Inégalités et systèmes d'inégalités est l'un des sujets enseignés en algèbre au lycée. En termes de difficulté, ce n'est pas le plus difficile, car il a des règles simples (à leur sujet un peu plus tard). En règle générale, les écoliers apprennent assez facilement la résolution de systèmes d'inégalités. Cela est également dû au fait que les enseignants se contentent de "former" leurs élèves sur ce sujet. Et ils ne peuvent que le faire, car il est étudié à l'avenir avec l'utilisation d'autres quantités mathématiques, et est également vérifié pour l'OGE et l'examen d'État unifié. Dans les manuels scolaires, le sujet des inégalités et des systèmes d'inégalités est traité en détail, donc si vous allez l'étudier, il est préférable d'y recourir. Cet article n'est qu'une paraphrase de beaucoup de matériel et peut contenir quelques omissions.
Le concept de système d'inégalités
Si nous nous tournons vers le langage scientifique, nous pouvons définir le concept de "systèmeIl s'agit d'un tel modèle mathématique qui représente plusieurs inégalités. Bien sûr, ce modèle nécessite une solution, et ce sera la réponse générale pour toutes les inégalités du système proposé dans la tâche (généralement, il est écrit comme ceci, pour exemple: "Résolvez le système d'inéquations 4 x + 1 > 2 et 30 - x > 6… ").
Systèmes d'inégalités et systèmes d'équations
Lors de l'apprentissage d'un nouveau sujet, des malentendus surgissent souvent. D'une part, tout est clair et je préfère commencer à résoudre des tâches, mais d'autre part, certains moments restent dans "l'ombre", ils ne sont pas bien compris. De plus, certains éléments de connaissances déjà acquises peuvent être entrelacés avec de nouveaux. Des erreurs se produisent souvent à la suite de ce chevauchement.
Par conséquent, avant de procéder à l'analyse de notre sujet, nous devons rappeler les différences entre les équations et les inégalités, leurs systèmes. Pour ce faire, il est nécessaire de clarifier une fois de plus ce que sont ces concepts mathématiques. Une équation est toujours une égalité, et elle est toujours égale à quelque chose (en mathématiques, ce mot est désigné par le signe "="). L'inégalité est un modèle dans lequel une valeur est supérieure ou inférieure à une autre, ou contient l'affirmation qu'elles ne sont pas identiques. Ainsi, dans le premier cas, il convient de parler d'égalité, et dans le second, aussi évident que cela puisse paraître d'aprèsle nom lui-même, sur l'inégalité des données initiales. Les systèmes d'équations et d'inégalités ne diffèrent pratiquement pas les uns des autres et les méthodes pour leur résolution sont les mêmes. La seule différence est que le premier utilise des égalités tandis que le second utilise des inégalités.
Types d'inégalités
Il existe deux types d'inégalités: numériques et à variable inconnue. Le premier type est fourni des valeurs (nombres) qui ne sont pas égales les unes aux autres, par exemple, 8 > 10. Le deuxième type est des inégalités contenant une variable inconnue (indiquée par une lettre de l'alphabet latin, le plus souvent X). Cette variable doit être trouvée. Selon leur nombre, le modèle mathématique distingue les inégalités à une (elles forment un système d'inégalités à une variable) ou à plusieurs variables (elles forment un système d'inégalités à plusieurs variables).
Les deux derniers types, selon le degré de leur construction et le niveau de complexité de la solution, sont divisés en simple et complexe. Les inégalités simples sont aussi appelées inégalités linéaires. Ils sont à leur tour divisés en stricts et non stricts. Strict spécifiquement "dire" qu'une valeur doit être inférieure ou supérieure, il s'agit donc d'une pure inégalité. Il existe plusieurs exemples: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, etc. Les non-stricts incluent également l'égalité. C'est-à-dire qu'une valeur peut être supérieure ou égale à une autre valeur (signe "≧") ou inférieure ou égale à une autre valeur (signe "≦"). Toujours en ligneDans les inégalités, la variable ne se tient pas à la racine, au carré, n'est divisible par rien, c'est pourquoi elles sont dites "simples". Les complexes comprennent des variables inconnues, dont la découverte nécessite davantage d'opérations mathématiques. Ils sont souvent dans un carré, un cube ou sous la racine, ils peuvent être modulaires, logarithmiques, fractionnaires, etc. Mais puisque notre tâche est de comprendre la solution de systèmes d'inégalités, nous parlerons d'un système d'inégalités linéaires. Cependant, avant cela, il convient de dire quelques mots sur leurs propriétés.
Propriétés des inégalités
Les propriétés des inégalités comprennent les dispositions suivantes:
- Le signe d'inégalité est inversé si l'opération pour changer la séquence des côtés est appliquée (par exemple, si t1 ≦ t2, puis t 2 ≧ t1).
