Les inégalités algébriques ou leurs systèmes à coefficients rationnels dont les solutions sont recherchées dans des nombres entiers ou entiers. En règle générale, le nombre d'inconnues dans les équations diophantiennes est plus élevé. Ainsi, elles sont également connues sous le nom d'inégalités indéfinies. En mathématiques modernes, le concept ci-dessus est appliqué aux équations algébriques dont les solutions sont recherchées dans les entiers algébriques d'une certaine extension du champ des variables Q-rationnelles, du champ des variables p-adiques, etc.
Les origines de ces inégalités
L'étude des équations diophantiennes se situe à la frontière entre la théorie des nombres et la géométrie algébrique. Trouver des solutions dans des variables entières est l'un des problèmes mathématiques les plus anciens. Déjà au début du deuxième millénaire av. les anciens Babyloniens ont réussi à résoudre des systèmes d'équations à deux inconnues. Cette branche des mathématiques a le plus prospéré dans la Grèce antique. L'arithmétique de Diophante (vers le 3ème siècle après JC) est une source importante et principale qui contient divers types et systèmes d'équations.
Dans ce livre, Diophante a prévu un certain nombre de méthodes pour étudier les inégalités de la seconde et de la troisièmediplômes qui ont été pleinement développés au 19ème siècle. La création de la théorie des nombres rationnels par ce chercheur de la Grèce antique a conduit à l'analyse des solutions logiques aux systèmes indéfinis, qui sont systématiquement suivies dans son livre. Bien que son travail contienne des solutions à des équations diophantiennes spécifiques, il y a des raisons de croire qu'il était également familier avec plusieurs méthodes générales.
L'étude de ces inégalités est généralement associée à de sérieuses difficultés. Du fait qu'ils contiennent des polynômes à coefficients entiers F (x, y1, …, y). Sur cette base, des conclusions ont été tirées qu'il n'y a pas d'algorithme unique qui pourrait être utilisé pour déterminer pour un x donné si l'équation F (x, y1, …., y ). La situation est résoluble pour y1, …, y . Des exemples de tels polynômes peuvent être écrits.
L'inégalité la plus simple
ax + by=1, où a et b sont des nombres relativement entiers et premiers, il a un grand nombre d'exécutions (si x0, y0 le résultat est formé, puis le couple de variables x=x0 + b et y=y0 -an, où n est arbitraire, sera également considérée comme une inégalité). Un autre exemple d'équations diophantiennes est x2 + y2 =z2. Les solutions intégrales positives de cette inégalité sont les longueurs des petits côtés x, y et des triangles rectangles, ainsi que l'hypoténuse z de dimensions latérales entières. Ces nombres sont appelés nombres de Pythagore. Tous les triplets par rapport au premier indiquéles variables ci-dessus sont données par x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, où m et n sont des entiers et des nombres premiers (m>n>0).
Diophante dans son Arithmétique recherche des solutions rationnelles (pas nécessairement intégrales) de types particuliers de ses inégalités. Une théorie générale pour résoudre les équations diophantiennes du premier degré a été développée par C. G. Baschet au XVIIe siècle. D'autres scientifiques du début du 19ème siècle ont principalement étudié des inégalités similaires comme ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, où a, b, c, d, e et f sont généraux, hétérogènes, à deux inconnues du second degré. Lagrange a utilisé des fractions continues dans son étude. Gauss pour les formes quadratiques a développé une théorie générale sous-jacente à certains types de solutions.
Dans l'étude de ces inégalités du second degré, des progrès significatifs n'ont été réalisés qu'au XXe siècle. A. Thue a trouvé que l'équation diophantienne a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, où n≧3, a0, …, a , c sont des entiers, et a0tn + …+ a ne peut pas avoir un nombre infini de solutions entières. Cependant, la méthode de Thue n'a pas été correctement développée. A. Baker a créé des théorèmes effectifs qui donnent des estimations sur la performance de certaines équations de ce type. BN Delaunay a proposé une autre méthode d'investigation applicable à une classe plus restreinte de ces inégalités. En particulier, la forme ax3 + y3 =1 est complètement résoluble de cette manière.
