Pour beaucoup de gens, l'analyse mathématique n'est qu'un ensemble de nombres, d'icônes et de définitions incompréhensibles qui sont loin de la réalité. Cependant, le monde dans lequel nous existons est construit sur des modèles numériques, dont l'identification permet non seulement d'apprendre sur le monde qui nous entoure et de résoudre ses problèmes complexes, mais aussi de simplifier les tâches pratiques quotidiennes. Que veut dire un mathématicien lorsqu'il dit qu'une suite de nombres converge ? Cela devrait être discuté plus en détail.
Qu'est-ce qu'un infinitésimal ?
Imaginons des poupées matriochka qui s'emboîtent les unes dans les autres. Leurs tailles, écrites sous forme de nombres, commençant par le plus grand et finissant par le plus petit d'entre eux, forment une séquence. Si vous imaginez un nombre infini de ces chiffres brillants, la ligne résultante sera incroyablement longue. Il s'agit d'une suite de nombres convergents. Et il tend vers zéro, puisque la taille de chaque poupée gigogne suivante, diminuant de manière catastrophique, se transforme progressivement en néant. Alors c'est facilepeut être expliqué: ce qui est infinitésimal.
Un exemple similaire serait une route menant au loin. Et les dimensions visuelles de la voiture s'éloignant de l'observateur le long de celle-ci, se rétrécissant progressivement, se transforment en un point informe ressemblant à un point. Ainsi, la machine, comme un objet, s'éloignant dans une direction inconnue, devient infiniment petite. Les paramètres du corps spécifié ne seront jamais nuls au sens littéral du terme, mais tendront invariablement vers cette valeur dans la limite finale. Par conséquent, cette suite converge à nouveau vers zéro.
Calculer tout goutte à goutte
Imaginons maintenant une situation mondaine. Le médecin a prescrit au patient de prendre le médicament, en commençant par dix gouttes par jour et en ajoutant deux le lendemain. Et donc le médecin a suggéré de continuer jusqu'à ce que le contenu du flacon de médicament, dont le volume est de 190 gouttes, soit épuisé. Il résulte de ce qui précède que le nombre de tels, programmés par jour, sera la série de numéros suivante: 10, 12, 14 et ainsi de suite.
Comment connaître le temps pour terminer l'intégralité du parcours et le nombre de membres de la séquence ? Ici, bien sûr, on peut compter les gouttes de manière primitive. Mais il est beaucoup plus facile, étant donné le modèle, d'utiliser la formule pour la somme d'une progression arithmétique avec un pas d=2. Et en utilisant cette méthode, découvrez que le nombre de membres de la série de nombres est 10. Dans ce cas, a10=28. Le nombre de pénis indique le nombre de jours de prise du médicament, et 28 correspond au nombre de gouttes que le patient doitutiliser le dernier jour. Cette suite converge-t-elle ? Non, car malgré le fait qu'elle soit limitée à 10 d'en bas et 28 d'en haut, une telle série de nombres n'a pas de limite, contrairement aux exemples précédents.
Quelle est la différence ?
Essayons maintenant de clarifier: quand la série de nombres s'avère être une séquence convergente. Une telle définition, comme on peut le conclure de ce qui précède, est directement liée au concept de limite finie, dont la présence révèle l'essence du problème. Alors, quelle est la différence fondamentale entre les exemples précédemment donnés ? Et pourquoi dans le dernier d'entre eux, le nombre 28 ne peut pas être considéré comme la limite de la série de nombres X =10 + 2(n-1) ?
Pour clarifier cette question, considérons une autre séquence donnée par la formule ci-dessous, où n appartient à l'ensemble des nombres naturels.
Cette communauté de membres est un ensemble de fractions communes, dont le numérateur est 1, et le dénominateur est constamment croissant: 1, ½ …
De plus, chaque représentant successif de cette série se rapproche de plus en plus de 0 en termes de localisation sur la droite numérique. Et cela signifie qu'un tel voisinage apparaît là où les points se regroupent autour de zéro, qui est la limite. Et plus ils en sont proches, plus leur concentration sur la droite numérique devient dense. Et la distance entre eux est catastrophiquement réduite, devenant infinitésimale. C'est un signe que la suite est en train de converger.
