Très souvent, en sciences mathématiques, il y a un certain nombre de difficultés et de questions, et beaucoup de réponses ne sont pas toujours claires. Aucune exception n'était un sujet tel que la cardinalité des ensembles. En fait, ce n'est rien de plus qu'une expression numérique du nombre d'objets. Dans un sens général, un ensemble est un axiome, il n'a pas de définition. Elle est basée sur des objets quelconques, ou plutôt sur leur ensemble, qui peut être vide, fini ou infini. De plus, il contient des entiers ou des nombres naturels, des matrices, des séquences, des segments et des lignes.
À propos des variables existantes
Un ensemble nul ou vide sans valeur intrinsèque est considéré comme un élément cardinal car il s'agit d'un sous-ensemble. La collection de tous les sous-ensembles d'un ensemble non vide S est un ensemble d'ensembles. Ainsi, l'ensemble de puissance d'un ensemble donné est considéré comme multiple, concevable, mais unique. Cet ensemble est appelé l'ensemble des puissances de S et est noté P (S). Si S contient N éléments, alors P(S) contient 2^n sous-ensembles, puisqu'un sous-ensemble de P(S) est soit ∅ soit un sous-ensemble contenant r éléments de S, r=1, 2, 3, … Composé de tout ce qui est infinil'ensemble M est appelé grandeur de puissance et est symboliquement noté P (M).
Éléments de la théorie des ensembles
Ce champ de connaissance a été développé par George Cantor (1845-1918). Aujourd'hui, il est utilisé dans presque toutes les branches des mathématiques et constitue sa partie fondamentale. En théorie des ensembles, les éléments sont représentés sous forme de liste et sont donnés par types (ensemble vide, singleton, ensembles finis et infinis, égal et équivalent, universel), union, intersection, différence et addition de nombres. Dans la vie de tous les jours, on parle souvent d'une collection d'objets comme un trousseau de clés, un vol d'oiseaux, un jeu de cartes, etc. En 5e année de mathématiques et au-delà, il existe des nombres naturels, entiers, premiers et composés.
Les ensembles suivants peuvent être considérés:
- nombres naturels;
- lettres de l'alphabet;
- cote primaire;
- triangles avec des côtés différents.
On peut voir que ces exemples spécifiés sont des ensembles d'objets bien définis. Prenons quelques exemples supplémentaires:
- cinq scientifiques les plus célèbres au monde;
- sept belles filles dans la société;
- trois meilleurs chirurgiens.
Ces exemples de cardinalité ne sont pas des collections d'objets bien définies, car les critères pour "le plus célèbre", "le plus beau", "le meilleur" varient d'une personne à l'autre.
Ensembles
Cette valeur est un nombre bien défini d'objets différents. En supposant que:
- wordset est un synonyme, un agrégat, une classe et contient des éléments;
- objets, les membres sont des termes égaux;
- les ensembles sont généralement désignés par des lettres majuscules A, B, C;
- les éléments d'ensemble sont représentés par des lettres minuscules a, b, c.
Si "a" est un élément de l'ensemble A, alors on dit que "a" appartient à A. Notons l'expression "appartient" avec le caractère grec "∈" (epsilon). Ainsi, il s'avère que a ∈ A. Si 'b' est un élément qui n'appartient pas à A, cela est représenté par b ∉ A. Certains ensembles importants utilisés en mathématiques de 5e année sont représentés à l'aide des trois méthodes suivantes:
- applications;
- registres ou tabulaires;
- règle pour créer une formation.
En y regardant de plus près, le formulaire de candidature est basé sur les éléments suivants. Dans ce cas, une description claire des éléments de l'ensemble est donnée. Ils sont tous entourés d'accolades. Par exemple:
- ensemble de nombres impairs inférieurs à 7 - écrits sous la forme {moins de 7};
- un ensemble de nombres supérieur à 30 et inférieur à 55;
- nombre d'élèves dans une classe qui pèsent plus que l'enseignant.
Dans le formulaire de registre (tableau), les éléments d'un ensemble sont répertoriés entre crochets {} et séparés par des virgules. Par exemple:
- Soit N l'ensemble des cinq premiers nombres naturels. Par conséquent, N=→ formulaire d'inscription
- Ensemble de toutes les voyelles de l'alphabet anglais. D'où V={a, e, i, o, u, y} → forme de registre
- L'ensemble de tous les nombres impairs est inférieur à 9. Par conséquent, X={1, 3, 5, 7} → formeregistre
- Ensemble de toutes les lettres du mot "Math". Par conséquent, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Formulaire de registre
- W est l'ensemble des quatre derniers mois de l'année. Par conséquent, W={septembre, octobre, novembre, décembre} → registre.
Notez que l'ordre dans lequel les éléments sont listés n'a pas d'importance, mais ils ne doivent pas être répétés. Une forme de construction établie, dans un cas donné, une règle, une formule ou un opérateur est écrit entre parenthèses afin que l'ensemble soit correctement défini. Dans le formulaire de générateur d'ensemble, tous les éléments doivent avoir la même propriété pour devenir membre de la valeur en question.
