Dans l'article porté à votre connaissance, nous proposons des exemples de modèles mathématiques. De plus, nous porterons une attention particulière aux étapes de création de modèles et analyserons certaines des tâches associées à la modélisation mathématique.
Une autre de nos questions concerne les modèles mathématiques dans l'économie, des exemples, dont nous examinerons la définition un peu plus tard. Nous vous proposons de commencer notre conversation par le concept même de « modèle », d'examiner brièvement leur classification et de passer à nos principales questions.
Le concept de "modèle"
On entend souvent le mot "modèle". Qu'est-ce que c'est? Ce terme a de nombreuses définitions, en voici trois:
- un objet spécifique qui est créé pour recevoir et stocker des informations, reflétant certaines propriétés ou caractéristiques, etc., de l'original de cet objet (cet objet spécifique peut être exprimé sous différentes formes: mental, description à l'aide de signes, et ainsi de suite);
- modèle signifie également l'affichage de toute situation, vie oumanagérial;
- model peut servir de copie réduite de n'importe quel objet (ils sont créés pour une étude et une analyse plus détaillées, car le modèle reflète la structure et les relations).
Sur la base de tout ce qui a été dit précédemment, nous pouvons tirer une petite conclusion: le modèle permet d'étudier en détail un système ou un objet complexe.
Tous les modèles peuvent être classés selon plusieurs critères:
- par domaine d'utilisation (éducatif, expérimental, scientifique et technique, jeu, simulation);
- par dynamique (statique et dynamique);
- par branche de connaissance (physique, chimique, géographique, historique, sociologique, économique, mathématique);
- par voie de présentation (matérielle et informative).
Les modèles d'information, à leur tour, sont divisés en signes et verbaux. Et emblématique - sur ordinateur et non-ordinateur. Passons maintenant à un examen détaillé d'exemples de modèle mathématique.
Modèle mathématique
Comme vous pouvez le deviner, un modèle mathématique reflète certaines caractéristiques d'un objet ou d'un phénomène à l'aide de symboles mathématiques spéciaux. Les mathématiques sont nécessaires pour modéliser les modèles du monde environnant dans son propre langage spécifique.
La méthode de modélisation mathématique est née il y a assez longtemps, il y a des milliers d'années, avec l'avènement de cette science. Cependant, l'impulsion pour le développement de cette méthode de modélisation a été donnée par l'apparition des ordinateurs (ordinateurs électroniques).
Passons maintenant à la classification. Il peut également être réalisé selon certains signes. Ils sontsont présentées dans le tableau ci-dessous.
| Classement par branche scientifique | Application de modèles mathématiques en physique, sociologie, chimie, etc. |
| Selon l'appareil mathématique utilisé dans le processus de modélisation | Modèles basés sur des équations différentielles, des transformations algébriques discrètes, etc. |
| En modélisant les objectifs | Selon ce principe, il existe des modèles descriptifs, d'optimisation, multicritères, de jeu et de simulation |
Nous proposons de nous arrêter et d'examiner de plus près la dernière classification, car elle reflète les schémas généraux de modélisation et les objectifs des modèles en cours de création.
Modèles descriptifs
Dans ce chapitre, nous proposons de nous attarder plus en détail sur les modèles mathématiques descriptifs. Afin de rendre tout très clair, un exemple sera donné.
Pour commencer, cette vue peut être qualifiée de descriptive. Cela est dû au fait que nous ne faisons que des calculs et des prévisions, mais nous ne pouvons en aucun cas influencer le résultat de l'événement.
Un exemple frappant de modèle mathématique descriptif est le calcul de la trajectoire de vol, de la vitesse et de la distance de la Terre d'une comète qui a envahi l'immensité de notre système solaire. Ce modèle est descriptif, puisque tous les résultats obtenus ne peuvent que nous avertir d'un danger quelconque. Influencer le résultat de l'événement, hélas, nous ne le faisons pasPouvez. Cependant, sur la base des calculs obtenus, il est possible de prendre toutes les mesures pour sauver la vie sur Terre.
