Pour le dire simplement et brièvement, la portée est les valeurs que toute fonction peut prendre. Afin d'explorer pleinement ce sujet, vous devez progressivement désassembler les points et concepts suivants. Commençons par comprendre la définition de la fonction et l'historique de son apparition.
Qu'est-ce qu'une fonction
Toutes les sciences exactes nous fournissent de nombreux exemples où les variables en question dépendent d'une manière ou d'une autre les unes des autres. Par exemple, la densité d'une substance est entièrement déterminée par sa masse et son volume. La pression d'un gaz parfait à volume constant varie avec la température. Ces exemples sont unis par le fait que toutes les formules ont des dépendances entre les variables, qui sont appelées fonctionnelles.
Une fonction est un concept qui exprime la dépendance d'une quantité par rapport à une autre. Il a la forme y=f(x), où y est la valeur de la fonction, qui dépend de x - l'argument. Ainsi, on peut dire que y est une variable dépendante de la valeur de x. Les valeurs que x peut prendre ensemble sontle domaine de la fonction donnée (D(y) ou D(f)), et par conséquent, les valeurs de y constituent l'ensemble des valeurs de fonction (E(f) ou E(y)). Il y a des cas où une fonction est donnée par une formule. Dans ce cas, le domaine de définition consiste en la valeur de ces variables, dans lesquelles la notation avec la formule a un sens.
Il existe des caractéristiques identiques ou identiques. Ce sont deux fonctions qui ont des plages égales de valeurs valides, ainsi que les valeurs de la fonction elle-même sont égales pour tous les mêmes arguments.
De nombreuses lois des sciences exactes portent le même nom que des situations de la vie réelle. Il y a aussi un fait aussi intéressant à propos de la fonction mathématique. Il existe un théorème sur la limite d'une fonction "prise en sandwich" entre deux autres qui ont la même limite - environ deux policiers. Ils l'expliquent ainsi: puisque deux policiers conduisent un prisonnier dans une cellule entre eux, le criminel est obligé d'y aller, et il n'a tout simplement pas le choix.
Référence des fonctionnalités historiques
Le concept de fonction n'est pas devenu tout de suite définitif et précis, il a parcouru un long chemin de devenir. Tout d'abord, Fermat's Introduction and Study of Plane and Solid Places, publié à la fin du XVIIe siècle, énonce ce qui suit:
Chaque fois qu'il y a deux inconnues dans l'équation finale, il y a de la place.
En général, ce travail parle de dépendance fonctionnelle et de son image matérielle (lieu=ligne).
Aussi, à peu près à la même époque, René Descartes étudia les droites par leurs équations dans son ouvrage "Géométrie" (1637), où encore une fois le faitdépendance de deux quantités l'une par rapport à l'autre.
L'évocation même du terme "fonction" n'apparaît qu'à la fin du XVIIe siècle avec Leibniz, mais pas dans son interprétation moderne. Dans ses travaux scientifiques, il considère qu'une fonction est constituée de plusieurs segments associés à une ligne courbe.
Mais déjà au 18ème siècle, la fonction a commencé à être définie plus correctement. Bernoulli a écrit ce qui suit:
Une fonction est une valeur composée d'une variable et d'une constante.
Les pensées d'Euler étaient également proches de ceci:
Une fonction de quantité variable est une expression analytique composée en quelque sorte de cette quantité variable et de nombres ou de quantités constantes.
Lorsque certaines quantités dépendent d'autres de telle manière que lorsque ces dernières changent, elles changent elles-mêmes, alors les premières sont appelées fonctions des secondes.
Graphe de fonction
Le graphique de la fonction est constitué de tous les points appartenant aux axes du plan de coordonnées, dont les abscisses prennent les valeurs de l'argument, et les valeurs de la fonction en ces points sont des ordonnées.
La portée d'une fonction est directement liée à son graphique, car si des abscisses sont exclues par la plage de valeurs valides, vous devez dessiner des points vides sur le graphique ou dessiner le graphique dans certaines limites. Par exemple, si un graphe de la forme y=tgx est pris, alors la valeur x=pi / 2 + pin, n∉R est exclue de la zone de définition, dans le cas d'un graphe tangent, il faut dessinerlignes verticales parallèles à l'axe des y (elles sont appelées asymptotes) passant par les points ±pi/2.
Toute étude approfondie et minutieuse des fonctions constitue une grande branche des mathématiques appelée calcul différentiel. En mathématiques élémentaires, les questions élémentaires sur les fonctions sont également abordées, par exemple, la construction d'un graphique simple et l'établissement de certaines propriétés de base d'une fonction.
Quelle fonction peut être réglée
La fonction peut:
- être une formule, par exemple: y=cos x;
- fixé par n'importe quel tableau de paires de la forme (x; y);
- avoir immédiatement une vue graphique, pour cela les couples de l'élément précédent du formulaire (x; y) doivent être affichés sur les axes de coordonnées.
Soyez prudent lorsque vous résolvez des problèmes de haut niveau, presque n'importe quelle expression peut être considérée comme une fonction par rapport à un argument pour la valeur de la fonction y (x). Trouver le domaine de définition dans de telles tâches peut être la clé de la solution.
Quelle est la portée ?