Dans cette forme de représentation d'ensemble, un élément de l'ensemble est décrit avec le caractère "x" ou toute autre variable suivie de deux-points (":" ou "|" est utilisé pour indiquer). Par exemple, soit P l'ensemble des nombres dénombrables supérieur à 12. P sous la forme du générateur d'ensemble s'écrit - {nombre dénombrable et supérieur à 12}. Il se lira d'une certaine manière. Autrement dit, "P est un ensemble de x éléments tels que x est dénombrable et supérieur à 12."
Exemple résolu utilisant trois méthodes de représentation d'ensemble: nombre d'entiers compris entre -2 et 3. Voici des exemples de différents types d'ensemble:
- Un ensemble vide ou nul qui ne contient aucun élément et est désigné par le symbole ∅ et se lit comme phi. Sous forme de liste, ∅ s'écrit {}. L'ensemble fini est vide, puisque le nombre d'éléments est 0. Par exemple, l'ensemble des valeurs entières est inférieur à 0.
- Évidemment, il ne devrait pas y avoir <0. Par conséquent, ceensemble vide.
- Un ensemble contenant une seule variable est appelé un ensemble singleton. N'est ni simple ni composé.
Ensemble fini
Un ensemble contenant un certain nombre d'éléments est appelé un ensemble fini ou infini. Vide fait référence au premier. Par exemple, un ensemble de toutes les couleurs de l'arc-en-ciel.
Infinity est un ensemble. Les éléments qu'il contient ne peuvent pas être énumérés. Autrement dit, contenant des variables similaires est appelé un ensemble infini. Exemples:
- puissance de l'ensemble de tous les points du plan;
- ensemble de tous les nombres premiers.
Mais vous devez comprendre que toutes les cardinalités de l'union d'un ensemble ne peuvent pas être exprimées sous la forme d'une liste. Par exemple, les nombres réels, puisque leurs éléments ne correspondent à aucun modèle particulier.
Le nombre cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments différents dans une quantité donnée A. Il est noté n (A).
Par exemple:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Par conséquent, n (A)=4.
- B=ensemble de lettres dans le mot ALGEBRA.
Ensembles équivalents pour la comparaison d'ensembles
Deux cardinalités d'un ensemble A et B sont telles si leur nombre cardinal est le même. Le symbole de l'ensemble équivalent est "↔". Par exemple: A ↔ B.
Ensembles égaux: deux cardinalités des ensembles A et B s'ils contiennent les mêmes éléments. Chaque coefficient de A est une variable de B, et chacun de B est la valeur spécifiée de A. Par conséquent, A=B. Les différents types d'unions de cardinalité et leurs définitions sont expliqués à l'aide des exemples fournis.
Essence de finitude et d'infini
Quelles sont les différences entre la cardinalité d'un ensemble fini et d'un ensemble infini ?
La première valeur a le nom suivant si elle est soit vide soit a un nombre fini d'éléments. Dans un ensemble fini, une variable peut être spécifiée si elle a un nombre limité. Par exemple, en utilisant le nombre naturel 1, 2, 3. Et le processus de listage se termine à un certain N. Le nombre d'éléments différents comptés dans l'ensemble fini S est noté n (S). On l'appelle aussi ordre ou cardinal. Symboliquement désigné selon le principe standard. Ainsi, si l'ensemble S est l'alphabet russe, alors il contient 33 éléments. Il est également important de se rappeler qu'un élément n'apparaît pas plus d'une fois dans un ensemble.
Infini dans l'ensemble
Un ensemble est dit infini si les éléments ne peuvent pas être énumérés. S'il a un nombre naturel illimité (c'est-à-dire indénombrable) 1, 2, 3, 4 pour tout n. Un ensemble qui n'est pas fini est dit infini. Nous pouvons maintenant discuter des exemples des valeurs numériques considérées. Options de valeur finale:
- Soit Q={nombres naturels inférieurs à 25}. Alors Q est un ensemble fini et n (P)=24.
- Soit R={entiers entre 5 et 45}. Alors R est un ensemble fini et n (R)=38.
- Soit S={nombres modulo 9}. Alors S={-9, 9} est un ensemble fini et n (S)=2.
- Ensemble de toutes les personnes.
- Nombre de tous les oiseaux.
Exemples infinis:
- nombre de points existants sur le plan;
- nombre de tous les points dans le segment de ligne;
- l'ensemble des entiers positifs divisibles par 3 est infini;
- tous les nombres entiers et naturels.
Ainsi, à partir du raisonnement ci-dessus, il est clair comment faire la distinction entre les ensembles finis et infinis.