SimilaireAinsi, les rectangles multicolores représentés sur la figure, lorsqu'ils s'éloignent dans l'espace, sont visuellement plus encombrés, dans la limite hypothétique devenant négligeable.
Séquences infiniment grandes
Après avoir analysé la définition d'une suite convergente, passons aux contre-exemples. Beaucoup d'entre eux sont connus de l'homme depuis l'Antiquité. Les variantes les plus simples des suites divergentes sont les séries de nombres naturels et pairs. Ils sont dits infiniment grands d'une manière différente, puisque leurs membres, sans cesse croissants, se rapprochent de plus en plus de l'infini positif.
Un exemple de cela peut également être l'une des progressions arithmétiques et géométriques avec un pas et un dénominateur, respectivement, supérieurs à zéro. De plus, les séries numériques sont considérées comme des séquences divergentes, qui n'ont aucune limite. Par exemple, X =(-2) -1.
Suite de Fibonacci
Les avantages pratiques de la série de nombres mentionnés précédemment pour l'humanité sont indéniables. Mais il existe d'innombrables autres grands exemples. L'une d'elles est la suite de Fibonacci. Chacun de ses membres, qui commence par un, est la somme des précédents. Ses deux premiers représentants sont 1 et 1. Le troisième 1+1=2, le quatrième 1+2=3, le cinquième 2+3=5. De plus, selon la même logique, les nombres 8, 13, 21 et ainsi de suite suivent.
Cette série de nombres augmente indéfiniment et n'a paslimite finale. Mais il a une autre propriété merveilleuse. Le rapport de chaque nombre précédent au suivant se rapproche de plus en plus de sa valeur à 0, 618. Ici, vous pouvez comprendre la différence entre une séquence convergente et divergente, car si vous effectuez une série de divisions partielles reçues, le système numérique indiqué sera ont une limite finie égale à 0,618.
Séquence des rapports de Fibonacci
La série de chiffres indiquée ci-dessus est largement utilisée à des fins pratiques pour l'analyse technique des marchés. Mais cela ne se limite pas à ses capacités, que les Égyptiens et les Grecs connaissaient et pouvaient mettre en pratique dans les temps anciens. Ceci est prouvé par les pyramides qu'ils ont construites et le Parthénon. Après tout, le nombre 0,618 est un coefficient constant du nombre d'or, bien connu autrefois. Selon cette règle, tout segment arbitraire peut être divisé de sorte que le rapport entre ses parties coïncide avec le rapport entre le plus grand des segments et la longueur totale.
Construisons une série des relations indiquées et essayons d'analyser cette séquence. La série de numéros sera la suivante: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 et ainsi de suite. En continuant ainsi, on peut s'assurer que la limite de la suite convergente sera bien 0, 618. Cependant, il faut noter d'autres propriétés de cette régularité. Ici, les chiffres semblent aller au hasard, et pas du tout dans l'ordre croissant ou décroissant. Cela signifie que cette suite convergente n'est pas monotone. Pourquoi il en est ainsi sera discuté plus loin.
Monotonicité et limitation
Les membres de la série de nombres peuvent clairement diminuer avec l'augmentation du nombre (si x1>x2>x3>…>x >…) ou croissant (si x1<x2<x3<…<x <…). Dans ce cas, la suite est dite strictement monotone. D'autres modèles peuvent également être observés, où la série numérique sera non décroissante et non croissante (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… ou x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), alors celle successivement convergente est aussi monotone, mais pas au sens strict. Un bon exemple de la première de ces options est la série de nombres donnée par la formule suivante.