- Les deux parties de l'inégalité vous permettent d'ajouter le même nombre à vous-même (par exemple, si t1 ≦ t2, puis t 1 + nombre ≦ t2 + nombre).
- Deux ou plusieurs inégalités avec le signe de la même direction permettent d'additionner leurs parties gauche et droite (par exemple, si t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, puis t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Les deux parties de l'inégalité se laissent multiplier ou diviser par le même nombre positif (par exemple, si t1 ≦ t2et nombre ≦ 0, puis nombre t1 ≧ nombre t2).
- Deux ou plusieurs inégalités qui ont des termes positifs et un signe de même direction permettentse multiplier (par exemple, si t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 puis t1 t3 ≦ t2 t4).
- Les deux parties de l'inégalité se laissent multiplier ou diviser par le même nombre négatif, mais le signe de l'inégalité change (par exemple, si t1 ≦ t2 et nombre ≦ 0, puis nombre t1 ≧ nombre t2).
- Toutes les inégalités sont transitives (par exemple, si t1 ≦ t2 et t2≦ t3, puis t1 ≦ t3).
Maintenant, après avoir étudié les principales dispositions de la théorie relatives aux inégalités, nous pouvons passer directement à l'examen des règles de résolution de leurs systèmes.
Solution des systèmes d'inégalités. Informations générales. Solution
Comme mentionné ci-dessus, la solution correspond aux valeurs de la variable qui correspondent à toutes les inégalités du système donné. La solution de systèmes d'inégalités est la mise en œuvre d'opérations mathématiques qui conduisent finalement à la solution de l'ensemble du système ou prouvent qu'il n'a pas de solutions. Dans ce cas, on dit que la variable fait référence à l'ensemble vide de nombres (écrit comme suit: la lettre désignant la variable ∈ (le signe "appartient") ø (le signe "ensemble vide"), par exemple, x ∈ ø (il se lit comme ceci: "La variable "x" appartient à l'ensemble vide"). Il existe plusieurs manières de résoudre des systèmes d'inéquations:méthode graphique, algébrique, de substitution. Il convient de noter qu'ils se réfèrent à ces modèles mathématiques qui ont plusieurs variables inconnues. Dans le cas où il n'y en a qu'un, la méthode d'espacement fera l'affaire.
Méthode graphique
Permet de résoudre un système d'inéquations à plusieurs inconnues (parmi deux ou plus). Grâce à cette méthode, le système d'inégalités linéaires est résolu assez facilement et rapidement, c'est donc la méthode la plus courante. En effet, le traçage réduit la quantité d'opérations mathématiques d'écriture. Il devient particulièrement agréable de faire une petite pause du stylo, de prendre un crayon avec une règle et de procéder à d'autres actions avec leur aide lorsque beaucoup de travail a été fait et que vous voulez un peu de variété. Cependant, certains n'aiment pas cette méthode en raison du fait que vous devez vous éloigner de la tâche et passer votre activité mentale au dessin. Cependant, c'est un moyen très efficace.
Pour résoudre un système d'inéquations à l'aide d'une méthode graphique, il est nécessaire de transférer tous les membres de chaque inégalité sur leur côté gauche. Les signes seront inversés, zéro doit être écrit à droite, puis chaque inégalité doit être écrite séparément. En conséquence, les fonctions seront obtenues à partir des inégalités. Après cela, vous pouvez obtenir un crayon et une règle: vous devez maintenant tracer un graphique de chaque fonction obtenue. L'ensemble des nombres qui seront dans l'intervalle de leur intersection sera la solution du système d'inégalités.
Manière algébrique
Permet de résoudre un système d'inéquations à deux inconnues. Les inégalités doivent également avoir le même signe d'inégalité (c'est-à-dire qu'elles doivent contenir soit uniquement le signe "supérieur à", soit uniquement le signe "inférieur à", etc.). Malgré ses limites, cette méthode est également plus compliquée. Il s'applique en deux étapes.
La première consiste à se débarrasser de l'une des variables inconnues. Vous devez d'abord le sélectionner, puis vérifier la présence de nombres devant cette variable. S'il n'y en a pas (alors la variable ressemblera à une seule lettre), alors on ne change rien, s'il y en a (le type de la variable sera, par exemple, 5y ou 12y), alors il faut s'assurer que dans chaque inégalité le nombre devant la variable sélectionnée est le même. Pour cela, il faut multiplier chaque membre des inégalités par un facteur commun, par exemple, si 3y est écrit dans la première inégalité, et 5y dans la seconde, alors il faut multiplier tous les membres de la première inégalité par 5, et la seconde par 3. Vous obtenez respectivement 15 ans et 15 ans.