Puissance de l'ensemble continu
Si nous comparons l'ensemble et d'autres valeurs existantes, alors un ajout est attaché à l'ensemble. Si ξ est universel et A est un sous-ensemble de ξ, alors le complément de A est le nombre de tous les éléments de ξ qui ne sont pas des éléments de A. Symboliquement, le complément de A par rapport à ξ est A'. Par exemple, 2, 4, 5, 6 sont les seuls éléments de ξ qui n'appartiennent pas à A. Donc, A'={2, 4, 5, 6}
Un ensemble avec continuum de cardinalité a les caractéristiques suivantes:
- le complément de la quantité universelle est la valeur vide en question;
- cette variable à ensemble nul est universelle;
- amount et son complément sont disjoints.
Par exemple:
- Soit le nombre de nombres naturels un ensemble universel et A un pair. Alors A '{x: x est un ensemble impair avec les mêmes chiffres}.
- Soit ξ=ensemble de lettres de l'alphabet. A=ensemble de consonnes. Alors A '=nombre de voyelles.
- Le complément de l'ensemble universel est la quantité vide. Peut être noté ξ. Alors ξ '=L'ensemble des éléments qui ne sont pas inclus dans ξ. L'ensemble vide φ est écrit et noté. Donc ξ=φ. Ainsi, le complément de l'ensemble universel est vide.
En mathématiques, "continuum" est parfois utilisé pour représenter une ligne réelle. Et plus généralement, pour décrire des objets similaires:
- continuum (en théorie des ensembles) - droite réelle ou nombre cardinal correspondant;
- linear - tout ensemble ordonné qui partage certaines propriétés d'une ligne réelle;
- continuum (en topologie) - espace métrique connexe compact non vide (parfois Hausdorff);
- l'hypothèse qu'aucun ensemble infini n'est plus grand que les entiers mais plus petit que les nombres réels;
- la puissance du continuum est un nombre cardinal représentant la taille de l'ensemble des nombres réels.
Essentiellement, un continuum (mesure), des théories ou des modèles qui expliquent les transitions graduelles d'un état à un autre sans aucun changement brusque.
Problèmes d'union et d'intersection
On sait que l'intersection de deux ensembles ou plus est le nombre contenant tous les éléments communs à ces valeurs. Les tâches de mots sur les ensembles sont résolues pour obtenir des idées de base sur la façon d'utiliser les propriétés d'union et d'intersection des ensembles. Résolu les principaux problèmes de mots surles ensembles ressemblent à ceci:
Soit A et B deux ensembles finis. Ils sont tels que n (A)=20, n (B)=28 et n (A ∪ B)=36, trouver n (A ∩ B)
Relation dans les ensembles à l'aide du diagramme de Venn:
- L'union de deux ensembles peut être représentée par une zone grisée représentant A ∪ B. A ∪ B lorsque A et B sont des ensembles disjoints.
- L'intersection de deux ensembles peut être représentée par un diagramme de Venn. Avec une zone ombrée représentant A ∩ B.
- La différence entre les deux ensembles peut être représentée par des diagrammes de Venn. Avec une zone ombrée représentant A - B.
- Relation entre trois ensembles à l'aide d'un diagramme de Venn. Si ξ représente une quantité universelle, alors A, B, C sont trois sous-ensembles. Ici, les trois ensembles se chevauchent.
Résumer les informations sur l'ensemble
La cardinalité d'un ensemble est définie comme le nombre total d'éléments individuels dans l'ensemble. Et la dernière valeur spécifiée est décrite comme le nombre de tous les sous-ensembles. Lors de l'étude de ces problèmes, des méthodes, des méthodes et des solutions sont nécessaires. Ainsi, pour la cardinalité d'un ensemble, les exemples suivants peuvent servir de:
Soit A={0, 1, 2, 3}| |=4, où | Un | représente la cardinalité de l'ensemble A.
Maintenant, vous pouvez trouver votre bloc d'alimentation. C'est assez simple aussi. Comme déjà dit, l'ensemble de puissance est défini à partir de tous les sous-ensembles d'un nombre donné. Il faut donc essentiellement définir toutes les variables, éléments et autres valeurs de A,qui sont {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Maintenant, calculez la puissance P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} qui a 16 éléments. Ainsi, la cardinalité de l'ensemble A=16. Évidemment, c'est une méthode fastidieuse et lourde pour résoudre ce problème. Cependant, il existe une formule simple par laquelle, directement, vous pouvez connaître le nombre d'éléments dans l'ensemble de puissance d'un nombre donné. | P |=2 ^ N, où N est le nombre d'éléments dans certains A. Cette formule peut être obtenue en utilisant une combinatoire simple. Donc la question est 2^11 puisque le nombre d'éléments dans l'ensemble A est 11.
Ainsi, un ensemble est n'importe quelle quantité exprimée numériquement, qui peut être n'importe quel objet possible. Par exemple, des voitures, des personnes, des chiffres. Dans un sens mathématique, ce concept est plus large et plus généralisé. Si aux stades initiaux, les nombres et les options pour leur solution sont triés, alors aux stades intermédiaires et supérieurs, les conditions et les tâches sont compliquées. En fait, la cardinalité de l'union d'un ensemble est déterminée par l'appartenance de l'objet à un groupe quelconque. C'est-à-dire qu'un élément appartient à une classe, mais a une ou plusieurs variables.