Après avoir peint les chiffres de cette série, vous pouvez voir qu'aucun de ses membres, s'approchant indéfiniment de 1, ne dépassera jamais cette valeur. Dans ce cas, la suite convergente est dite bornée. Cela se produit chaque fois qu'il existe un tel nombre positif M, qui est toujours supérieur à l'un des termes de la série modulo. Si une série de nombres a des signes de monotonie et a une limite, et donc converge, alors elle est nécessairement dotée d'une telle propriété. Et le contraire n'est pas forcément vrai. Ceci est mis en évidence par le théorème de délimitation pour une suite convergente.
L'application de telles observations dans la pratique est très utile. Donnons un exemple précis en examinant les propriétés de la séquence X =n/n+1, et prouver sa convergence. Il est facile de montrer qu'il est monotone, puisque (x +1 – x) est un nombre positif pour n'importe quelles valeurs de n. La limite de la suite est égale au nombre 1, ce qui signifie que toutes les conditions du théorème ci-dessus, également appelé théorème de Weierstrass, sont satisfaites. Le théorème sur la délimitation d'une suite convergente stipule que si elle a une limite, alors dans tous les cas elle s'avère bornée. Prenons cependant l'exemple suivant. La série de nombres X =(-1) est bornée en bas par -1 et en haut par 1. Mais cette séquence n'est pas monotone, n'a pas limite, et donc ne converge pas. Autrement dit, l'existence d'une limite et la convergence ne découlent pas toujours de la limitation. Pour que cela fonctionne, les limites inférieure et supérieure doivent correspondre, comme dans le cas des ratios de Fibonacci.
Nombres et lois de l'Univers
Les variantes les plus simples d'une suite convergente et divergente sont peut-être les séries numériques X =n et X =1/n. Le premier d'entre eux est une suite naturelle de nombres. Il est, comme déjà mentionné, infiniment grand. La deuxième séquence convergente est bornée et ses termes sont proches de l'infinitésimal en grandeur. Chacune de ces formules personnifie l'un des côtés de l'Univers aux multiples facettes, aidant une personne à imaginer et à calculer quelque chose d'inconnaissable, inaccessible à une perception limitée dans le langage des nombres et des signes.
Les lois de l'univers, allant de négligeable à incroyablement grand, expriment également le nombre d'or de 0,618.ils croient qu'elle est la base de l'essence des choses et qu'elle est utilisée par la nature pour former ses parties. Les relations entre les membres suivants et précédents de la série de Fibonacci, que nous avons déjà évoquées, ne complètent pas la démonstration des étonnantes propriétés de cette série unique. Si nous considérons le quotient de la division du terme précédent par le suivant par un, alors nous obtenons une série de 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 et ainsi de suite. Il est intéressant de noter que cette séquence limitée converge, elle n'est pas monotone, mais le rapport des nombres voisins extrêmes d'un certain membre est toujours approximativement égal à 0,382, ce qui peut également être utilisé dans l'architecture, l'analyse technique et d'autres industries.
Il existe d'autres coefficients intéressants de la série de Fibonacci, ils jouent tous un rôle particulier dans la nature et sont également utilisés par l'homme à des fins pratiques. Les mathématiciens sont sûrs que l'Univers se développe selon une certaine "spirale dorée", formée à partir des coefficients indiqués. Avec leur aide, il est possible de calculer de nombreux phénomènes se produisant sur Terre et dans l'espace, de la croissance du nombre de certaines bactéries au déplacement de comètes lointaines. Il s'avère que le code ADN obéit à des lois similaires.
Progression géométrique décroissante
Il existe un théorème qui affirme l'unicité de la limite d'une suite convergente. Cela signifie qu'il ne peut pas avoir deux ou plusieurs limites, ce qui est sans aucun doute important pour trouver ses caractéristiques mathématiques.
Regardons quelquescas. Toute série numérique composée de membres d'une progression arithmétique est divergente, sauf pour le cas avec un pas nul. Il en est de même d'une progression géométrique dont le dénominateur est supérieur à 1. Les bornes de telles séries numériques sont le « plus » ou le « moins » de l'infini. Si le dénominateur est inférieur à -1, il n'y a aucune limite. D'autres options sont possibles.