La deuxième étape de la décision. Il est nécessaire de transférer le côté gauche de chaque inégalité vers leur côté droit avec un changement du signe de chaque terme vers le contraire, écrivez zéro à droite. Vient ensuite la partie amusante: se débarrasser de la variable choisie (autrement appelée "réduction") tout en additionnant les inégalités. Vous obtiendrez une inégalité avec une variable qui doit être résolue. Après cela, vous devriez faire la même chose, mais avec une autre variable inconnue. Les résultats obtenus seront la solution du système.
Méthode de substitution
Permet de résoudre un système d'inéquations lorsque vous avez la possibilité d'introduire une nouvelle variable. Habituellement, cette méthode est utilisée lorsque la variable inconnue dans un terme de l'inégalité est élevée à la puissance quatre et dans l'autre terme, elle est élevée au carré. Ainsi, cette méthode vise à réduire le degré d'inégalités dans le système. L'inégalité d'échantillon x4 - x2 - 1 ≦ 0 est résolue de cette manière comme suit. Une nouvelle variable est introduite, par exemple t. Ils écrivent: "Soit t=x2", puis le modèle est réécrit sous une nouvelle forme. Dans notre cas, nous obtenons t2 - t - 1 ≦0. Cette inégalité doit être résolue par la méthode des intervalles (à ce sujet un peu plus tard), puis revenir à la variable X, puis faire de même avec une autre inégalité. Les réponses reçues seront la décision du système.
Méthode d'intervalle
C'est le moyen le plus simple de résoudre des systèmes d'inégalités, et en même temps, il est universel et répandu. Il est utilisé au lycée, et même au lycée. Son essence réside dans le fait que l'élève recherche des intervalles d'inégalité sur la droite numérique, qui est dessinée dans un cahier (ce n'est pas un graphique, mais juste une ligne droite ordinaire avec des nombres). Là où les intervalles d'inégalités se croisent, la solution du système est trouvée. Pour utiliser la méthode d'espacement, suivez ces étapes:
- Tous les membres de chaque inégalité sont transférés sur le côté gauche avec un changement de signe vers le contraire (zéro est écrit à droite).
- Les inégalités sont écrites séparément, la solution de chacune d'elles est déterminée.
- Les intersections des inégalités sur le numériquedroit. Tous les nombres à ces intersections seront la solution.
Quelle manière d'utiliser ?
Évidemment celui qui semble le plus simple et le plus pratique, mais il y a des moments où les tâches nécessitent une certaine méthode. Le plus souvent, ils disent que vous devez résoudre soit en utilisant un graphique, soit en utilisant la méthode des intervalles. La méthode algébrique et la substitution sont utilisées extrêmement rarement ou pas du tout, car elles sont assez complexes et déroutantes, et de plus, elles sont plus utilisées pour résoudre des systèmes d'équations plutôt que des inégalités, vous devez donc recourir à des graphiques et des intervalles. Ils apportent de la visibilité, qui ne peut que contribuer à la conduite efficace et rapide des opérations mathématiques.
Si quelque chose ne fonctionne pas
Lors de l'étude d'un sujet particulier en algèbre, bien sûr, il peut y avoir des problèmes de compréhension. Et c'est normal, car notre cerveau est conçu de telle manière qu'il n'est pas capable de comprendre du matériel complexe en une seule fois. Souvent, vous devez relire un paragraphe, prendre l'aide d'un enseignant ou vous entraîner à résoudre des problèmes typiques. Dans notre cas, elles ressemblent, par exemple, à ceci: "Résolvez le système d'inégalités 3 x + 1 ≧ 0 et 2 x - 1 > 3". Ainsi, l'effort personnel, l'aide de personnes extérieures et la pratique aident à comprendre n'importe quel sujet complexe.
Reshebnik?
Et le livre de solutions est également très bon, mais pas pour tricher aux devoirs, mais pour l'auto-assistance. En eux, vous pouvez trouver des systèmes d'inégalités avec une solution, regardezeux (comme des modèles), essayez de comprendre exactement comment l'auteur de la solution a fait face à la tâche, puis essayez de le faire par lui-même.
Conclusions
L'algèbre est l'une des matières les plus difficiles à l'école. Eh bien, que pouvez-vous faire ? Les mathématiques ont toujours été comme ça: pour certains ça vient facilement, pour d'autres c'est difficile. Mais dans tous les cas, il convient de rappeler que le programme d'enseignement général est conçu de manière à ce que tout élève puisse y faire face. De plus, vous devez garder à l'esprit un grand nombre d'assistants. Certains d'entre eux ont été mentionnés ci-dessus.
