Si le mouvement linéaire des corps est décrit en mécanique classique à l'aide des lois de Newton, les caractéristiques du mouvement des systèmes mécaniques le long de trajectoires circulaires sont calculées à l'aide d'une expression spéciale, appelée équation des moments. De quels moments parle-t-on et quel est le sens de cette équation ? Ces questions et d'autres sont révélées dans l'article.
Moment de force
Tout le monde connaît bien la force newtonienne qui, agissant sur le corps, conduit à lui donner une accélération. Lorsqu'une telle force est appliquée à un objet fixé sur un certain axe de rotation, cette caractéristique est généralement appelée moment de force. L'équation du moment de force peut s'écrire comme suit:
M¯=L¯F¯
L'image expliquant cette expression est montrée ci-dessous.
Ici vous pouvez voir que la force F¯ est dirigée vers le vecteur L¯ sous un angle Φ. Le vecteur L¯ lui-même est supposé être dirigé de l'axe de rotation (indiqué par la flèche) vers le point d'applicationF¯.
La formule ci-dessus est un produit de deux vecteurs, donc M¯ est également directionnel. Où le moment de force M¯ sera-t-il tourné ? Cela peut être déterminé par la règle de la main droite (quatre doigts sont dirigés le long de la trajectoire de la fin du vecteur L¯ à la fin de F¯, et le pouce gauche indique la direction de M¯).
Dans la figure ci-dessus, l'expression du moment de force sous forme scalaire prendra la forme:
M=LFsin(Φ)
Si vous regardez attentivement la figure, vous pouvez voir que Lsin(Φ)=d, alors nous avons la formule:
M=réF
La valeur de d est une caractéristique importante dans le calcul du moment de force, car elle reflète l'efficacité du F appliqué au système. Cette valeur s'appelle le levier de force.
La signification physique de M réside dans la capacité de la force à faire tourner le système. Tout le monde peut sentir cette capacité s'il ouvre la porte par la poignée, en la poussant près des charnières, ou s'il essaie de dévisser l'écrou avec une clé courte et longue.
Équilibre du système
Le concept de moment de force est très utile lorsque l'on considère l'équilibre d'un système sur lequel agissent plusieurs forces et qui a un axe ou un point de rotation. Dans ce cas, appliquez la formule:
∑iMi¯=0
C'est-à-dire que le système sera en équilibre si la somme de tous les moments de forces qui lui sont appliqués est nulle. Notez que dans cette formule, il y a un signe vectoriel sur le moment, c'est-à-dire que lors de la résolution, il ne faut pas oublier de prendre en compte le signe de cequantités. La règle généralement acceptée est que la force agissante qui fait tourner le système dans le sens antihoraire crée un Mi¯.
positif
Un exemple frappant de problèmes de ce type sont les problèmes d'équilibre des leviers d'Archimède.
Moment d'élan
C'est une autre caractéristique importante du mouvement circulaire. En physique, il est décrit comme le produit de la quantité de mouvement et du levier. L'équation de la quantité de mouvement ressemble à ceci:
T¯=r¯p¯
Ici p¯ est le vecteur de quantité de mouvement, r¯ est le vecteur reliant le point matériel en rotation à l'axe.
La figure ci-dessous illustre cette expression.
Ici ω est la vitesse angulaire, qui apparaîtra plus loin dans l'équation du moment. Notez que la direction du vecteur T¯ est trouvée par la même règle que M¯. Dans la figure ci-dessus, la direction T¯ coïncidera avec le vecteur vitesse angulaire ω¯.
La signification physique de T¯ est la même que les caractéristiques de p¯ dans le cas d'un mouvement linéaire, c'est-à-dire que le moment cinétique décrit la quantité de mouvement de rotation (énergie cinétique stockée).
Moment d'inertie
La troisième caractéristique importante, sans laquelle il est impossible de formuler l'équation du mouvement d'un objet en rotation, est le moment d'inertie. Il apparaît en physique à la suite de transformations mathématiques de la formule du moment cinétique d'un point matériel. Laissez-nous vous montrer comment c'est fait.
Imaginons la valeurT¯ comme suit:
T¯=r¯mv¯, où p¯=mv¯
En utilisant la relation entre les vitesses angulaires et linéaires, nous pouvons réécrire cette expression comme suit:
T¯=r¯mr¯ω¯, où v¯=r¯ω¯
Écrivez la dernière expression comme suit:
T¯=r2mω¯
La valeur r2m est le moment d'inertie I d'un point de masse m qui effectue un mouvement circulaire autour d'un axe à une distance r de celui-ci. Ce cas particulier nous permet d'introduire l'équation générale du moment d'inertie pour un corps de forme quelconque:
I=∫m (r2dm)
I est une grandeur additive dont la signification réside dans l'inertie du système tournant. Plus I est grand, plus il est difficile de faire tourner le corps, et il faut un effort considérable pour l'arrêter.
Équation des moments
Nous avons considéré trois grandeurs dont le nom commence par le mot "moment". Cela a été fait intentionnellement, car ils sont tous connectés en une seule expression, appelée équation à 3 moments. Sortons-le.
Considérez l'expression du moment cinétique T¯:
T¯=Iω¯
Trouver comment la valeur de T¯ change dans le temps, on a:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Étant donné que la dérivée de la vitesse angulaire est égale à celle de la vitesse linéaire divisée par r, et en élargissant la valeur de I, on arrive à l'expression:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, où a¯=dv¯/dt est l'accélération linéaire.
Notez que le produit de la masse et de l'accélération n'est rien d'autre que la force externe agissante F¯. En conséquence, nous obtenons:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Nous sommes arrivés à une conclusion intéressante: la variation du moment cinétique est égale au moment de la force externe agissante. Cette expression est généralement écrite sous une forme légèrement différente:
M¯=Iα¯, où α¯=dω¯/dt - accélération angulaire.
Cette égalité s'appelle l'équation des moments. Il vous permet de calculer n'importe quelle caractéristique d'un corps en rotation, en connaissant les paramètres du système et l'ampleur de l'impact externe sur celui-ci.
Loi de conservation T¯
La conclusion obtenue dans le paragraphe précédent indique que si le moment externe des forces est égal à zéro, alors le moment cinétique ne changera pas. Dans ce cas, on écrit l'expression:
T¯=const. ou I1ω1¯=I2ω2 ¯
Cette formule s'appelle la loi de conservation de T¯. C'est-à-dire que tout changement dans le système ne modifie pas le moment cinétique total.
Ce fait est utilisé par les patineurs artistiques et les ballerines lors de leurs performances. Il est également utilisé s'il est nécessaire de faire tourner un satellite artificiel se déplaçant dans l'espace autour de son axe.