Équations diophantiennes: méthodes de résolution
La théorie de Diophante a plusieurs directions. Ainsi, un problème bien connu dans ce système est l'hypothèse qu'il n'y a pas de solution non triviale des équations diophantiennes xn + y =z n si n ≧ 3 (question de Fermat). L'étude des réalisations entières de l'inégalité est une généralisation naturelle du problème des triplets de Pythagore. Euler a obtenu une solution positive du problème de Fermat pour n=4. En vertu de ce résultat, il se réfère à la preuve de l'entier manquant, études non nulles de l'équation si n est un nombre premier impair.
L'étude concernant la décision n'est pas terminée. Les difficultés de sa mise en œuvre sont liées au fait que la factorisation simple dans l'anneau des entiers algébriques n'est pas unique. La théorie des diviseurs dans ce système pour de nombreuses classes d'exposants premiers n permet de confirmer la validité du théorème de Fermat. Ainsi, l'équation diophantienne linéaire à deux inconnues est remplie par les méthodes et les moyens existants.
Types et types de tâches décrites
L'arithmétique des anneaux d'entiers algébriques est également utilisée dans de nombreux autres problèmes et solutions d'équations diophantiennes. Par exemple, de telles méthodes ont été appliquées lors de la réalisation d'inégalités de la forme N(a1 x1 +…+ a x)=m, où N(a) est la norme de a, et x1, …, xn des variables rationnelles intégrales sont trouvées. Cette classe comprend l'équation de Pell x2–dy2=1.
Les valeurs a1, …, a qui apparaissent, ces équations sont divisées en deux types. Le premier type - les formes dites complètes - comprend des équations dans lesquelles parmi a il y a m nombres linéairement indépendants sur le corps de variables rationnelles Q, où m=[Q(a1, …, a):Q], dans lequel il y a un degré d'exposants algébriques Q (a1, …, a ) sur Q. Les espèces incomplètes sont celles dans dont le nombre maximal de a i est inférieur à m.
Les formulaires complets sont plus simples, leur étude est complète, et toutes les solutions peuvent être décrites. Le deuxième type, les espèces incomplètes, est plus compliqué et le développement d'une telle théorie n'est pas encore achevé. De telles équations sont étudiées à l'aide d'approximations diophantiennes, qui incluent l'inégalité F(x, y)=C, où F (x, y) est un polynôme irréductible et homogène de degré n≧3. Ainsi, nous pouvons supposer que yi→∞. Par conséquent, si yi est suffisamment grand, alors l'inégalité contredit le théorème de Thue, Siegel et Roth, d'où il résulte que F(x, y)=C, où F est une forme du troisième degré ou au-dessus, l'irréductible ne peut pas avoir un nombre infini de solutions.
Comment résoudre une équation diophantienne ?
Cet exemple est une classe plutôt étroite parmi toutes. Par exemple, malgré leur simplicité, x3 + y3 + z3=N, et x2 +y 2 +z2 +u2 =N ne sont pas compris dans cette classe. L'étude des solutions est une branche assez étudiée des équations diophantiennes, dont la base est la représentation par des formes quadratiques des nombres. Lagrangea créé un théorème qui dit que l'accomplissement existe pour tout N naturel. Tout nombre naturel peut être représenté comme la somme de trois carrés (théorème de Gauss), mais il ne devrait pas être de la forme 4a (8K- 1), où a et k sont des exposants entiers non négatifs.
Solutions rationnelles ou intégrales d'un système d'équation diophantienne de type F (x1, …, x)=a, où F (x 1, …, x) est une forme quadratique à coefficients entiers. Ainsi, d'après le théorème de Minkowski-Hasse, l'inégalité ∑aijxixj=b ijet b est rationnel, a une solution intégrale en nombres réels et p-adiques pour tout nombre premier p seulement s'il est résoluble dans cette structure.
En raison des difficultés inhérentes, l'étude des nombres avec des formes arbitraires du troisième degré et au-dessus a été étudiée dans une moindre mesure. La principale méthode d'exécution est la méthode des sommes trigonométriques. Dans ce cas, le nombre de solutions à l'équation est explicitement écrit en termes d'intégrale de Fourier. Après cela, la méthode de l'environnement est utilisée pour exprimer le nombre de réalisation de l'inégalité des congruences correspondantes. La méthode des sommes trigonométriques dépend des caractéristiques algébriques des inégalités. Il existe un grand nombre de méthodes élémentaires pour résoudre les équations diophantiennes linéaires.
