Polynôme, ou polynôme - l'une des structures algébriques de base, que l'on trouve dans les mathématiques scolaires et supérieures. L'étude d'un polynôme est le sujet le plus important dans un cours d'algèbre, puisque, d'une part, les polynômes sont assez simples par rapport à d'autres types de fonctions, et, d'autre part, ils sont largement utilisés pour résoudre des problèmes d'analyse mathématique.. Qu'est-ce qu'un polynôme ?
Définition
La définition du terme polynôme peut être donnée par le concept de monôme, ou monôme.
Un monôme est une expression de la forme cx1i1x2 i2 …x in. Ici с est une constante, x1, x2, … x - variables, i1, i2, … dans - exposants de variables. Alors un polynôme est une somme finie de monômes.
Pour comprendre ce qu'est un polynôme, vous pouvez regarder des exemples spécifiques.
Le trinôme carré, discuté en détail dans le cours de mathématiques de 8e année, est un polynôme: ax2+bx+c.
Un polynôme à deux variables pourrait ressembler à ceci: x2-xy+y2. Telun polynôme est aussi appelé un carré incomplet de la différence entre x et y.
Classifications polynomiales
Degré polynomial
Pour chaque monôme du polynôme, trouver la somme des exposants i1+i2+…+in. La plus grande des sommes est appelée l'exposant du polynôme, et le monôme correspondant à cette somme est appelé le terme le plus élevé.
Au fait, toute constante peut être considérée comme un polynôme de degré zéro.
Polynômes réduits et non réduits
Si le coefficient c est égal à 1 pour le terme le plus élevé, alors le polynôme est donné, sinon il ne l'est pas.
Par exemple, l'expression x2+2x+1 est un polynôme réduit, et 2x2+2x+1 n'est pas réduit.
Polynômes homogènes et non homogènes
Si les degrés de tous les membres d'un polynôme sont égaux, alors on dit qu'un tel polynôme est homogène. Tous les autres polynômes sont considérés comme non homogènes.
Polynômes homogènes: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Hétérogène: x+1, x2+y.
Il existe des noms spéciaux pour un polynôme de deux et trois termes: binôme et trinôme, respectivement.
Les polynômes d'une variable sont répartis dans une catégorie distincte.
Application d'un polynôme à une variable
Les polynômes d'une variable se rapprochent bien de fonctions continues de complexité variable à partir d'un argument.
Le fait est que de tels polynômes peuvent être considérés comme des sommes partielles d'une série de puissances, et une fonction continue peut être représentée comme une série avec une erreur arbitrairement petite. Les séries d'expansion d'une fonction sont appelées séries de Taylor, et leurssommes partielles sous forme de polynômes - polynômes de Taylor.
Étudier graphiquement le comportement d'une fonction en l'approximant avec un polynôme est souvent plus facile que d'étudier la même fonction directement ou en utilisant une série.
Il est facile de rechercher des dérivées de polynômes. Pour trouver les racines des polynômes de degré 4 et inférieur, il existe des formules toutes faites, et pour travailler avec des degrés supérieurs, des algorithmes approximatifs de haute précision sont utilisés.
Il existe aussi une généralisation des polynômes décrits pour les fonctions de plusieurs variables.
binôme de Newton
Les polynômes célèbres sont les polynômes de Newton, dérivés par des scientifiques pour trouver les coefficients de l'expression (x + y).
Il suffit de regarder les premières puissances de la décomposition binomiale pour s'assurer que la formule n'est pas triviale:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Pour chaque coefficient il y a une expression qui permet de le calculer. Cependant, mémoriser des formules encombrantes et effectuer les opérations arithmétiques nécessaires à chaque fois serait extrêmement gênant pour les mathématiciens qui ont souvent besoin de telles expansions. Le triangle de Pascal leur a rendu la vie beaucoup plus facile.
La figure est construite selon le principe suivant. 1 est écrit en haut du triangle, et dans chaque ligne suivante, il devient un chiffre de plus, 1 est placé sur les bords et le milieu de la ligne est rempli avec les sommes de deux nombres adjacents du précédent.
Quand on regarde l'illustration, tout devient clair.
Bien sûr, l'utilisation des polynômes en mathématiques ne se limite pas aux exemples donnés, les plus connus.