Modèles d'optimisation
Maintenant, nous allons parler un peu des modèles économiques et mathématiques, dont les exemples peuvent être des situations différentes. Dans ce cas, nous parlons de modèles qui aident à trouver la bonne réponse dans certaines conditions. Ils doivent avoir certains paramètres. Pour que ce soit très clair, considérons un exemple tiré de la partie agricole.
Nous avons un grenier, mais le grain se gâte très vite. Dans ce cas, nous devons choisir le bon régime de température et optimiser le processus de stockage.
Ainsi, nous pouvons définir le concept de "modèle d'optimisation". Au sens mathématique, il s'agit d'un système d'équations (à la fois linéaires et non), dont la solution aide à trouver la solution optimale dans une situation économique particulière. Nous avons considéré un exemple de modèle mathématique (optimisation), mais je voudrais ajouter: ce type appartient à la classe des problèmes extrêmes, ils aident à décrire le fonctionnement du système économique.
Notez une nuance supplémentaire: les modèles peuvent être de nature différente (voir tableau ci-dessous).
| déterministe | Dans ce cas, le résultat dépend des données d'entrée |
| stochastique | Description des processus aléatoires. Dans ce cas, le résultat reste indéfini |
Modèles multicritères
Maintenant, nous vous invitons à parler un peu demodèle mathématique d'optimisation multiobjectif. Avant cela, nous avons donné un exemple de modèle mathématique pour optimiser un processus selon un critère quelconque, mais que se passe-t-il s'il y en a beaucoup ?
Un exemple frappant d'une tâche multicritère est l'organisation d'une alimentation adéquate, saine et en même temps économique pour de grands groupes de personnes. Ces tâches se retrouvent souvent dans l'armée, les cantines scolaires, les camps d'été, les hôpitaux, etc.
Quels critères nous donne-t-on dans ce problème ?
- Les aliments doivent être sains.
- Les dépenses alimentaires doivent être réduites au minimum.
Comme vous pouvez le voir, ces objectifs ne coïncident pas du tout. Cela signifie que lors de la résolution d'un problème, il faut rechercher la solution optimale, un équilibre entre deux critères.
Modèles de jeu
En parlant de modèles de jeux, il est nécessaire de comprendre le concept de "théorie des jeux". En termes simples, ces modèles reflètent des modèles mathématiques de conflits réels. Sachez simplement que, contrairement à un vrai conflit, le modèle mathématique du jeu a ses propres règles spécifiques.
Maintenant, il y aura un minimum d'informations issues de la théorie des jeux qui vous aideront à comprendre ce qu'est un modèle de jeu. Et donc, dans le modèle, il y a nécessairement des parties (deux ou plus), qui sont généralement appelées joueurs.
Tous les modèles ont des caractéristiques.
| Sujets | Nombre de joueurs |
| Stratégie | Options pour les actions possibles |
| Paiement | Résultat du conflit (gagner ou perdre). |
Le modèle de jeu peut être jumelé ou multiple. Si nous avons deux sujets, alors le conflit est apparié, s'il y en a plus - multiple. On peut aussi distinguer un jeu antagoniste, on l'appelle aussi jeu à somme nulle. Il s'agit d'un modèle dans lequel le gain de l'un des participants est égal à la perte de l'autre.
Modèles de simulation
Dans cette section, nous nous intéresserons aux modèles mathématiques de simulation. Exemples de tâches:
- modèle de la dynamique du nombre de micro-organismes;
- modèle du mouvement des molécules, etc.
Dans ce cas, nous parlons de modèles aussi proches que possible des processus réels. Dans l'ensemble, ils imitent toute manifestation dans la nature. Dans le premier cas, par exemple, on peut modéliser la dynamique du nombre de fourmis dans une colonie. Dans ce cas, vous pouvez observer le sort de chaque individu. Dans ce cas, la description mathématique est rarement utilisée, le plus souvent il y a des conditions écrites:
- après cinq jours, la femelle pond des œufs;
- 20 jours plus tard, la fourmi meurt, et ainsi de suite.
Ainsi, les modèles de simulation sont utilisés pour décrire un grand système. La conclusion mathématique est le traitement des données statistiques reçues.