Analyse diophantienne
Département de mathématiques, dont le sujet est l'étude des solutions intégrales et rationnelles de systèmes d'équations d'algèbre par des méthodes de géométrie, à partir du mêmesphères. Dans la seconde moitié du XIXe siècle, l'émergence de cette théorie des nombres a conduit à l'étude des équations diophantiennes à partir d'un champ arbitraire à coefficients, et les solutions ont été considérées soit dans celui-ci, soit dans ses anneaux. Le système des fonctions algébriques s'est développé parallèlement aux nombres. L'analogie fondamentale entre les deux, qui a été soulignée par D. Hilbert et, en particulier, L. Kronecker, a conduit à la construction uniforme de divers concepts arithmétiques, généralement appelés globaux.
Ceci est particulièrement visible si les fonctions algébriques étudiées sur un corps fini de constantes sont une variable. Des concepts tels que la théorie des champs de classes, le diviseur, la ramification et les résultats sont une bonne illustration de ce qui précède. Ce point de vue n'a été adopté dans le système des inégalités diophantiennes que plus tard, et les recherches systématiques non seulement avec des coefficients numériques, mais aussi avec des coefficients qui sont des fonctions, n'ont commencé que dans les années 1950. L'un des facteurs décisifs de cette approche a été le développement de la géométrie algébrique. L'étude simultanée des domaines des nombres et des fonctions, qui se présentent comme deux aspects également importants du même sujet, a non seulement donné des résultats élégants et convaincants, mais a conduit à l'enrichissement mutuel des deux sujets.
En géométrie algébrique, la notion de variété est remplacée par un ensemble non invariant d'inégalités sur un corps donné K, et leurs solutions sont remplacées par des points rationnels à valeurs dans K ou dans son extension finie. On peut donc dire que le problème fondamental de la géométrie diophantienne est l'étude des points rationnelsd'un ensemble algébrique X(K), tandis que X sont certains nombres dans le corps K. L'exécution d'entiers a une signification géométrique dans les équations diophantiennes linéaires.
Études d'inégalités et options d'exécution
Quand on étudie des points rationnels (ou intégraux) sur des variétés algébriques, le premier problème se pose, qui est leur existence. Le dixième problème de Hilbert est formulé comme le problème de trouver une méthode générale pour résoudre ce problème. Dans le processus de création d'une définition exacte de l'algorithme et après qu'il a été prouvé qu'il n'y a pas de telles exécutions pour un grand nombre de problèmes, le problème a acquis un résultat négatif évident, et la question la plus intéressante est la définition des classes d'équations diophantiennes pour lequel le système ci-dessus existe. L'approche la plus naturelle, d'un point de vue algébrique, est le principe dit de Hasse: le corps initial K est étudié avec ses complétions Kv sur toutes les estimations possibles. Puisque X(K)=X(Kv) sont une condition nécessaire à l'existence, et le point K tient compte du fait que l'ensemble X(Kv) n'est pas vide pour tous les v.
L'importance réside dans le fait qu'il réunit deux problèmes. Le second est beaucoup plus simple, il est résoluble par un algorithme connu. Dans le cas particulier où la variété X est projective, le lemme de Hansel et ses généralisations permettent une réduction supplémentaire: le problème peut se réduire à l'étude de points rationnels sur un corps fini. Puis il décide de construire un concept soit par une recherche cohérente, soit par des méthodes plus efficaces.
Dernierune considération importante est que les ensembles X(Kv) ne sont pas vides pour tout sauf un nombre fini de v, donc le nombre de conditions est toujours fini et elles peuvent être testées efficacement. Cependant, le principe de Hasse ne s'applique pas aux courbes de degré. Par exemple, 3x3 + 4y3=5 a des points dans tous les champs numériques p-adiques et dans un système de nombres réels, mais n'a pas de points rationnels.
Cette méthode a servi de point de départ à la construction d'un concept décrivant les classes d'espaces homogènes principaux des variétés abéliennes pour effectuer une "déviation" du principe de Hasse. Il est décrit en termes d'une structure spéciale qui peut être associée à chaque variété (groupe de Tate-Shafarevich). La principale difficulté de la théorie réside dans le fait que les méthodes de calcul des groupes sont difficiles à obtenir. Ce concept a également été étendu à d'autres classes de variétés algébriques.