Considérez la série de nombres donnée par la formule X =(1/4) -1. A première vue, il est facile de voir que cette suite convergente est bornée car elle est strictement décroissante et ne peut en aucun cas prendre des valeurs négatives.
Écrivons un certain nombre de ses membres à la suite.
Il se révélera: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 et ainsi de suite. Des calculs assez simples suffisent pour comprendre à quelle vitesse cette progression géométrique diminue à partir des dénominateurs 0<q<1. Alors que le dénominateur des termes augmente indéfiniment, ils deviennent eux-mêmes infinitésimaux. Cela signifie que la limite de la série de nombres est 0. Cet exemple démontre une fois de plus la nature limitée de la suite convergente.
Séquences fondamentales
Augustin Louis Cauchy, un scientifique français, a révélé au monde de nombreux travaux liés à l'analyse mathématique. Il a donné des définitions à des concepts tels que différentiel, intégral, limite et continuité. Il a également étudié les propriétés de base des séquences convergentes. Afin de comprendre l'essence de ses idées,quelques détails importants doivent être résumés.
Au tout début de l'article, il a été montré qu'il existe de telles séquences pour lesquelles il existe un voisinage où les points représentant les membres d'une certaine série sur la ligne réelle commencent à se regrouper, s'alignant de plus en plus à forte densité. Dans le même temps, la distance entre eux diminue à mesure que le nombre du représentant suivant augmente, devenant infiniment petit. Ainsi, il s'avère que dans un voisinage donné un nombre infini de représentants d'une série donnée sont regroupés, alors qu'en dehors de celui-ci il y en a un nombre fini. De telles séquences sont dites fondamentales.
Le célèbre critère de Cauchy, créé par un mathématicien français, indique clairement que la présence d'une telle propriété suffit à prouver que la suite converge. L'inverse est également vrai.
Il convient de noter que cette conclusion du mathématicien français est surtout d'un intérêt purement théorique. Son application en pratique est considérée comme une question assez compliquée, par conséquent, afin de clarifier la convergence des séries, il est beaucoup plus important de prouver l'existence d'une limite finie pour une suite. Sinon, il est considéré comme divergent.
Lors de la résolution de problèmes, il faut également tenir compte des propriétés de base des suites convergentes. Ils sont présentés ci-dessous.
Sommes infinies
Des scientifiques célèbres de l'Antiquité comme Archimède, Euclide, Eudoxe ont utilisé les sommes de séries de nombres infinis pour calculer les longueurs des courbes, les volumes des corpset les zones de chiffres. En particulier, de cette manière, il a été possible de connaître l'aire du segment parabolique. Pour cela, la somme des séries numériques d'une progression géométrique avec q=1/4 a été utilisée. Les volumes et les aires d'autres figures arbitraires ont été trouvés de la même manière. Cette option s'appelait la méthode "d'épuisement". L'idée était que le corps étudié, de forme complexe, était divisé en parties, qui étaient des figures avec des paramètres facilement mesurables. Pour cette raison, il n'était pas difficile de calculer leurs superficies et leurs volumes, puis ils s'additionnaient.
Au fait, des tâches similaires sont très familières aux écoliers modernes et se retrouvent dans les tâches USE. La méthode unique, trouvée par des ancêtres lointains, est de loin la solution la plus simple. Même s'il n'y a que deux ou trois parties en lesquelles la figure numérique est divisée, l'addition de leurs aires est toujours la somme de la série de nombres.
Beaucoup plus tard que les anciens scientifiques grecs Leibniz et Newton, sur la base de l'expérience de leurs sages prédécesseurs, ont appris les modèles de calcul intégral. La connaissance des propriétés des séquences les a aidés à résoudre des équations différentielles et algébriques. À l'heure actuelle, la théorie des séries, créée par les efforts de nombreuses générations de scientifiques talentueux, permet de résoudre un grand nombre de problèmes mathématiques et pratiques. Et l'étude des suites numériques a été le principal problème résolu par l'analyse mathématique depuis ses débuts.
