L'étude du polynôme du second degré fait l'objet d'une grande attention dans le cours d'algèbre de huitième année. Si ce matériel est mal maîtrisé par l'étudiant, des problèmes sont inévitables aux examens de l'OGE et de l'examen d'État unifié, tant au niveau du profil qu'à la base. Les compétences obligatoires liées aux fonctions quadratiques comprennent le tracé et l'analyse de graphiques, la résolution d'équations.
La factorisation d'un trinôme carré est l'un des problèmes scolaires standards. Il est auxiliaire dans la résolution de l'inégalité par la méthode de l'intervalle.
Trouver les racines d'une équation
La première chose à faire pour factoriser un polynôme est de trouver ses racines.
Les racines sont des nombres qui transforment la somme des monômes du polynôme en zéro, ce qui ressemble graphiquement à une intersection avec l'axe horizontal. Ils sont déterminés à l'aide du discriminant ou du théorème de Vieta.
Le discriminant de l'axe du trinôme2 + bx + c est calculé par la formule: D=b2m- 4ac.
Dans le cas où le discriminant n'est pas négatif,les racines sont exprimées à travers elle et les coefficients polynomiaux:
x1 =1/2(-b + √D); x2 =1/2(-b - √D)
Si le discriminant est zéro, x1et x2sont identiques.
Pour résoudre certains trinômes, il est commode d'utiliser le théorème de Vieta:
x1 + x2 =-b: a; x1 × x2=c: a
Il faut une certaine dose d'intuition mathématique pour appliquer le théorème. L'essentiel est que, connaissant la somme et le produit de deux inconnues, récupérez ces nombres. S'ils existent, ils sont trouvés de manière unique (jusqu'à une permutation).
Vous pouvez vérifier la validité du théorème en calculant la somme et le produit des racines en termes généraux. Les formules pour x1 et x2 sont également vérifiées par substitution directe.
Règle de factorisation
Le problème peut être résolu en nombres réels si le polynôme a des racines. La décomposition est déterminée par la formule:
ax2 + bx + c=a(x - x1)(x - x2)
Exemples
Problème: trouver la factorisation des trinômes carrés.
a) x2 - 6x + 5
Solution: écrivez les coefficients du trinôme:
à=1; b=-6; c=5.
En utilisant le théorème de Vieta:
x1 + x2 =6;
x1 × x2=5.
On peut voir que x1 =1, x2 =5.
Si, d'après les égalités écrites du théorème,il est possible de trouver rapidement les racines, vous devez immédiatement procéder au calcul du discriminant.
Une fois les racines trouvées, vous devez les substituer dans la formule d'expansion:
x2 - 6x + 5=(x - 1)(x - 5)
Le résultat enregistré dans ce formulaire peut être considéré comme définitif.
b) 2x2 + x - 1
Solution:
a=2, b=1, c=-1.
Si le coefficient directeur est différent de 1, l'application du théorème de Vieta prend généralement plus de temps que la résolution par le discriminant, alors passons au calcul.
D=1 - 4 × 2 × (-1)=9.
x1=1/2; x2=-1.
La formule est:
2x2 + x - 1=2(x - 1/2)(x + 1).
c)x2 - 8x + 16
Solution:
à=1; b=-8; c=16.
D=0.
Puisque le discriminant est nul, on a le cas de la coïncidence des racines:
x1 =x2 =4.
Cette situation, cependant, n'est pas fondamentalement différente de celles envisagées précédemment.
x2 - 8x + 16=1(x - 4)(x - 4)
Le résultat s'écrit souvent: (x - 4)2.
d)x2 - 7x + 1
Solution:
à=1; b=-7; c=1.
D=45.
Cet exemple diffère des précédents en ce qu'une racine rationnelle ne peut pas être extraite du discriminant. Cela signifie que les racines du polynôme sont irrationnelles.
x1 =-1/2(7 + √45); x2 =-1/2(7 - √45).
Ou de manière équivalente, x1=-3, 5 - 1/2√45; x2 =-3, 5 + 1/2√45.
La dernière option est plus pratique à utiliser pour écrire l'expansion. En omettant le coefficient senior, ici égal à 1, on obtient:
x2- 7x + 1=(x + 3,5 + 1/2√45)(x + 3,5 - 1/2√45)
Pour le cas où le discriminant est négatif, la réponse suivante est suffisante dans le cadre du programme scolaire: le trinôme n'a pas de racine et, par conséquent, ne peut pas être factorisé. De tels trinômes sont aussi appelés irréductibles. Il est important de comprendre que nous ne parlons que de la présence ou de l'absence de racines réelles.
Si l'on considère le corps des nombres complexes, la factorisation d'un trinôme carré est possible avec n'importe quel discriminant.
Erreurs typiques
1) Au tout début de l'étude d'un polynôme, beaucoup de gens écrivent les coefficients de manière incorrecte, par exemple, ils font attention à l'ordre des monômes dans la notation.
Donc, le facteur dominant a dans l'équation 101 est 79x + 38x2est 38, et non 101 comme vous pourriez le penser.
Une autre erreur associée aux coefficients de l'équation est la "perte de signe". Dans le même exemple, coefficient b=-79, et non 79.
2) En s'habituant à utiliser le théorème de Vieta pour le cas où a=1, les écoliers oublient parfois sa formulation complète. Dans le polynôme du premier paragraphe, il est incorrect de supposer que la somme des racines est 79, puisque le premier coefficient est différent de 1.
3) Les erreurs de calcul sont le problème le plus courant chez les étudiants. Dans de nombreux cas, la vérification permet de les éviter.substitution.
Polynômes du troisième degré et plus
Les polynômes d'un degré supérieur sont rarement considérés à l'école, car le problème de trouver des racines pour les polynômes du troisième degré et plus est laborieux. Il existe des algorithmes de complexité de calcul élevée pour développer un polynôme du troisième et du quatrième degré. Pour le cinquième degré et au-dessus, un théorème sur l'insolvabilité de l'équation en radicaux sous forme générale est démontré.
Les cas particuliers de ces polynômes, qui peuvent être considérés au lycée, sont caractérisés par la présence de racines rationnelles facilement sélectionnables. Le nombre de ces derniers ne peut excéder le degré du polynôme. Lorsque vous travaillez avec le plan complexe, leur nombre est exactement le même que le degré le plus élevé.
Les polynômes de degré impair ont toujours au moins une racine réelle. C'est facile à montrer graphiquement - une fonction continue donnée par un tel polynôme a à la fois des valeurs positives et négatives, ce qui signifie qu'elle passe par 0.
Toutes les racines de deux polynômes coïncident si et seulement si leurs coefficients sont proportionnels.
En général, le problème de trouver des racines et le problème de construire une décomposition peuvent être considérés comme équivalents.
