Vector est un objet géométrique important, à l'aide de ses propriétés, il est pratique de résoudre de nombreux problèmes sur le plan et dans l'espace. Dans cet article, nous allons le définir, considérer ses principales caractéristiques et montrer également comment un vecteur dans l'espace peut être utilisé pour définir des plans.
Qu'est-ce qu'un vecteur: cas bidimensionnel
Tout d'abord, il est nécessaire de bien comprendre de quel objet on parle. En géométrie, un segment orienté est appelé un vecteur. Comme tout segment, il est caractérisé par deux éléments principaux: les points de départ et d'arrivée. Les coordonnées de ces points déterminent de manière unique toutes les caractéristiques du vecteur.
Prenons un exemple de vecteur sur un plan. Pour ce faire, nous traçons deux axes mutuellement perpendiculaires x et y. Marquons un point arbitraire P(x, y). Si nous connectons ce point à l'origine (point O), puis spécifions la direction à P, nous obtenons alors le vecteur OP¯ (plus loin dans l'article, la barre au-dessus du symbole indique que nous considérons un vecteur). Le dessin vectoriel sur le plan est illustré ci-dessous.
Ici, un autre vecteur AB¯ est également affiché, et vous pouvez voir que ses caractéristiques sont exactement les mêmes que OP¯, mais il se trouve dans une partie différente du système de coordonnées. Par translation parallèle OP¯, vous pouvez obtenir un nombre infini de vecteurs avec les mêmes propriétés.
Vecteur dans l'espace
Tous les objets réels qui nous entourent sont dans un espace tridimensionnel. L'étude des propriétés géométriques des figures tridimensionnelles porte sur la stéréométrie, qui opère avec le concept de vecteurs tridimensionnels. Ils ne diffèrent des modèles bidimensionnels que par le fait que leur description nécessite une coordonnée supplémentaire, qui est mesurée le long du troisième axe perpendiculaire x et y z.
La figure ci-dessous montre un vecteur dans l'espace. Les coordonnées de son extrémité le long de chaque axe sont indiquées par des segments colorés. Le début du vecteur est situé au point d'intersection des trois axes de coordonnées, c'est-à-dire qu'il a les coordonnées (0; 0; 0).
Étant donné qu'un vecteur sur un plan est un cas particulier de segment orienté dans l'espace, nous ne considérerons dans l'article qu'un vecteur tridimensionnel.
Coordonnées vectorielles basées sur les coordonnées connues de son début et de sa fin
Supposons qu'il y a deux points P(x1; y1; z1) et Q(x2; y2; z2). Comment déterminer les coordonnées du vecteur PQ¯. Tout d'abord, il est nécessaire de convenir lequel des points sera le début et lequel la fin du vecteur. En mathématiques, il est d'usage d'écrire l'objet en question selon sa direction, c'est-à-dire que P est le début, Q- la fin. Deuxièmement, les coordonnées du vecteur PQ¯ sont calculées comme la différence entre les coordonnées correspondantes de la fin et du début, soit:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Notez qu'en changeant la direction du vecteur, ses coordonnées changeront de signe, comme suit:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Cela signifie PQ¯=-QP¯.
Il est important de comprendre encore une chose. Il a été dit plus haut que dans le plan il y a un nombre infini de vecteurs égaux à celui donné. Ce fait est également valable pour le cas spatial. En fait, lorsque nous avons calculé les coordonnées de PQ¯ dans l'exemple ci-dessus, nous avons effectué l'opération de translation parallèle de ce vecteur de manière à ce que son origine coïncide avec l'origine. Le vecteur PQ¯ peut être dessiné comme un segment dirigé de l'origine au point M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Propriétés vectorielles
Comme tout objet géométrique, un vecteur possède certaines caractéristiques inhérentes qui peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes. Énumérons-les brièvement.
Le module vectoriel est la longueur du segment orienté. Connaissant les coordonnées, il est facile de le calculer. Pour le vecteur PQ¯ dans l'exemple ci-dessus, le module est:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Module vectoriel activéplan est calculé par une formule similaire, uniquement sans la participation de la troisième coordonnée.
La somme et la différence des vecteurs sont effectuées selon la règle du triangle. La figure ci-dessous montre comment additionner et soustraire ces objets.
Pour obtenir le vecteur somme, ajoutez le début du second à la fin du premier vecteur. Le vecteur souhaité commencera au début du premier et se terminera à la fin du deuxième vecteur.
La différence est effectuée en tenant compte du fait que le vecteur soustrait est remplacé par l'opposé, puis l'opération d'addition décrite ci-dessus est effectuée.
Outre l'addition et la soustraction, il est important de pouvoir multiplier un vecteur par un nombre. Si le nombre est égal à k, alors un vecteur est obtenu dont le module est k fois différent de celui d'origine, et la direction est soit la même (k>0) soit opposée à celle d'origine (k<0).
L'opération de multiplication des vecteurs entre eux est également définie. Nous en ferons un paragraphe séparé dans l'article.
Multiplication scalaire et vectorielle
Supposons qu'il y a deux vecteurs u¯(x1; y1; z1) et v¯(x2; y2; z2). Vecteur par vecteur peut être multiplié de deux manières différentes:
- Scalaire. Dans ce cas, le résultat est un nombre.
