Résoudre des équations en mathématiques a une place particulière. Ce processus est précédé de nombreuses heures d'étude de la théorie, au cours desquelles l'étudiant apprend à résoudre des équations, à déterminer leur forme et à amener la compétence à un automatisme complet. Cependant, la recherche de racines n'a pas toujours de sens, car elles peuvent tout simplement ne pas exister. Il existe des méthodes spéciales pour trouver des racines. Dans cet article, nous allons analyser les principales fonctions, leurs portées, ainsi que les cas où leurs racines sont absentes.
Quelle équation n'a pas de racine ?
Une équation n'a pas de racine s'il n'y a pas de tels arguments réels x pour lesquels l'équation est identiquement vraie. Pour un non-spécialiste, cette formulation, comme la plupart des théorèmes et formules mathématiques, semble très vague et abstraite, mais c'est en théorie. En pratique, tout devient extrêmement simple. Par exemple: l'équation 0x=-53 n'a pas de solution, puisqu'il n'existe pas un tel nombre x, dont le produit avec zéro donnerait autre chose que zéro.
Nous allons maintenant examiner les types d'équations les plus élémentaires.
1. Équation linéaire
Une équation est dite linéaire si ses parties droite et gauche sont représentées par des fonctions linéaires: ax + b=cx + d ou sous une forme généralisée kx + b=0. Où a, b, c, d sont connus nombres, et x est une quantité inconnue. Quelle équation n'a pas de racine ? Des exemples d'équations linéaires sont présentés dans l'illustration ci-dessous.
Fondamentalement, les équations linéaires sont résolues en déplaçant simplement la partie numérique vers une partie et le contenu de x vers l'autre. Il en résulte une équation de la forme mx \u003d n, où m et n sont des nombres et x est une inconnue. Pour trouver x, il suffit de diviser les deux parties par m. Alors x=n/m. Fondamentalement, les équations linéaires n'ont qu'une seule racine, mais il y a des cas où il y a soit une infinité de racines, soit aucune. Avec m=0 et n=0, l'équation prend la forme 0x=0. Absolument n'importe quel nombre sera la solution d'une telle équation.
Mais quelle équation n'a pas de racine ?
Lorsque m=0 et n=0, l'équation n'a pas de racine dans l'ensemble des nombres réels. 0x=-1; 0x=200 - ces équations n'ont pas de racine.
2. Équation quadratique
Une équation quadratique est une équation de la forme ax2 + bx + c=0 pour a=0. La façon la plus courante de résoudre une équation quadratique est de la résoudre par le discriminant. La formule pour trouver le discriminant d'une équation quadratique: D=b2 - 4ac. Alors il y a deux racines x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Quand D > 0 l'équation a deux racines, quand D=0 - une racine. Mais quelle équation quadratique n'a pas de racine ?La façon la plus simple d'observer le nombre de racines d'une équation quadratique est sur le graphique d'une fonction, qui est une parabole. Chez un > 0 les branches sont dirigées vers le haut, chez un < 0 les branches sont abaissées. Si le discriminant est négatif, une telle équation quadratique n'a pas de racine dans l'ensemble des nombres réels.
Vous pouvez également déterminer visuellement le nombre de racines sans calculer le discriminant. Pour ce faire, vous devez trouver le sommet de la parabole et déterminer dans quelle direction les branches sont dirigées. Vous pouvez déterminer la coordonnée x d'un sommet en utilisant la formule: x0 =-b / 2a. Dans ce cas, la coordonnée y du sommet est trouvée en remplaçant simplement la valeur x0 dans l'équation d'origine.
L'équation quadratique x2 – 8x + 72=0 n'a pas de racine car elle a un discriminant négatif D=(–8)2 - 4172=-224. Cela signifie que la parabole ne touche pas l'axe des abscisses et que la fonction ne prend jamais la valeur 0, donc l'équation n'a pas de racines réelles.
3. Équations trigonométriques
Les fonctions trigonométriques sont considérées sur un cercle trigonométrique, mais peuvent également être représentées dans un système de coordonnées cartésien. Dans cet article, nous examinerons deux fonctions trigonométriques de base et leurs équations: sinx et cosx. Comme ces fonctions forment un cercle trigonométrique de rayon 1, |sinx| et |cosx| ne peut pas être supérieur à 1. Alors, quelle équation de sinx n'a pas de racine ? Considérez le graphique de la fonction sinx présenté dans l'imageci-dessous.
On voit que la fonction est symétrique et a une période de répétition de 2pi. Sur cette base, nous pouvons dire que la valeur maximale de cette fonction peut être 1 et la valeur minimale -1. Par exemple, l'expression cosx=5 n'aura pas de racine puisque son modulo est supérieur à un.
Ceci est l'exemple le plus simple d'équations trigonométriques. En fait, leur solution peut prendre de nombreuses pages, à la fin desquelles vous vous rendez compte que vous avez utilisé la mauvaise formule et qu'il faut tout recommencer. Parfois, même avec la bonne recherche des racines, vous pouvez oublier de prendre en compte les restrictions sur l'ODZ, c'est pourquoi une racine ou un intervalle supplémentaire apparaît dans la réponse, et toute la réponse se transforme en une réponse erronée. Par conséquent, suivez strictement toutes les restrictions, car toutes les racines ne rentrent pas dans la portée de la tâche.
4. Systèmes d'équations
Un système d'équations est un ensemble d'équations combinées avec des accolades ou des accolades. Les accolades indiquent l'exécution conjointe de toutes les équations. Autrement dit, si au moins une des équations n'a pas de racine ou contredit l'autre, l'ensemble du système n'a pas de solution. Les crochets indiquent le mot "ou". Cela signifie que si au moins une des équations du système a une solution, alors tout le système a une solution.
La réponse du système entre crochets est la totalité de toutes les racines des équations individuelles. Et les systèmes à accolades n'ont que des racines communes. Les systèmes d'équations peuvent inclure des fonctions absolument diverses, donc cette complexité n'est pasvous permet de dire immédiatement quelle équation n'a pas de racine.
Généralisation et conseils pour trouver les racines de l'équation
Dans les livres de problèmes et les manuels scolaires, il existe différents types d'équations: celles qui ont des racines et celles qui n'en ont pas. Tout d'abord, si vous ne trouvez pas de racines, ne pensez pas qu'elles n'existent pas du tout. Vous avez peut-être fait une erreur quelque part, alors vérifiez simplement votre solution.
Nous avons couvert les équations les plus élémentaires et leurs types. Maintenant, vous pouvez dire quelle équation n'a pas de racines. Dans la plupart des cas, ce n'est pas du tout difficile à faire. Pour réussir à résoudre des équations, seules l'attention et la concentration sont nécessaires. Entraînez-vous davantage, cela vous aidera à naviguer dans le matériel beaucoup mieux et plus rapidement.
Donc, l'équation n'a pas de racines si:
- dans l'équation linéaire mx=n la valeur m=0 et n=0;
- dans une équation quadratique si le discriminant est inférieur à zéro;
- dans une équation trigonométrique de la forme cosx=m / sinx=n, si |m| > 0, |n| > 0;
- dans un système d'équations avec accolades si au moins une équation n'a pas de racine, et avec crochets si toutes les équations n'ont pas de racine.
