est de sept. Injection dirigée dans l'ensemble. La bijection et l'injection sont similaires, mais rien de plus que similaires.
Surjection
Un groupe d'éléments du premier ensemble est mis en correspondance avec le deuxième groupe d'éléments du deuxième ensemble de cette manière: chaque élément de n'importe quel groupe forme une paire, même s'il y a une différence entre le nombre d'éléments. Il s'ensuit qu'un élément d'un groupe peut s'apparier avec plusieurs éléments d'un autre groupe.
Fonction ni bijective, ni injective, ni surjective
Ceci est une fonction de forme bijective et surjective, mais avec un reste (non apparié)=> injection. Dans une telle fonction, il existe clairement un lien entre bijection et surjection, puisqu'elle inclut directement ces deux types de comparaisons d'ensembles. Ainsi, la totalité de toutes sortes de ces fonctions n'en fait pas partie isolément.
Explication de toutes sortes de fonctions
Par exemple, l'observateur est fasciné par ce qui suit. Il y a des compétitions de tir à l'arc. Chacun desles participants veulent atteindre la cible (afin de faciliter la tâche: l'endroit exact où la flèche frappe n'est pas pris en compte). Seulement trois participants et trois cibles - c'est le premier site (site) du tournoi. Dans les sections suivantes, le nombre d'archers est conservé, mais le nombre de cibles est modifié: sur la deuxième - quatre cibles, sur la suivante - également quatre et sur la quatrième - cinq. Chaque participant tire sur chaque cible.
- Le premier lieu du tournoi. Le premier archer touche une seule cible. Le second touche une seule cible. Le troisième se répète après les autres, et tous les archers touchent des cibles différentes: celles qui sont en face d'eux. En conséquence, 1 (le premier archer) a atteint la cible (a), 2 - en (b), 3 - en (c). On observe la dépendance suivante: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). La conclusion sera le jugement qu'une telle comparaison d'ensembles est une bijection.
- La deuxième plate-forme du tournoi. Le premier archer touche une seule cible. Le second touche également une seule cible. Le troisième n'essaie pas vraiment de tout répéter après les autres, mais la condition est la même - tous les archers touchent des cibles différentes. Mais, comme mentionné précédemment, il y a déjà quatre cibles sur la deuxième plate-forme. Dépendance: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - élément non apparié de l'ensemble. Dans ce cas, la conclusion sera le jugement qu'une telle comparaison d'ensemble est une injection.
- Le troisième lieu du tournoi. Le premier archer touche une seule cible. Le second ne touche à nouveau qu'une seule cible. Le troisième décide de se ressaisir et touche les troisième et quatrième cibles. En conséquence, la dépendance: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Ici, la conclusion sera le jugement qu'une telle comparaison d'ensembles est une surjection.
- La quatrième plate-forme du tournoi. Avec le premier, tout est déjà clair, il ne touche qu'une seule cible, dans laquelle il n'y aura bientôt plus de place pour des coups déjà ennuyeux. Maintenant, le second prend le rôle du troisième encore récent et ne touche à nouveau qu'une seule cible, se répétant après le premier. Le troisième continue à se contrôler et n'arrête pas d'introduire sa flèche vers les troisième et quatrième cibles. Le cinquième, cependant, était toujours hors de son contrôle. Donc, dépendance: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - élément non apparié de l'ensemble des cibles. Conclusion: une telle comparaison d'ensembles n'est pas une surjection, ni une injection, ni une bijection.
Construire maintenant une bijection, une injection ou une surjection ne sera plus un problème, ainsi que trouver des différences entre elles.