Rechercher un algorithme pour remplir les inégalités
Une autre idée heuristique utilisée dans l'étude des équations diophantiennes est que si le nombre de variables impliquées dans un ensemble d'inégalités est grand, alors le système a généralement une solution. Cependant, cela est très difficile à prouver pour un cas particulier. L'approche générale des problèmes de ce type utilise la théorie analytique des nombres et est basée sur des estimations de sommes trigonométriques. Cette méthode était à l'origine appliquée à des types particuliers d'équations.
Cependant, plus tard, il a été prouvé avec son aide que si la forme d'un degré impair est F, en det n variables et à coefficients rationnels, alors n est assez grand devant d, donc l'hypersurface projective F=0 a un point rationnel. Selon la conjecture d'Artin, ce résultat est vrai même si n > d2. Cela n'a été prouvé que pour les formes quadratiques. Des problèmes similaires peuvent également être posés pour d'autres domaines. Le problème central de la géométrie diophantienne est la structure de l'ensemble des points entiers ou rationnels et leur étude, et la première question à clarifier est de savoir si cet ensemble est fini. Dans ce problème, la situation a généralement un nombre fini d'exécutions si le degré du système est beaucoup plus grand que le nombre de variables. C'est l'hypothèse de base.
Inégalités sur les lignes et les courbes
Le groupe X(K) peut être représenté comme une somme directe d'une structure libre de rang r et d'un groupe fini d'ordre n. Depuis les années 1930, on s'est posé la question de savoir si ces nombres sont bornés sur l'ensemble de toutes les courbes elliptiques sur un champ donné K. La bornité de la torsion n a été démontrée dans les années soixante-dix. Il existe des courbes de rang arbitrairement élevé dans le cas fonctionnel. Dans le cas numérique, il n'y a toujours pas de réponse à cette question.
Enfin, la conjecture de Mordell stipule que le nombre de points entiers est fini pour une courbe de genre g>1. Dans le cas fonctionnel, ce concept a été démontré par Yu. I. Manin en 1963. Le principal outil utilisé pour prouver les théorèmes de finitude en géométrie diophantienne est la hauteur. Parmi les variétés algébriques, les dimensions supérieures à un sont abéliennesles variétés, qui sont les analogues multidimensionnels des courbes elliptiques, ont été les plus étudiées.
A. Weil a généralisé le théorème sur la finitude du nombre de générateurs d'un groupe de points rationnels aux variétés abéliennes de toute dimension (le concept de Mordell-Weil), en l'étendant. Dans les années 1960, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est apparue, améliorant cela ainsi que le groupe et les fonctions zêta de la variété. Les preuves numériques appuient cette hypothèse.
Problème de solvabilité
Le problème de trouver un algorithme qui peut être utilisé pour déterminer si une équation diophantienne a une solution. Une caractéristique essentielle du problème posé est la recherche d'une méthode universelle qui conviendrait à toute inégalité. Une telle méthode permettrait également de résoudre les systèmes ci-dessus, puisqu'elle est équivalente à P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 ou p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Le problème de trouver un tel moyen universel pour trouver des solutions aux inégalités linéaires dans les nombres entiers a été posé par D. Gilbert.
Au début des années 1950 apparaissent les premières études visant à prouver l'inexistence d'un algorithme de résolution des équations diophantiennes. À cette époque, la conjecture de Davis est apparue, selon laquelle tout ensemble énumérable appartient également au scientifique grec. Parce que des exemples d'ensembles algorithmiquement indécidables sont connus, mais sont récursivement énumérables. Il s'ensuit que la conjecture de Davis est vraie et le problème de la solvabilité de ces équationsa une exécution négative.
Après cela, pour la conjecture de Davis, il reste à prouver qu'il existe une méthode pour transformer une inégalité qui a aussi (ou n'a pas) en même temps une solution. Il a été montré qu'un tel changement de l'équation diophantienne est possible si elle a les deux propriétés ci-dessus: 1) dans toute solution de ce type v ≦ uu; 2) pour tout k, il y a une exécution à croissance exponentielle.
Un exemple d'équation diophantienne linéaire de cette classe a complété la preuve. Le problème de l'existence d'un algorithme de résolution et de reconnaissance de ces inégalités en nombres rationnels est encore considéré comme une question importante et ouverte qui n'a pas été suffisamment étudiée.