- Vecteur. Le résultat est un nouveau vecteur.
Le produit scalaire des vecteurs u¯ et v¯ est calculé comme suit:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Où α est l'angle entre les vecteurs donnés.
On peut montrer que connaissant les coordonnées u¯ et v¯, leur produit scalaire peut être calculé à l'aide de la formule suivante:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Le produit scalaire est pratique à utiliser lors de la décomposition d'un vecteur en deux segments dirigés perpendiculairement. Il est également utilisé pour calculer le parallélisme ou l'orthogonalité des vecteurs et pour calculer l'angle entre eux.
Le produit croisé de u¯ et v¯ donne un nouveau vecteur perpendiculaire aux originaux et de module:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
La direction vers le bas ou vers le haut du nouveau vecteur est déterminée par la règle de la main droite (quatre doigts de la main droite sont dirigés de la fin du premier vecteur à la fin du second, et le pouce levé indique la direction du nouveau vecteur). La figure ci-dessous montre le résultat du produit croisé pour a¯ et b¯ arbitraires.
Le produit croisé est utilisé pour calculer les aires des figures, ainsi que pour déterminer les coordonnées d'un vecteur perpendiculaire à un plan donné.
Les vecteurs et leurs propriétés sont pratiques à utiliser lors de la définition de l'équation d'un plan.
Équation normale et générale du plan
Il existe plusieurs manières de définir un plan. L'une d'elles est la dérivation de l'équation générale du plan, qui découle directement de la connaissance du vecteur qui lui est perpendiculaire et d'un point connu appartenant au plan.
Supposons qu'il existe un vecteur n¯ (A; B; C) et un point P (x0; y0; z 0). Quelle condition satisfera tous les points Q(x; y; z) du plan ? Cette condition consiste en la perpendicularité de tout vecteur PQ¯ à la normale n¯. Pour deux vecteurs perpendiculaires, le produit scalaire devient nul (cos(90o)=0), écrivez ceci:
(n¯PQ¯)=0 ou
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
En ouvrant les parenthèses, on obtient:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 ou
Ax + By + Cz +D=0 où D=-Ax0-By0-Cz0.
Cette équation est dite générale pour le plan. On voit que les coefficients devant x, y et z sont les coordonnées du vecteur perpendiculaire n¯. C'est ce qu'on appelle un guide d'avion.
Équation paramétrique vectorielle du plan
La deuxième façon de définir un plan est d'utiliser deux vecteurs qui s'y trouvent.
Supposons qu'il existe des vecteurs u¯(x1; y1; z1) et v¯(x2; y2; z2). Comme il a été dit, chacun d'eux dans l'espace peut être représenté par un nombre infini de segments orientés identiques, par conséquent, un point de plus est nécessaire pour déterminer de manière unique le plan. Soit ce point P(x0;y0; z0). Tout point Q(x; y; z) se trouvera dans le plan désiré si le vecteur PQ¯ peut être représenté comme une combinaison de u¯ et v¯. Autrement dit, nous avons:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Où α et β sont des nombres réels. De cette égalité découle l'expression:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
C'est ce qu'on appelle une équation vectorielle paramétrique du plan par rapport à 2 vecteurs u¯ et v¯. En substituant des paramètres arbitraires α et β, on peut trouver tous les points (x; y; z) appartenant à ce plan.
À partir de cette équation, il est facile d'obtenir l'expression générale du plan. Pour ce faire, il suffit de trouver le vecteur directeur n¯, qui sera perpendiculaire aux deux vecteurs u¯ et v¯, c'est-à-dire qu'il faut appliquer leur produit vectoriel.
Le problème de la détermination de l'équation générale du plan
Montrons comment utiliser les formules ci-dessus pour résoudre des problèmes géométriques. Supposons que le vecteur directeur du plan est n¯(5; -3; 1). Vous devez trouver l'équation du plan, sachant que le point P(2; 0; 0) lui appartient.
L'équation générale s'écrit:
Ax + By + Cz +D=0.
Comme le vecteur perpendiculaire au plan est connu, l'équation prendra la forme:
5x - 3y + z +D=0.
Il reste à trouver le terme libre D. On le calcule à partir de la connaissance des coordonnées P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Ainsi, l'équation recherchée du plan a la forme:
5x - 3y + z -10=0.
La figure ci-dessous montre à quoi ressemble le plan résultant.
Les coordonnées indiquées des points correspondent aux intersections du plan avec les axes x, y et z.
Le problème de la détermination du plan par deux vecteurs et un point
Supposons maintenant que le plan précédent soit défini différemment. Deux vecteurs u¯(-2; 0; 10) et v¯(-2; -10/3; 0) sont connus, ainsi que le point P(2; 0; 0). Comment écrire l'équation du plan sous forme paramétrique vectorielle ? En utilisant la formule correspondante considérée, nous obtenons:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Notez que les définitions de cette équation du plan, les vecteurs u¯ et v¯ peuvent être pris absolument quelconques, mais à une condition: ils ne doivent pas être parallèles. Sinon, le plan ne peut pas être déterminé de manière unique, cependant, on peut trouver une équation pour une poutre ou un ensemble de plans.
