Pour déterminer le parallélisme et la perpendicularité des plans, ainsi que pour calculer les distances entre ces objets géométriques, il convient d'utiliser l'un ou l'autre type de fonctions numériques. Pour quels problèmes convient-il d'utiliser l'équation d'un plan en segments ? Dans cet article, nous verrons ce que c'est et comment l'utiliser dans des tâches pratiques.
Qu'est-ce qu'une équation en segments de droite ?
Un plan peut être défini dans l'espace 3D de plusieurs manières. Dans cet article, certains d'entre eux seront donnés lors de la résolution de problèmes de différents types. Nous donnons ici une description détaillée de l'équation en segments du plan. Il a généralement la forme suivante:
x/p + y/q + z/r=1.
Où les symboles p, q, r désignent des nombres spécifiques. Cette équation peut être facilement traduite en une expression générale et en d'autres formes de fonctions numériques pour le plan.
La commodité d'écrire l'équation en segments réside dans le fait qu'elle contient les coordonnées explicites de l'intersection du plan avec les axes de coordonnées perpendiculaires. Sur l'axe des abscissespar rapport à l'origine, le plan coupe un segment de longueur p, sur l'axe y - égal à q, sur z - de longueur r.
Si l'une des trois variables n'est pas contenue dans l'équation, cela signifie que le plan ne passe pas par l'axe correspondant (les mathématiciens disent qu'il passe à l'infini).
Ensuite, voici quelques problèmes dans lesquels nous allons montrer comment travailler avec cette équation.
Communication du général et en segments d'équations
On sait que le plan est donné par l'égalité suivante:
2x - 3y + z - 6=0.
Il faut écrire cette équation générale du plan en segments.
Lorsqu'un problème similaire se pose, il faut suivre cette technique: on reporte le terme libre sur le côté droit de l'égalité. Ensuite, nous divisons l'équation entière par ce terme, en essayant de l'exprimer sous la forme donnée dans le paragraphe précédent. Nous avons:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Nous avons obtenu dans les segments l'équation du plan, donnée initialement sous une forme générale. Il est à noter que le plan coupe des segments de longueurs 3, 2 et 6 pour les axes x, y et z, respectivement. L'axe y coupe le plan dans la zone de coordonnées négatives.
Lors de l'élaboration d'une équation en segments, il est important que toutes les variables soient précédées du signe "+". Seulement dans ce cas, le nombre par lequel cette variable est divisée affichera la coordonnée coupée sur l'axe.
Vecteur normal et point sur le plan
On sait que certains plans ont un vecteur directeur (3; 0; -1). On sait aussi qu'il passe par le point (1; 1; 1). Pour ce plan, écrivez une équation en segments.
Pour résoudre ce problème, vous devez d'abord utiliser la forme générale de cet objet géométrique à deux dimensions. La forme générale s'écrit:
Ax + By + Cz + D=0.
Les trois premiers coefficients ici sont les coordonnées du vecteur guide, qui est spécifié dans l'énoncé du problème, c'est-à-dire:
A=3;
B=0;
C=-1.
Il reste à trouver le terme libre D. Il peut être déterminé par la formule suivante:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Où les valeurs de coordonnées d'indice 1 correspondent aux coordonnées d'un point appartenant au plan. On substitue leurs valeurs à partir de la condition du problème, on obtient:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Vous pouvez maintenant écrire l'équation complète:
3x - z - 2=0.
La technique pour convertir cette expression en une équation en segments du plan a déjà été démontrée ci-dessus. Appliquez-le:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
La réponse au problème a été reçue. Notez que ce plan ne coupe que les axes x et z. Pour y c'est parallèle.
Deux lignes droites définissant un plan
D'après le cours de géométrie spatiale, chaque étudiant sait que deux lignes arbitraires définissent de manière unique un plan dansespace tridimensionnel. Résolvons un problème similaire.
Deux équations de droites sont connues:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Il faut écrire l'équation du plan en segments, en passant par ces lignes.
Étant donné que les deux lignes doivent se trouver dans le plan, cela signifie que leurs vecteurs (guides) doivent être perpendiculaires au vecteur (guide) du plan. Dans le même temps, on sait que le produit vectoriel de deux segments dirigés arbitraires donne le résultat sous la forme de coordonnées du troisième, perpendiculaires aux deux originaux. Compte tenu de cette propriété, on obtient les coordonnées d'un vecteur normal au plan recherché:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Puisqu'il peut être multiplié par un nombre arbitraire, cela forme un nouveau segment orienté parallèle à celui d'origine, nous pouvons remplacer le signe des coordonnées obtenues par l'opposé (multiplier par -1), nous obtenons:
(1; 2; 1).
Nous connaissons le vecteur de direction. Il reste à prendre un point arbitraire d'une des droites et à établir l'équation générale du plan:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
En traduisant cette égalité en une expression en segments, on obtient:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Ainsi, le plan coupe les trois axes dans la région positive du système de coordonnées.
Trois points et un plan
Tout comme deux lignes droites, trois points définissent un plan de manière unique dans l'espace tridimensionnel. Nous écrivons l'équation correspondante en segments si les coordonnées suivantes des points situés dans le plan sont connues:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Faisons comme suit: calculons les coordonnées de deux vecteurs arbitraires reliant ces points, puis trouvons le vecteur n¯ normal au plan en calculant le produit des segments orientés trouvés. Nous obtenons:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Prenez le point P comme exemple, composez l'équation du plan:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 ou z=0.
Nous avons obtenu une expression simple qui correspond au plan xy dans le système de coordonnées rectangulaires donné. Il ne peut pas être écrit en segments, car les axes x et y appartiennent au plan, et la longueur du segment coupé sur l'axe z est nulle (le point (0; 0; 0) appartient au plan).
