Même à l'école, tous les élèves se familiarisent avec le concept de "géométrie euclidienne", dont les principales dispositions s'articulent autour de plusieurs axiomes basés sur des éléments géométriques tels que le point, le plan, la ligne, le mouvement. Tous ensemble, ils forment ce que l'on a longtemps appelé "l'espace euclidien".
L'espace euclidien, dont la définition est basée sur le concept de multiplication scalaire de vecteurs, est un cas particulier d'espace linéaire (affine) qui satisfait un certain nombre d'exigences. Premièrement, le produit scalaire des vecteurs est absolument symétrique, c'est-à-dire que le vecteur de coordonnées (x; y) est quantitativement identique au vecteur de coordonnées (y; x), mais de sens opposé.
Deuxièmement, si le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est effectué, alors le résultat de cette action sera positif. La seule exception sera le cas où les coordonnées initiales et finales de ce vecteur sont égales à zéro: dans ce cas, son produit avec lui-même sera également égal à zéro.
Troisièmement, le produit scalaire est distributif, c'est-à-dire qu'il est possible de décomposer l'une de ses coordonnées en la somme de deux valeurs, ce qui n'entraînera aucun changement dans le résultat final de la multiplication scalaire des vecteurs. Enfin, quatrièmement, lorsque des vecteurs sont multipliés par le même nombre réel, leur produit scalaire augmentera également du même facteur.
Si ces quatre conditions sont remplies, nous pouvons dire avec confiance que nous avons un espace euclidien.
L'espace euclidien d'un point de vue pratique peut être caractérisé par les exemples spécifiques suivants:
- Le cas le plus simple est la présence d'un ensemble de vecteurs avec un produit scalaire défini selon les lois fondamentales de la géométrie.
- L'espace euclidien sera également obtenu si par vecteurs nous entendons un certain ensemble fini de nombres réels avec une formule donnée décrivant leur somme ou produit scalaire.
- Un cas particulier de l'espace euclidien est ce qu'on appelle l'espace zéro, qui est obtenu si la longueur scalaire des deux vecteurs est égale à zéro.
L'espace euclidien a un certain nombre de propriétés spécifiques. Premièrement, le facteur scalaire peut être retiré des parenthèses à la fois du premier et du deuxième facteur du produit scalaire, le résultat de cela ne changera en rien. Deuxièmement, avec la distributivité du premier élément du scalaireproduit, la distributivité du deuxième élément agit également. De plus, en plus de la somme scalaire des vecteurs, la distributivité a également lieu dans le cas de la soustraction vectorielle. Enfin, troisièmement, lorsqu'un vecteur est multiplié scalairement par zéro, le résultat sera également zéro.
Ainsi, l'espace euclidien est le concept géométrique le plus important utilisé pour résoudre les problèmes d'arrangement mutuel des vecteurs les uns par rapport aux autres, caractérisé par un concept tel que le produit scalaire.
