Les étudiants en mathématiques supérieures doivent être conscients que la somme de certaines séries de puissance appartenant à l'intervalle de convergence de la série donnée s'avère être une fonction continue et illimitée de fois différenciée. La question se pose: est-il possible d'affirmer qu'une fonction arbitraire donnée f(x) est la somme de certaines séries de puissances ? Autrement dit, sous quelles conditions la fonction f(x) peut-elle être représentée par une série entière ? L'importance de cette question réside dans le fait qu'il est possible de remplacer approximativement la fonction f(x) par la somme des premiers termes de la série entière, c'est-à-dire par un polynôme. Un tel remplacement d'une fonction par une expression assez simple - un polynôme - est également pratique pour résoudre certains problèmes d'analyse mathématique, à savoir: lors de la résolution d'intégrales, lors du calcul d'équations différentielles, etc.
Il a été prouvé que pour certaines fonctions f(х) où les dérivées jusqu'au (n+1)ème ordre, y compris la dernière, peuvent être calculées au voisinage de (α - R; x0 + R) d'un point x=α la formule est valide:
Cette formule porte le nom du célèbre scientifique Brook Taylor. La série obtenue à partir de la précédente s'appelle la série de Maclaurin:
La règle qui permet de se développer dans une série Maclaurin:
- Déterminer les dérivées des premier, deuxième, troisième… ordres.
- Calculez à quoi sont égales les dérivées en x=0.
- Enregistrer la série de Maclaurin pour cette fonction, puis déterminer l'intervalle de sa convergence.
- Déterminer l'intervalle (-R;R) où le reste de la formule de Maclaurin
R (x) -> 0 pour n -> infini. S'il en existe une, la fonction f(x) qu'elle contient doit coïncider avec la somme de la série de Maclaurin.
Considérons maintenant la série Maclaurin pour les fonctions individuelles.
1. Ainsi, le premier sera f(x)=ex. Bien sûr, selon ses caractéristiques, une telle fonction a des dérivées de différents ordres, et f(k)(x)=ex, où k est égal à tous nombres naturels. Remplaçons x=0. On obtient f(k)(0)=e0=1, k=1, 2… ressemblerait à ceci:
2. La série de Maclaurin pour la fonction f(x)=sin x. Précisez immédiatement que la fonction pour toutes les inconnues aura des dérivées, en plus de f'(x)=cos x=sin(x+n/2), f '' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f(k)(x)=sin(x+k n/2), où k est égal à tout nombre naturel. Autrement dit, après avoir effectué des calculs simples, nous pouvons arriver à la conclusion que la série pour f(x)=sin x ressemblera à ceci:
3. Essayons maintenant de considérer la fonction f(x)=cos x. Elle est pour tous les inconnusa des dérivées d'ordre arbitraire, et |f(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Encore une fois, après avoir fait quelques calculs, nous obtenons que la série pour f(x)=cos x ressemblera à ceci:
Donc, nous avons répertorié les fonctions les plus importantes qui peuvent être étendues dans la série Maclaurin, mais elles sont complétées par la série Taylor pour certaines fonctions. Nous allons maintenant les lister. Il convient également de noter que les séries de Taylor et de Maclaurin sont une partie importante de la pratique de la résolution de séries en mathématiques supérieures. Donc, la série Taylor.
1. La première sera une série pour f-ii f(x)=ln(1+x). Comme dans les exemples précédents, étant donné f (x)=ln (1 + x), nous pouvons ajouter une série en utilisant la forme générale de la série de Maclaurin. cependant, pour cette fonction, la série de Maclaurin peut être obtenue beaucoup plus simplement. Après intégration d'une certaine série géométrique, on obtient une série pour f(x)=ln(1+x) de cet échantillon:
2. Et le second, qui sera final dans notre article, sera une série pour f (x) u003d arctg x. Pour x appartenant à l'intervalle [-1;1], le développement est valide:
C'est tout. Cet article a examiné les séries de Taylor et de Maclaurin les plus couramment utilisées en mathématiques supérieures, en particulier dans les universités économiques et techniques.
