L'émergence du concept d'intégrale était due à la nécessité de trouver la fonction primitive par sa dérivée, ainsi que de déterminer la quantité de travail, l'aire des figures complexes, la distance parcourue, avec paramètres définis par des courbes décrites par des formules non linéaires.
Du cours
et la physique sait que le travail est égal au produit de la force et de la distance. Si tous les mouvements se produisent à une vitesse constante ou si la distance est surmontée avec l'application de la même force, alors tout est clair, il vous suffit de les multiplier. Qu'est-ce qu'une intégrale d'une constante ? C'est une fonction linéaire de la forme y=kx+c.
Mais la force pendant le travail peut changer, et dans une sorte de dépendance naturelle. La même situation se produit avec le calcul de la distance parcourue si la vitesse n'est pas constante.
Ainsi, on voit clairement à quoi sert l'intégrale. Sa définition comme la somme des produits des valeurs de fonction par un incrément infinitésimal de l'argument décrit pleinement le sens principal de ce concept comme l'aire d'une figure délimitée d'en haut par la ligne de la fonction, et à les bords par les limites de la définition.
Jean Gaston Darboux, mathématicien français, dans la seconde moitié du XIXsiècle a expliqué très clairement ce qu'est une intégrale. Il a été si clair qu'en général, il ne serait pas difficile, même pour un élève du premier cycle du secondaire, de comprendre ce problème.
Disons qu'il existe une fonction de n'importe quelle forme complexe. L'axe des y, sur lequel sont tracées les valeurs de l'argument, est divisé en petits intervalles, idéalement ils sont infiniment petits, mais comme le concept d'infini est plutôt abstrait, il suffit d'imaginer de petits segments, la valeur dont est généralement désigné par la lettre grecque Δ (delta).
La fonction s'est avérée "découpée" en petites briques.
Chaque valeur d'argument correspond à un point sur l'axe des ordonnées, sur lequel les valeurs de fonction correspondantes sont tracées. Mais comme la zone sélectionnée a deux bordures, il y aura également deux valeurs de la fonction, plus et moins.
La somme des produits des plus grandes valeurs par l'incrément Δ est appelée la grande somme de Darboux et est notée S. En conséquence, les plus petites valeurs dans une zone limitée, multipliées par Δ, toutes ensemble forment une petite somme de Darboux s. La section elle-même ressemble à un trapèze rectangle, car la courbure de la ligne de la fonction avec son incrément infinitésimal peut être négligée. Le moyen le plus simple de trouver l'aire d'une telle figure géométrique est d'ajouter les produits de la plus grande et de la plus petite valeur de la fonction par l'incrément Δ et de diviser par deux, c'est-à-dire de la déterminer comme la moyenne arithmétique.
Voici ce qu'est l'intégrale de Darboux:
s=Σf(x) Δ est une petite quantité;
S=Σf(x+Δ)Δ est une grosse somme.
Alors, qu'est-ce qu'une intégrale ? La zone délimitée par la ligne de fonction et les limites de définition sera:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
C'est-à-dire que la moyenne arithmétique des grandes et petites sommes de Darboux.c est une valeur constante qui est mise à zéro lors de la différenciation.
Basé sur l'expression géométrique de ce concept, la signification physique de l'intégrale devient claire. L'aire de la figure, délimitée par la fonction de vitesse, et limitée par l'intervalle de temps le long de l'axe des abscisses, sera la longueur du chemin parcouru.
L=∫f(x)dx sur l'intervalle de t1 à t2, Où
f(x) – fonction de vitesse, c'est-à-dire la formule par laquelle elle change dans le temps;
L – longueur du chemin;
t1 – heure de début;
t2 – heure de fin du voyage.
Exactement selon le même principe, la quantité de travail est déterminée, seule la distance sera tracée en abscisse, et la quantité de force appliquée à chaque point particulier sera tracée en ordonnée.