Exigences
Très importantsachez qu'il existe certaines exigences pour ce type de modèle, parmi lesquelles celles indiquées dans le tableau ci-dessous.
| Polyvalence | Cette propriété vous permet d'utiliser le même modèle pour décrire des groupes d'objets du même type. Il est important de noter que les modèles mathématiques universels sont totalement indépendants de la nature physique de l'objet étudié |
| Adéquation | Il est important de comprendre ici que cette propriété permet de reproduire le plus fidèlement possible des processus réels. Dans les problèmes de fonctionnement, cette propriété de la modélisation mathématique est très importante. Un exemple de modèle est le processus d'optimisation de l'utilisation d'un système de gaz. Dans ce cas, les indicateurs calculés et réels sont comparés, par conséquent, l'exactitude du modèle compilé est vérifiée |
| Précision | Cette exigence implique la coïncidence des valeurs que nous obtenons lors du calcul du modèle mathématique et des paramètres d'entrée de notre objet réel |
| Économie | L'exigence de rentabilité pour tout modèle mathématique se caractérise par les coûts de mise en œuvre. Si le travail avec le modèle est effectué manuellement, il est nécessaire de calculer combien de temps il faudra pour résoudre un problème à l'aide de ce modèle mathématique. Si nous parlons de conception assistée par ordinateur, les indicateurs du coût du temps et de la mémoire de l'ordinateur sont calculés |
Étapesmodélisation
Au total, il est d'usage de distinguer quatre étapes dans la modélisation mathématique.
- Formuler les lois qui lient les parties du modèle.
- Recherche de problèmes mathématiques.
- Clarifier la coïncidence des résultats pratiques et théoriques.
- Analyse et modernisation du modèle.
Modèle économique et mathématique
Dans cette section, nous soulignerons brièvement la question des modèles économiques et mathématiques. Exemples de tâches:
- formation d'un programme de production pour la production de produits à base de viande, assurant le maximum de profit de la production;
- maximiser le profit de l'organisation en calculant le nombre optimal de tables et de chaises à produire dans une usine de meubles, etc.
Le modèle économico-mathématique affiche une abstraction économique, exprimée à l'aide de termes et de signes mathématiques.
Modèle mathématique informatique
Exemples de modèles mathématiques informatiques:
- problèmes d'hydraulique à l'aide d'organigrammes, de diagrammes, de tableaux, etc.;
- problèmes de mécanique des solides, etc.
Le modèle informatique est une image d'un objet ou d'un système présenté comme:
- tables;
- organigrammes;
- schémas;
- graphiques, et ainsi de suite.
En même temps, ce modèle reflète la structure et les interconnexions du système.
Construire un modèle économico-mathématique
Nous avons déjà parlé de ce qu'est l'économiemodèle mathématique. Un exemple de résolution du problème sera considéré maintenant. Nous devons analyser le programme de production pour identifier la réserve d'augmentation des bénéfices avec un changement dans l'assortiment.
Nous n'examinerons pas complètement le problème, mais nous construirons seulement un modèle économique et mathématique. Le critère de notre tâche est la maximisation du profit. Alors la fonction a la forme: Л=р1х1+р2х2… tendant vers le maximum. Dans ce modèle, p est le profit par unité, x est le nombre d'unités produites. De plus, sur la base du modèle construit, il est nécessaire de faire des calculs et de résumer.
Un exemple de construction d'un modèle mathématique simple
Tâche. Le pêcheur est revenu avec la prise suivante:
- 8 poisson - habitants des mers du nord;
- 20% des prises - les habitants des mers du sud;
- pas un seul poisson n'a été trouvé dans la rivière locale.
Combien de poissons a-t-il acheté au magasin ?
Donc, un exemple de construction d'un modèle mathématique de ce problème est le suivant. Nous désignons le nombre total de poissons par x. Selon la condition, 0,2x est le nombre de poissons vivant aux latitudes sud. Maintenant, nous combinons toutes les informations disponibles et obtenons le modèle mathématique du problème: x=0, 2x+8. Nous résolvons l'équation et obtenons la réponse à la question principale: il a acheté 10 poissons dans le magasin.