La première chose que vous devez savoir sur une fonction afin de l'étudier ou de la construire est sa portée. Le graphique ne doit contenir que les points où la fonction peut exister. Le domaine de définition (x) peut également être appelé domaine des valeurs acceptables (en abrégé ODZ).
Pour construire correctement et rapidement un graphe de fonctions, vous devez connaître le domaine de cette fonction, car l'apparence du graphe et sa fidélité en dépendentconstruction. Par exemple, pour construire une fonction y=√x, il faut savoir que x ne peut prendre que des valeurs positives. Par conséquent, il est construit uniquement dans le premier quadrant de coordonnées.
Portée de la définition sur l'exemple des fonctions élémentaires
Dans son arsenal, les mathématiques ont un petit nombre de fonctions simples et définies. Ils ont une portée limitée. La solution à ce problème ne posera pas de difficultés même si vous avez devant vous une fonction dite complexe. C'est juste une combinaison de plusieurs simples.
- Ainsi, la fonction peut être fractionnaire, par exemple: f(x)=1/x. Ainsi, la variable (notre argument) est dans le dénominateur, et tout le monde sait que le dénominateur d'une fraction ne peut pas être égal à 0, donc, l'argument peut prendre n'importe quelle valeur sauf 0. La notation ressemblera à ceci: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). S'il existe une expression avec une variable au dénominateur, vous devez résoudre l'équation pour x et exclure les valeurs qui transforment le dénominateur en 0. Pour une représentation schématique, 5 points bien choisis suffisent. Le graphe de cette fonction sera une hyperbole avec une asymptote verticale passant par le point (0; 0) et, en combinaison, les axes Ox et Oy. Si l'image graphique croise les asymptotes, alors une telle erreur sera considérée comme la plus grossière.
- Mais quel est le domaine de la racine ? Le domaine d'une fonction d'expression radicale (f(x)=√(2x + 5)), contenant une variable, a aussi ses propres nuances (ne s'applique qu'à la racine d'un degré pair). Commela racine arithmétique est une expression positive ou égale à 0, alors l'expression racine doit être supérieure ou égale à 0, on résout l'inégalité suivante: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, donc le domaine de cette fonction: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Le graphique est l'une des branches d'une parabole, tournée de 90 degrés, située dans le premier quadrant de coordonnées.
- Si nous avons affaire à une fonction logarithmique, alors vous devez vous rappeler qu'il existe une restriction concernant la base du logarithme et l'expression sous le signe du logarithme, dans ce cas, vous pouvez trouver le domaine de définition comme suit. On a une fonction: y=loga(x + 7), on résout l'inégalité: x + 7 > 0, x > -7. Alors le domaine de cette fonction est D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Faites également attention aux fonctions trigonométriques de la forme y=tgx et y=ctgx, puisque y=tgx=sinx/cos/x et y=ctgx=cosx/sinx, vous devez donc exclure les valeurs où le dénominateur peut être égal à zéro. Si vous êtes familier avec les graphiques des fonctions trigonométriques, comprendre leur domaine est une tâche simple.
Comment travailler avec des fonctions complexes est différent
N'oubliez pas quelques règles de base. Si nous travaillons avec une fonction complexe, il n'est pas nécessaire de résoudre quelque chose, de simplifier, d'ajouter des fractions, de réduire au plus petit dénominateur commun et d'extraire des racines. Nous devons étudier cette fonction car différentes opérations (même identiques) peuvent modifier la portée de la fonction, entraînant une réponse incorrecte.
Par exemple, nous avons une fonction complexe: y=(x2 - 4)/(x - 2). Nous ne pouvons pas réduire le numérateur et le dénominateur de la fraction, car cela n'est possible que si x ≠ 2, et c'est la tâche de trouver le domaine de la fonction, donc nous ne factorisons pas le numérateur et ne résolvons aucune inégalité, car le valeur à laquelle la fonction n'existe pas, visible à l'œil nu. Dans ce cas, x ne peut pas prendre la valeur 2, puisque le dénominateur ne peut pas aller jusqu'à 0, la notation ressemblera à ceci: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Fonctions réciproques
Pour commencer, il faut dire qu'une fonction ne peut devenir réversible que sur un intervalle d'augmentation ou de diminution. Afin de trouver la fonction inverse, vous devez échanger x et y dans la notation et résoudre l'équation pour x. Les domaines de définition et les domaines de valeur sont simplement inversés.
La principale condition de réversibilité est un intervalle monotone d'une fonction, si une fonction a des intervalles d'augmentation et de diminution, alors il est possible de composer la fonction inverse de n'importe quel intervalle (croissant ou décroissant).
Par exemple, pour la fonction exponentielle y=exl'inverse est la fonction logarithmique naturelle y=logea=lna. Pour la trigonométrie, ce seront des fonctions avec le préfixe arc-: y=sinx et y=arcsinx et ainsi de suite. Les graphiques seront placés symétriquement par rapport à certains axes ou asymptotes.
Conclusions
Rechercher la plage des valeurs acceptables revient à examiner le graphe des fonctions (s'il y en a un),enregistrer et résoudre le système d'inéquations spécifique nécessaire.
Donc, cet article vous a aidé à comprendre à quoi sert la portée d'une fonction et comment la trouver. Nous espérons qu'il vous aidera à bien comprendre le cours de base de l'école.
