Trouver le déterminant d'une matrice est une action importante non seulement pour l'algèbre linéaire: par exemple, en économie, en utilisant ce calcul, des systèmes d'équations linéaires à nombreuses inconnues sont résolus, qui sont largement utilisés dans les problèmes économiques.
Concept déterminant
Le déterminant, ou déterminant, d'une matrice est une valeur égale au volume d'un parallélépipède construit sur ses vecteurs ligne ou colonne. Cette valeur ne peut être calculée que pour une matrice carrée, qui a le même nombre de lignes et de colonnes. Si les membres de la matrice sont des nombres, alors le déterminant sera également un nombre.
Calcul des déterminants
Il convient de rappeler qu'il existe plusieurs règles qui peuvent grandement faciliter de tels calculs.
Ainsi, le déterminant d'une matrice composée d'un membre est égal à son seul élément. Il n'est pas difficile de calculer le déterminant du second ordre; pour cela, il suffit de soustraire le produit des éléments situés sur la diagonale secondaire au produit des éléments de la diagonale principale.
Le calcul du déterminant de 3e ordre est le plus facile à faireselon la règle du triangle. Pour ce faire, effectuez les actions suivantes:
- Trouver le produit de trois membres de la matrice situés sur son principal
- Multiplier par trois termes situés sur des triangles dont les bases sont parallèles à la diagonale principale.
- Répétez la première et la deuxième action pour la diagonale secondaire.
- Trouvez la somme de toutes les valeurs obtenues dans les calculs précédents, tandis que les nombres obtenus dans le troisième paragraphe sont pris avec un signe moins.
diagonales.
Pour trouver facilement le déterminant d'une matrice d'ordre 4, ainsi que des dimensions supérieures, il faut considérer les propriétés que possèdent tous les déterminants:
- La valeur du déterminant ne change pas après la transposition de la matrice.
- La modification de la position de deux lignes ou colonnes adjacentes entraîne une modification du signe du déterminant.
- Si la matrice a deux lignes ou colonnes égales, ou si tous les éléments de la colonne (ligne) sont nuls, alors son déterminant est égal à zéro.
- Multiplier les nombres d'une matrice par n'importe quel nombre conduit à augmenter son déterminant du même nombre de fois.
L'utilisation des propriétés ci-dessus aide à trouver facilement le déterminant d'une matrice de n'importe quel ordre. Par exemple, en utilisant la méthode de réduction d'ordre pour cela, dans laquelle le déterminant est développé par les éléments de la ligne (colonne) multipliés par le complément algébrique.
Une autre façon de trouver le déterminant beaucoup plus facilement
matrix est de l'amener à une forme triangulaire, lorsque tous les éléments sous la diagonale principale sont égaux à zéro. Dans ce cas, le déterminant de la matrice est calculé comme le produit des nombres situés sur cette diagonale.
Et enfin, je voudrais souligner que le calcul des déterminants, bien qu'il consiste en des calculs mathématiques apparemment simples, nécessite cependant beaucoup de soin et de persévérance.
